1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 考生注意： 1. 答题前，考生 务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。 4.
2、 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第 卷 一 . 选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 复数 z=i（ -2-i）（ i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合 A= x R|ax2+ax+1其中只有一个元素，则 a= A.4 B.2 C.0 D.0 或 4 3.若 sina2=33 ，则 cosa= A.-23 B.-13 C. 13 D. 23 4.集合 A=2,3,B=1,2,3,从 A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于 4
3、的概率是 A23 B. 12 C. 13 D. 16 5.总体编号为 01， 02， 19， 20的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5个个体的编号为 A.08 B.07 C.02 D.01 6.下列选项中，使不等式 x 1 x2 成立的 x 的取值范围是 A.（ ， -1） B. （ -1， 0） C.0， 1） D.（ 1， +） 7.阅读如下程序框图，如果输出 i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是 A.S 8 B. S 9 C. S 10 D. S 11 8.一
4、几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 A.200+9 B. 200+18 C. 140+9 D. 140+18 9.已知点 A（ 2， 0），抛物线 C： x2=4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则 |FM|： |MN|= A.2:5 B.1:2 C. 1:5 D. 1:3 10.如图。已知 l1 l2，圆心在 l1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A，圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀 速向上移动，圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x， 令 y=cosx，则 y 与时间 t（ 0 x 1，单位： s）
5、 的函数 y=f（ t）的图像大致为 第卷 注意事项： 第卷共 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.若曲线 y=x +1（ R）在点（ 1， 2）处的切线经过坐标原点，则 = 。 12.某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n（ n N*）等于 。 13.设 f（ x） =3sin3x+cos3x，若对任意实数 x 都有 |f（ x） | a，则实数 a 的取值范围是 。 14.若圆 C 经过坐标原点和点（ 4， 0
6、），且与直线 y=1 相切，则圆 C 的方程是 。 15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 AB/CD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 正项数列 an满足 an2-（ 2n-1） an-2n=0. （ 1） 求数列 an的通项公式 an； （ 2） 令 bn= 1（ n+1） an，求数列 bn的前 n 项和 Tn。 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sinAs
7、inB+sinBsinC+cos2=1. （ 1） 求证： a， b， c 成等差数列； （ 2） 若 C=23 ，求 ab的值。 18（本小题满分 12 分） 小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以 O 为起点，再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6（如图）这 6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为 X，若 X0 就去打球，若 X=0 就去唱歌，若 Xb0)的离心率 = 32 ， a+b=3. (1) 球椭圆 C 的方程； (2) 如图， A,B,D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 DP 交 x 轴于点 N 直线
8、AD 交BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k， MN 的斜率为 m，证明 2m-k 为定值。 21（本小题满分 14 分） 设函数 f(x) = 1x, 0 x a11a(1 x), 1常数且 a （ 0， 1） . （ 1） 当 a=12时，求 f（ f（ 13）； （ 2） 若 x0满足 f（ f（ x0） = x0,但 f（ x0） x0， 则称 x0为 f（ x）的二阶有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 x1， x2； （ 3） 对于（ 2）中 x1， x2，设 A（ x1,f（ f（ x1）， B（ x2,f（ f（ x2） ,C(a2,0)，记 ABC的面积为 s（ a），求
9、 s（ a）在区间 13 , 12上的最大值和最小值。 参考答案 一 选择题 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 二填空题 11.2 12.6 13. 2a 14. 15.4 三解答题 （ 1） （ 2）由 ， 17. （ 1）由已知得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2 B=1.故 sinAsinB+sinBsinC=2sin2 B 因为 sinB 不为 0，所以 sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得 a+c=2b,所以 a， b， c 成等差数列 （ 2）由余弦定理知 得 化简得 18. 解：（ 1） x 的所有可能取
10、值为 -2 ， -1 ， 0， 1。 （ 2）数量积为 -2 的只有 一种 数 量 积 为 -1 的有 ，六种 数量积为 0 的有 四种 数量积为 1 的有 四种 故所有可能的情况共有 15 种。 所以小波去下棋的概率为 因为去唱歌的概率为 ，所以小波不去唱歌的概率 19. 解：（ 1） x 的所有可能取值为 -2 ， -1 ， 0， 1。 （ 2）数量积为 -2 的只有 一种 223 2 5( 2 ) ( ) .24xy 2 ( 2 1 ) 2 0 , ( 2 ) ( 1 ) 0 , 0 , 2 .n n n n n na n a n a n a a a n 2nan1 1 1 1 1 1
11、1 1 1 1( ) , ( 1 ) .1 ) 2 2 1 2 2 2 3 1 2 ( 1 )nnnbTn n n n n n n （2 2 2 2 c o sc a b a c C 2 2 2 2( 2 ) 2 c o s3b a a b a c 35ab25OA OA15OA OA1 6 2 4 2 6 3 4 3 5, , , ,O A O A O A O A O A O A O A O A O A O A 1 3 1 4 3 6 4 6, , ,O A O A O A O A O A O A O A O A 1 2 2 3 4 5 5 6, , ,O A O A O A O A O A
12、 O A O A O A 1 715p 2 415p 2 4 1 111 1 5 1 5pp 25OA OA 数量积为 -1 的有 ， 六种 数量积为 0 的有 四种 数量积为 1 的有 四种 故所有可能的情况共有 15 种。 所以小波去下棋的概率为 因为去唱歌的概率为 ，所以小波不去唱歌的概率 所以 再由 a+b=3 得 a=2,b=1, 将 代入 ，解得 又直线 AD 的方程为 与 联立解得 由 三点共线可角得 所以 MN 的分斜率为 m= ，则 （定值） 21.解：（ 1）当 时， 15OA OA 1 6 2 4 2 6 3 4 3 5, , , ,O A O A O A O A O A
13、 O A O A O A O A O A 1 3 1 4 3 6 4 6, , ,O A O A O A O A O A O A O A O A 1 2 2 3 4 5 5 6, , ,O A O A O A O A O A O A O A O A 1 715p 2 415p 2 4 1 111 1 5 1 5pp 2 2 2 22 2 233 124c c a b ba a a a 20. 解 ： （ 1 ） 因 为 e= 故2ab2 2 14xCy 椭 圆 的 方 程 为 ：1 )2 （ 2 ） 因 为 B （ 2 ， 0 ） ， P 不 为 椭 圆 顶 点 ， 则 BP 方 程 为 y=
14、k(x-2)(k 0 且 k2 2 14x y2228 2 4( , )4 1 4 1kkP 1 12yx4 2 4( , )2 1 2 1kkM 2228 2 4( 0 , 1 ) , ( , ) , ( , 0 )4 1 4 1kkD P N x 42( , 0)21kN k 214k 2 1 12 22km k k 12a= 1 2 1 2 2 2( ) , ( ( ) ) ( ) 2 ( 1 )3 3 3 3 3 3f f f f （ 当 时，由 解得 x=0,由于 f（ 0） =0,故 x=0 不是 f（ x）的二阶周期点； 当 时由 解得 因 故 是 f（ x）的二阶周期点； 当
15、时，由 解得 因 故 不是 f（ x）的二阶周期点； 当 时， 解得 因 故 是 f（ x）的二阶周期点。 因此，函数 有且仅有两个二阶周期点， ， 。 （ 3）由（ 2）得 则 因为 a 在 13 , 12内，故 ，则 故 2222221,01( ) ,(1 )2 ) ( ( ) )1( ) , 1(1 )1(1 ) , 1 1(1 )x x aaa x a x aaaf f xx a a x a aax a a xaa 20 xa21 xxa 2a x a 1 ()(1 ) a x xaa 2 1ax aa 2( , ),aa2 2 2 211() 1 1 1 1a a af a a a
16、a a a a a a 2 1ax aa 2 1a x a a 21 ()(1 ) x a xa 12x a 2( , 1)a a a 1 1 1 1( ) ( 1 )2 1 2 2f a a a a 12x a 2 11a a x 1 (1 )(1 ) xxaa 21 1x aa 2( 1,1)aa 2 2 2 21 1 1 1( ) ( 1 )1 1 1 1 1af a a a a a a a a a 21 1x aa ()fx 1 2 1ax aa 2 2 1 1x aa 2 2 2 211( , ) , ( , )1 1 1 1aaABa a a a a a a a 2 3 22 2 21 (1 ) 1 ( 2 2 2 )( ) , ( )2 1 2 ( 1 )a a a a a as a s aa a a a 13 12 ( ) 0sa 11( ) 32sa 在 区 间 ， 上 单 调 递 增 ，1 1 1 1 1 1( ) 3 2 3 3 3 2 2 0sa 在 区 间 ， 上 最 小 值 为 s ( ) = ， 最 大 值 为 s ( ) =
