1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (江西卷 ) 数学 (理科 ) 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效
2、。 4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 M=1， 2， zi,i 为虚数单位， N= 3， 4， M N= 4，则复数 z= （ ） A. -2i B. 2i C. -4i D.4i 2.函数 y= ln（ 1-x）的定义域为 （ ） A.(0,1) B.0,1) C.(0,1 D.0,1 3.等比数列 x， 3x+3， 6x+6， 的的第四项等于 （ ） A.-24 B.0 C.12 D.24 4.总体由编号为 01
3、， 02， ， 19， 20 的 20 个个体组成 .利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法从随机数表第 1行的第 5 列和第 6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 （ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 5.（ x2-2x3） 5展开式中的常数项为 （ ） A 80 B.-80 C.40 D.-40 6.若 ， 则 s1,s2,s3 的大小关系为 s2 s3 B. s2 s1 s3 A.
4、 s1x C. s2 s3 s1 D. s3 s2 s1 7.阅读如下程序框图，如果输出 i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为 A.S=2*i-2 B.S=2*i-1 C.S=2*I D.S=2*i+4 8.如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 AB/CD，正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m， n，那么 m+n= A.8 B.9 C.10 D.11 9.过点（ 2， 0）引直线 的曲线 ， O 为坐标原点，当 AOB的面积取最大值时，直线 的斜 率等于 A. 33 B.- 33 C. 33 D-3 10.如图，半径为 1的半圆 O 与等边
5、三角形 ABC夹在两平行线 1， 2之间， / 1， 与半圆相交于 F,G 两点，与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点。 设弧 FG 的长为 x(0 x ),y=EB+BC+CD，若 从 1平行移动到 2，则函数 y=f(x)的图像 大致是 第 卷 注意事项： 第卷共 2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无 效。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 11函数 y=sin2x+23sin2x 的最小正周期 T 为 _. 12设 e1， e2 为单位向量。且 e1、 e2 的夹角为3 ，若 a=e1+3e2， b=2e1，则向量 a 在
6、b方向上的射影为 _. 13设函数 f(x)在（ 0， + ）内可导，且 f(ex)=x+ex，则 f（ 1） =_. 14抛物线 x2=2py（ p 0）的焦点为 F，其准线与双曲线 23 - 23 =1 相交于 A， B 两点，若 ABF 为等边三角形，则 p=_. 三选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。本题共 5分。 15（ 1）（坐标系与参数方程选做题）设曲线 C 的参数方程为： x=t， y=t2 （ t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 _. （ 2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式
7、 |x-2|-1|的解集为 _. 四解答题：本大题共 6小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 cosC+（ conA-3sinA） cosB=0. （ 1） 求角 B 的大小； （ 2） 若 a+c=1，求 b 的取值范围 17（本小题满分 12 分） 正项数列 an的前 n 项和 Sn 满足： （ 1） 求数列 an的通项公式 an； （ 2） 令 bn= ，数列 bn的前 n 项和为 Tn证明：对于任意 n N*，都有 Tn 。 18.（本小题满分 12 分） 小
8、波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以 0 为起点，再从 A1， A2， A3， A4， A5， A6， A7， A8（如图）这 8 个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X。若 X=0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。 （ 1） 求小波参加学校合唱团的概率； （ 2） 求 X 的分布列和数学期望。 22nn+1n+ a（ 2） 564 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD， E 为 BD 的中点， G 为 PD 的中点， DAB DCB， EA=EB=AB=1， PA=32，连接 CE并
9、延长交 AD 于 F （ 1） 求证： AD平面 CFG； （ 2） 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值 20（本小题满分 13 分） 如图，椭圆 经过点 P（ 1. 32），离心率 e=12，直线 l 的方程为x=4. （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB与直线 l 相交于点 M，记PA， PB， PM 的斜率分别为 k1， k2， k3。问：是否存在常数，使得 k1+k2= k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由 21.（本小题满分 14 分） 已知函数 f（ x） =a（ 1-2 丨 x-12丨）， a 为
10、常数且 a 0. （ 1） 证明：函数 f（ x）的图像关于直线 x=12对称； （ 2） 若 x0 满足 f（ f（ x0） = x0， 但 f（ x0） x0，则 称 x0 为函数 f（ x）的二阶周期点，如果 f（ x）有两个二阶周期点 x1， x2，试确定 a 的取值范围； （ 3） 对于（ 2）中的 x1， x2，和 a，设 x3 为函数 f（ f（ x）的最大值点， A（ x1， f（ f（ x1），B（ x2， f（ f（ x2）， C（ x3， 0），记 ABC 的面积为 S（ a），讨论 S（ a）的单调性。 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 5
11、0 分。 1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 11. 12. 13. 2 14. 6 三、选做题：本大题 5 分。 15. （ 1） （ 2） 四、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。 16. （本小题满分 12 分） 解：（ 1）由已知得 即有 因为 ，所以 ，又 ，所以 ， 又 ，所以 。 （ 2）由余弦定理，有 。 因为 ，有 。 又 ，于是有 ，即有 。 17.（本小题满分 12 分） （ 1）解：由 ，得 。 522c o s s i n 0 0,4c o s ( )
12、c o s c o s 3 s i n c o s 0A B A B A B s i n s i n 3 s i n c o s 0A B A Bsin 0A s i n 3 c o s 0BBcos 0B tan 3B 0 B 3B 2 2 2 2 c o sb a c a c B 11 , c o s 2a c B 22113 ( )24ba 01a 21 14 b 1 12 b2 2 2( 1 ) ( ) 0nnS n n S n n 2( ) ( 1 ) 0nnS n n S 由于 是正项数列，所以 。 于是 时， 。 综上，数列 的通项 。 （ 2）证明：由于 。 则 。 。 18.
13、（本小题满分 12 分） 解：（ 1）从 8 个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种， 时，两向量夹角为直角共有 8 种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为 。 （ 2）两向量数量积 的所有可能取值为 时，有两种情形； 时，有 8 种情形； 时，有 10 种情形。所以 的分布列为： 。 19.（本大题满分 12 分） 解：（ 1）在 中，因为 是 的中点，所以 , 故 ， 因为 ,所以 , 从而有 ， 故 ,又因为 所以 。 na 20,nnS S n n 112 , 2a S n 221 ( 1 ) ( 1 ) 2n n na S S n n n n n na 2nan2212, ( 2
14、 )nn nna n b na 2 2 2 21 1 1 14 ( 2 ) 1 6 ( 2 )nnbn n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 111 6 3 2 4 3 5 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )nT n n n n 2 2 2 21 1 1 1 1 1 51 ( 1 )1 6 2 ( 1 ) ( 2 ) 1 6 2 6 4nn 28 28C 082( 0 ) 2 8 7P 2 , 1, 0 ,1, 2 1 1 2 1 0 1P 114 514 27 271 5 2 2 3( 2 ) + ( 1 ) 0 11 4 1 4 7 7 1 4E
15、 ABD E BD 1E A E B E D A B ,23B A D A B E A E B D AB D CB EAB ECB FED FEA ,E F A D A F F D ,PG GD FG PA 又 平面 ， 所以 故 平面 。 （ 2）以点 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则 , ，故 设平面 的法向量 ，则 ， 解得 ，即 。 设平面 的法向量 ，则 ，解得 ， 即 。从而平面 与平面 的夹角的余弦值为 。 20.（本大题满分 13 分） 解：（ 1）由 在椭圆上得， 依题设知 ，则 代入 解得 。 故椭圆 的方程为 。 （ 2） 方法一： 由题意可设 的斜率为 ， 则直线 的
16、方程为 代入椭圆方程 并整理，得， 设 ，则有 在方程 中令 得， 的坐标为 。 从而 。 PA ABCD,GF AD AD CFGA 33( 0 , 0 , 0 ) , (1 , 0 , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 )22A B C D3(0,0, )2P 1 3 3 3 3 3 3( 0 ) , ( , ) , ( , , 0 )2 2 2 2 2 2 2B C C P C D ， ， ，BCP 1 1 1(1, , )n y z11113 0223 3 3 02 2 2yyz 113323yz 132(1, , )33n DCP 2 2 2(1, , )n
17、 y z22233 0223 3 3 02 2 2yyz 2232yz 2 (1, 3, 2)n BCP DCP1212423c o s416 89nnnn 3(1, )2P221914ab2ac 223bc2 2 21 , 4 , 3c a b C 22143xyAB kAB ( 1)y k x223 4 1 2xy2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 ( 3 ) 0k x k x k 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y221 2 1 28 4 ( 3 ),4 3 4 3kkx x x x 4x M (4,3 )k121 2 33 3 3312 2 2,1 1 4
18、 1 2y y kk k k kxx 注意到 共线，则有 ，即有 。 所以 代入 得 ， 又 ，所以 。故存在常数 符合题意。 方法二： 设 ，则直线 的方程为： ， 令 ，求得 ， 从而直线 的斜率为 ， 联立 ，得 ， 则直线 的斜率为： ，直线 的斜率为： ， 所以 ， 故存在常数 符合题意。 21.（本大题满分 14 分） （ 1）证明：因为 ，有 ， 所以函数 的图像关于直线 对称。 （ 2）解：当 时，有 所以 只有一个解 ，又 ，故 0 不是二阶周期点。 当 时，有 ,AF B AF BFk k k 1211yy kxx12 12121 2 1 2 1 2333 1 122 ()
19、1 1 1 1 2 1 2yy yykk x x x x x x 121 2 1 2232 2 ( ) 1xxk x x x x 2212 228 23 432 2 14 ( 3 ) 82 14 3 4 3kkk k k kkk 3 12kk 1 2 32k k k20 0 0( , ) ( 1)B x y x FB 00( 1)1yyxx4x 003(4, )1yM x PM 003 0212 ( 1)yxk x 0022( 1 )1143yyxxxy 005 8 3( , )2 5 2 5xyA xxPA 001 02 2 52 ( 1 )yxk x PB 02 0232 ( 1)yk x
20、 0 0 0 0 01 2 30 0 02 2 5 2 3 2 1 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1y x y y xk k kx x x 211( ) ( 1 2 ) , ( ) ( 1 2 )22f x a x f x a x 11( ) ( )22f x f x ()fx 12x10 2a 224,( ( ) )4 (1 ) ,axf f xax 1,21.2xx( ( )f f x x 0x (0) 0f 12a ,( ( ) )1,xf f xx 1,21.2xx 所以 有解集 ，又当 时， ，故 中的所有点都不是二阶周期点。 当 时，有 所以 有四个解 ，又 ， ，故只有 是
21、的二阶周期点。综上所述，所求 的取值范围为 。 （ 3）由（ 2）得 ， 因为 为函数 的最大值点，所以 或 。 当 时， 。求导得： ， 所以当 时， 单调递增，当 时 单调递减； 当 时， ，求导得： ， 因 ，从而有 ， 所以当 时 单调递增。 ( ( )f f x x 1| 2xx12x ()f x x 1|2xx12a222221,44,11,2 4 , 42( ( ) )1 4 12 (1 2 ) 4 ,244 4 ,41.4xaaxxa a x af f xaa a a xxaa a xaxa ( ( )f f x x 2222 2 40 , , ,1 4 1 2 1 4a a
22、aa a a 22( 0 ) 0 , ( )1 2 1 2aaff2 2 2 22 2 4 4( ) , ( )1 4 1 4 1 4 1 4a a a affa a a a 22224,1 4 1 4aa ()fxa 12a2122224,1 4 1 4aaxx3x ( ( )f f x 3 14x a 3 414ax a3 14x a 221() 4 (1 4 )aSa a 221 2 1 22 ( ) ( )22( )(1 4 )aaSa a 1 1 2( , )22a ()Sa 12( , )2a ()Sa3 414ax a228 6 1()4 (1 4 )aaSaa2221 2 4 3( )2 (1 4 )aaSaa12a 2221 2 4 3( ) 02 (1 4 )aaSaa1( , )2a ()Sa
