1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分 . 1.(5 分 )设集合 S=x|x -2， T=x|-4x1 ，则 ST= ( ) A. -4， +) B. (-2， +) C. -4， 1 D. (-2， 1 解析 ： 集合 S=x|x -2=(-2， +) ， T=x|-4x1= -4， 1， ST=( -2， 1. 答案： D 2.(5 分 )已知 i 是虚数单位，则 (2+i)(3+i)=( ) A. 5-5i B. 7-5i C. 5+5i D. 7+5i 解析 ： 复数 (2+i)(3+i)=6+5i+i2
2、=5+5i. 答案： C. 3.(5 分 )若 R，则 “=0” 是 “sin cos” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： “=0” 可以得到 “sin cos” ， 当 “sin cos” 时，不一定得到 “=0” ，如 = 等， “=0” 是 “sin cos” 的充分不必要条件， 答案： A. 4.(5 分 )设 m、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A. 若 m ， n ，则 mn B. 若 m ， m ，则 C. 若 mn ， m ，则 n D. 若 m ， ，则
3、 m 解析 ： A、 m ， n ，则 mn ， m 与 n 可能相交也可能异面，所以 A 不正确； B、 m ， m ， 则 ，还有 与 可能相交，所以 B 不正确； C、 mn ， m ，则 n ，满足直线与平面垂直的性质定理，故 C 正确 . D、 m ， ，则 m ，也可能 m ，也可能 m=A ，所以 D 不正确； 答案： C. 5.(5 分 )已知某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则该几何体的体积是 ( ) A. 108cm3 B. 100cm3 C. 92cm3 D. 84cm3 解析 ： 由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为 6， 6， 3，砍去一个三条侧棱长分别为
4、 4，4， 3 的一个三棱锥 (长方体的一个角 ). 该几何体的体积 V=663 - =100. 答案： B. 6.(5 分 )函数 f(x)=sinxcosx+ cos2x 的最小正周期和振幅分别是 ( ) A. ， 1 B. ， 2 C. 2 ， 1 D. 2 ， 2 解析 ： f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ )， -1sin(2x+ )1 ， 振幅为 1， =2 ，T=. 答案： A 7.(5 分 )已知 a、 b、 c R，函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4) f(1)，则 ( ) A. a 0， 4a+b=0 B. a 0， 4a+b=0 C
5、. a 0， 2a+b=0 D. a 0， 2a+b=0 解析 ： 因为 f(0)=f(4)，即 c=16a+4b+c，所以 4a+b=0； 又 f(0) f(1)，即 c a+b+c，所以 a+b 0，即 a+(-4a) 0，所以 -3a 0，故 a 0. 答案： A. 8.(5 分 )已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y=f (x)的图象如图所示，则该函数的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由导数的图象可得，导函数 f(x) 的值在 -1， 0上的逐渐增大， 故函数 f(x)在 -1， 0上增长速度逐渐变大，故函数 f(x)的图象是下凹型的 . 导
6、函数 f(x) 的值在 0， 1上的逐渐减小， 故函数 f(x)在 0， 1上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的， 答案： B. 9.(5 分 )如图 F1、 F2是椭圆 C1： +y2=1 与双曲线 C2的公共焦点 A、 B 分别是 C1、 C2在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设 |AF1|=x， |AF2|=y， 点 A 为椭圆 C1： +y2=1 上的点， 2a=4 ， b=1， c= ； |AF 1|+|AF2|=2a=4，即 x+y=4； 又四边形 AF1BF2为矩形， + = ，即 x2+y2=(2c
7、)2= =12， 由 得： ，解得 x=2- ， y=2+ ，设双曲线 C2的实轴长为 2a，焦距为 2c， 则 2m=|AF2|-|AF1|=y-x=2 ， 2n=2 =2 ， 双曲线 C2的离心率 e= = = . 答案： D. 10.(5 分 )设 a， b R，定义运算 “ ” 和 “” 如下： a b= ab= 若正数 a、 b、 c、 d 满足 ab4 ， c+d4 ，则 ( ) A. a b2 ， c d2 B. a b2 ， cd2 C. ab2 ， c d2 D. ab2 ， cd2 解析 ： a b= ， ab= ，正数 a、 b、 c、 d 满足 ab4 ， c+d4 ，
8、 不妨令 a=1， b=4，则 a b2 错误，故可排除 A， B； 再令 c=1， d=1，满足条件 c+d4 ，但不满足 cd2 ，故可排除 D； 答案： C. 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4分，共 28分 . 11.(4 分 )已知函数 f(x)= ，若 f(a)=3，则实数 a= . 解析 ： 因为函数 f(x)= ，又 f(a)=3，所以 ，解得 a=10. 答案： 10. 12.(4 分 )从三男三女 6 名学生中任选 2 名 (每名同学被选中的概率均相等 )，则 2 名都是女同学的概率等于 . 解析 ： 从 6 名学生中任选 2 名共有 =15 种情况，满足 2 名都
9、是女同学的共有 =3种情况， 故所求的概率为： = 答案： 13.(4 分 )直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等于 . 解析 ： 圆 x2+y2-6x-8y=0 的圆心坐标 (3， 4)，半径为 5，圆心到直线的距离为：， 因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理， 所以直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长为： 2 =4 . 答案： 4 . 14.(4 分 )某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 . 解析 ： 由题意可知，该程序的作用是求解 S=1+ + + + 的值 . 而 S=1+ + + + =1+1- + - + -
10、 + - = . 答案： . 15.(4 分 )设 z=kx+y，其中实数 x、 y 满足 若 z 的最大值为 12，则实数k= . 解析 ： 作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的 ABC 及其内部， 其中 A(2， 0)， B(2， 3)， C(4， 4) 设 z=F(x， y)=kx+y，将直线 l： z=kx+y 进行平移，可得 当 k 0 时，直线 l 的斜率 -k 0， 由图形可得当 l 经过点 B(2， 3)或 C(4， 4)时， z 可达最大值， 此时， zmax=F(2， 3)=2k+3 或 zmax=F(4， 4)=4k+4 但由于 k 0，使得 2k+3 12 且 4k
11、+4 12，不能使 z 的最大值为 12， 故此种情况不符合题意； 当 k0 时，直线 l 的斜率 -k0 ， 由图形可得当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最大值 此时 zmax=F(4， 4)=4k+4=12，解之得 k=2，符合题意 综上所述，实数 k 的值为 2 答案： 2 16.(4 分 )设 a， b R，若 x0 时恒有 0x 4-x3+ax+b (x2-1)2，则 ab等于 . 解析 ： 验证发现， 当 x=1 时，将 1 代入不等式有 0a+b0 ，所以 a+b=0， 当 x=0 时，可得 0b1 ，结合 a+b=0 可得 -1a0 ， 令 f(x)=x4-x3+ax+
12、b，即 f(1)=a+b=0， 又 f(x)=4x 3-3x2+a， f(x)=12x 2-6x， 令 f(x) 0，可得 x ，则 f(x)=4x 3-3x2+a 在 0， 上减，在 ， +) 上增 又 -1a0 ，所以 f(0)=a 0， f(1)=1+a0 . 又 x0 时恒有 0x 4-x3+ax+b，结合 f(1)=a+b=0 知， 1必为函数 f(x)=x4-x3+ax+b 的极小值点，也是最小值点 .故有 f(1)=1+a=0 ，由此得 a=-1， b=1， 故 ab=-1. 答案： -1 17.(4 分 )设 、 为单位向量，非零向量 =x +y ， x、 y R.若 、 的夹
13、角为30 ，则 的最大值等于 . 解析 ： 、 为单位向量， 和 的夹角等于 30 ， =11cos30= . 非零向量 =x +y ， | |= = = ， = = = = ， 故当 =- 时， 取得最大值为 2， 答案： 2. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18.(14 分 )在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2asinB= b. ( )求角 A 的大小； ( )若 a=6， b+c=8，求 ABC 的面积 . 解析 ： () 利用正弦定理化简已知等式，求出 sinA 的值，由 A 为锐
14、角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数； () 由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a， b+c 及 cosA 的值代入求出bc 的值，再由 sinA 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积 . 答案： () 由 2asinB= b，利用正弦定理得： 2sinAsinB= sinB， sinB0 ， sinA= ，又 A 为锐角，则 A= ； () 由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA ，即 36=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=64-3bc， bc= ，又 sinA= ，则 SABC = bcsinA= . 19.(14 分 )在公差
15、为 d 的等差数列 an中，已知 a1=10，且 a1， 2a2+2， 5a3成等比数列 . ( )求 d， an； ( )若 d 0，求 |a1|+|a2|+|a3|+|a n|. 解析 ： () 直接由已知条件 a1=10，且 a1， 2a2+2， 5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式 an可求； () 利用 () 中的结论，得到等差数列 an的前 11 项大于等于 0，后面的项小于 0，所以分类讨论求 d 0 时 |a1|+|a2|+|a3|+|a n|的和 . 答案： () 由题意得 ，即 ，整理得 d2-3d-4=0.解得 d=-1 或 d=4. 当 d=-1 时， an=a1+
16、(n-1)d=10-(n-1)=-n+11. 当 d=4 时， an=a1+(n-1)d=10+4(n-1)=4n+6. 所以 an=-n+11 或 an=4n+6； () 设数列 an的前 n 项和为 Sn，因为 d 0，由 () 得 d=-1， an=-n+11. 则当 n11 时， . 当 n12 时， |a1|+|a2|+|a3|+|a n|=-Sn+2S11= . 综上所述， |a1|+|a2|+|a3|+|a n|= . 20.(15 分 )如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA 面 ABCD， AB=BC=2， AD=CD= ， PA= ，ABC=120 ， G 为线段 PC
17、上的点 . ( )证明： BD 平面 PAC； ( )若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 PAC所成的角的正切值； ( )若 G 满足 PC 面 BGD，求 的值 . 解析 ： () 由 PA 面 ABCD，可得 PABD ；设 AC 与 BD 的交点为 O，则由条件可得 BD是 AC的中垂线，故 O为 AC的中点，且 BDAC. 再利用直线和平面垂直的判定定理证得 BD 面 PAC. () 由三角形的中位线性质以及条件证明 DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角，求出 GO 和 AC的值，可得 OC、 OD 的值，再利用直角三角形中的边角关系求得 tanDGO 的值 . () 先证
18、PCOG ，且 PC= = .由 COGCAP ，可得 ，解得 GC 的值，可得 PG=PC-GC 的值，从而求得 的值 . 答案： () 在四棱锥 P-ABCD 中， PA 面 ABCD， PABD. AB=BC=2 ， AD=CD= ，设 AC 与 BD 的交点为 O，则 BD是 AC 的中垂线，故 O为 AC 的中点，且 BDAC. 而 PAAC=A ， BD 面 PAC. () 若 G 是 PC 的中点， O 为 AC 的中点，则 GO 平行且等于 PA，故由 PA 面 ABCD，可得 GO面 ABCD， GOOD ，故 OD 平面 PAC，故 DGO 为 DG 与平面 PAC所成的角
19、 . 由题意可得， GO= PA= . ABC 中，由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+4 -222 cos120=12 ， AC=2 ， OC= . 直角三角形 COD 中， OD= =2， 直角三角形 GOD 中， tanDGO= = . () 若 G 满足 PC 面 BGD， OG 平面 BGD， PCOG ，且 PC= = . 由 COGCAP ，可得 ，即 ，解得 GC= ， PG=PC -GC= - = ， = = . 21.(15 分 )已知 a R，函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax ( )若 a=1，求曲线 y=f(x)在点 (2
20、， f(2)处的切线方程； ( )若 |a| 1，求 f(x)在闭区间 0， |2a|上的最小值 . 解析： () 求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线 y=f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； () 分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值 . 答案： () 当 a=1 时， f(x)=6x 2-12x+6，所以 f(2)=6 f(2)=4 ， 曲线 y=f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y=6x-8； () 记 g(a)为 f(x)在闭区间 0， |2a|上的最小值 .f(x)=6x 2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)
21、 令 f(x)=0 ，得到 x1=1， x2=a 当 a 1 时， 比较 f(0)=0 和 f(a)=a2(3-a)的大小可得 g(a)= ； 当 a -1 时， g(a)=3a -1， f(x) 在闭区间 0， |2a|上的最小值为 g(a)= . 22.(14 分 )已知抛物线 C 的顶点为 O(0， 0)，焦点 F(0， 1) ( )求抛物线 C 的方程； ( )过 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点 .若直线 OA、 OB 分别交直线 l： y=x-2于 M、 N两点，求 |MN|的最小值 . 解析 ： (I)由抛物线的几何性质及题设条件焦点 F(0， 1)可直接求得 p，确定出抛物
22、线的开口方向，写出它的标准方程； (II)由题意，可 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y=kx+1，将直线方程与 (I)中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出 |MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值 . 答案： (I)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p 0)则 =1，解得 p=2，故抛物线 C 的方程为 x2=4y. (II)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y=kx+1， 由 消去 y，整理得 x2-4kx-4=0， 所以 x1+x2=4k， x1x2=-4，从而有 |x1-x2|= =4 ， 由 解得点 M 的横坐标为 xM= = = ， 同理可得点 N 的横坐标为 xN= ， 所以 |MN|= |xM-xN|= | - |=8 | |=， 令 4k-3=t， t 不为 0，则 k= ， 当 t 0 时， |MN|=2 2 ， 当 t 0 时， |MN|=2 =2 ， 综上所述，当 t=- 时， |MN|的最小值是 .
