2013年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)理数-含答案.docx

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1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标卷 ) 数学 (理科 ) 注意事项: 1. 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分 。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

2、 ( 1)已知集合 M= x|(x-1)2 0)的焦点为 F,点 M 在 C 上, |MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点( 0, 2),则 C 的方程为 ( A) y2=4x 或 y2=8x ( B) y2=2x 或 y2=8x ( C) y2=4x 或 y2=16x ( D) y2=2x 或 y2=16x ( 12)已知点 A( -1, 0); B( 1, 0); C( 0, 1),直线 y=ax+b(a0)将 ABC分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是 ( A)( 0, 1) (B) ( C) (D) 第 卷 本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题 第 2

3、4题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ( 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则 =_. ( 14)从 n 个正整数 1, 2, n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 ,则 n=_. ( 15)设 为第二象限角,若 ,则 =_. ( 16)等差数列 an的前 n 项和为 Sn ,已知 S10=0, S15 =25,则 nSn 的最小值为 _. 三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ( 17)(本小题满分 12 分) ABC 在内角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c,已

4、知 a=bcosC+csinB。 ( )求 B; ( )若 b=2,求 ABC 面积的最大值。 ( 18)如图,三 棱柱 ABC-A1B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点, AA1=AC=CB= AB。 ()证明: BC1/平面 A1CD1 ()求二面角 D-A1C-E 的正弦值 211,22211,23 11,321141ta n 42sin cos22B C A A1 B1 C1 D E ( 19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度

5、内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 x(单位: t, 100x150)表示 市场需求量。 T(单位:元)表示 下一个销售季度内经销该农产品的利润。 ()将 T 表示为 x 的函数 ()根据直方图估计利润 T,不少于 57000 元的概率; ()在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x )则取 x=105,且 x=105 的概率等于需求量落入 的利润 T 的数学期望。 (20)(本小题满分 12 分 ) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: (a

6、b0)右焦点的直线 x+y- =0 交 M 于A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 ( )求 M 的方程 () C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD AB,求四边形 ACBD 面积的最大值 ( 21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ex-ln(x+m) ( )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; ()当 m 2 时,证明 f(x)0 请考生在第 22、 23、 24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清题号。 ( 22)(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,

7、 CD 为 ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D, E、 F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BCAE=DCAF, B、 E、 F、 C 四点共圆。 ( 1) 证明: CA 是 ABC 外接圆的直径; ( 2) 若 DB=BE=EA,求过 B、 E、 F、 C 四点的圆 的面积与 ABC 外接圆面积的比值。 100,110 100,110221xyab12A B C DE F ( 23)(本小题满分 10 分)选修 4 4;坐标系与参数方程 已知动点 P, Q 都在曲线 C: 上,对应参数分别为 = 与 =2为( 0 2) M 为 PQ 的中点。 ( )求 M

8、 的轨迹的参数方程 ( )将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M的轨迹是否过坐标原点。 ( 24)(本小题满分 10 分)选修 4 5;不等式选讲 设 a, b, c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: ( ) ( ) 参考答案 一 选择题 1 2 3 4 5 6 A A C D D B 7 8 9 10 11 12 A D B C C B 二 填空题 13. 2 14. 8 15. 16. 三解答题 17. 【解析】( )因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:, sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以 sin(B+C)=sinBcosC+si

9、nCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC 0,所以 ,解得 B= ; ( )由余弦定理得: ,即 ,由不等式得: 2 c o s 2 s i nxy 为 参 数13a b b c c a 2 2 2 1abcb c a 10549 tan 1B42 2 2 2 c o s 4b a c a c 2242a c a c ,当且仅当 时,取等号,所以 ,解得 ,所以 ABC 的面积为 = ,所以 ABC 面积的最大值为 . 18. 【解析】()连结 ,交 于点 O,连结 DO,则 O 为 的中点,因为 D 为AB 的中点,所以 OD ,又因为 OD 平面 , 平面 ,所

10、以 /平面 ; ()由 =AC=CB= AB 可设: AB= ,则 =AC=CB= ,所以 AC BC,又因为直棱柱,所以以点 C 为坐标原点,分别以直线 CA、 CB、 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系如图, 则 、 、 、 , , ,设平面 的法向量为 ,则 且,可解得 ,令 ,得平面 的一个法向量为 ,同理可得平面 的一个法向量为 ,则 ,所以222a c ac ac 4 ( 2 2 )ac 4 2 2ac1 sin24ac 2 ( 4 2 2 )4 21 211AC 1AC 1AC1BC 1ACD 1BC 1ACD 1BC 1ACD1AA 22 2a 1AA 2a1C

11、C(0,0,0)C 1( 2 , 0 , 2 )A a a 22( , , 0 )aaD 2( 0 , 2 , )2aEa1 ( 2 , 0 , 2 )C A a a 22( , , 0 )aaCD 2( 0 , 2 , )2 aC E a12( 2 , 2 , )2 aA E a a 1ACD ( , , )n x y z 0n CD1 0n CA y x z 1x 1ACD (1, 1, 1)n 1ACE (2,1, 2)m cos ,nm 33 ,所以二面角 D- -E 的正弦值为 . 19. 20 【解析】 ( )设 则 , ,( 1)( 2)得: ,因为 ,设 ,因为 P 为AB 的

12、中点,且 OP 的斜率为 ,所以 ,即 ,所以可以解得,即 ,即 ,又因为 ,所以 ,所以 M 的方程为 . ()因为 CD AB,直线 AB 方程为 ,所以设直线 CD 方程为 , 将 代入 得: ,即 、 ,所以可得 ;将 代入 得: ,设则 6s i n , 3nm 1AC 6311( , ),A x y 22( , ),B x y22111(1)xyab221( 2 )xyab1 2 1 2 1 2 1 222( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y yab 12121yyxx 00( , )P x y12 0012yx 1 2 1 21 ()2y y x x 22

13、2ab 2 2 22 ( )a a c 222ac 3c 2 6a 22163xy30xy y x m30xy 22163xy 23 4 3 0xx (0, 3)A 4 3 3( , )33B 46|3AB y x m 22163xy 223 4 2 6 0x m x m 33( , ),C x y44( , ),D x y = ,又因为 ,即 ,所以当 时, |CD|取得最大值 4,所以四边形 ACBD 面积的最大值为. 21. 【解析】 ( )因为 , x=0 是 f(x)的极值点,所以 ,解得 , 所以函数 f(x)= -ln(x+1),其定义域为 ,因为 = , 设 ,则 ,所以 在

14、上是增函数,又因为 ,所以当 时, ,即 ;当 时, ,所以 在 上是减函数;在 ,上是增函数。 22. 23 4 3 4| | 2 ( ) 4C D x x x x 222 1 8 23 m 221 6 1 2 ( 2 6 ) 0mm 33m 0m1 | | | |2 A B C D863 1() xf x e xm 1( 0 ) 1 0f m 1mxe ( 1, ) 1()1xf x e x ( 1) 11xexx( ) ( 1 ) 1xg x e x ( ) ( 1 ) 0xxg x e x e ()gx ( 1, ) (0) 0g 0x ( ) 0gx ( ) 0fx 10x ( ) 0gx ( ) 0fx()fx ( 1,0) (0, ) ()另解:设 DB=BE=EA= ,则由切割线定理可得: ,解得 ,由( 1)知: CA是 ABC 外接圆的直径,所以 ,AC CD,解得 AC= , CE= ,所以过 B、 E、 F、 C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值为 = . 23. 【解析】 24. 【解析】 a2D C D B D A 3DC a CB DA6a 3a223()26()2aa12

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