1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标卷 ) 数学 (理科 ) 注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题 共 50 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分 。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2、 （ 1）已知集合 M= x|(x-1)2 0)的焦点为 F，点 M 在 C 上， |MF|=5，若以 MF 为直径的圆过点（ 0， 2），则 C 的方程为 （ A） y2=4x 或 y2=8x （ B） y2=2x 或 y2=8x （ C） y2=4x 或 y2=16x （ D） y2=2x 或 y2=16x （ 12）已知点 A（ -1， 0）； B（ 1， 0）； C（ 0， 1），直线 y=ax+b(a0)将 ABC分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是 （ A）（ 0， 1） (B) ( C) (D) 第 卷 本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第 22 题 第 2
3、4题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则 =_. （ 14）从 n 个正整数 1， 2， n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 ，则 n=_. （ 15）设 为第二象限角，若 ，则 =_. （ 16）等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，已知 S10=0， S15 =25，则 nSn 的最小值为 _. 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） ABC 在内角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，已
4、知 a=bcosC+csinB。 （ ）求 B； （ ）若 b=2，求 ABC 面积的最大值。 （ 18）如图，三 棱柱 ABC-A1B1C1 中， D， E 分别是 AB， BB1 的中点， AA1=AC=CB= AB。 （）证明： BC1/平面 A1CD1 （）求二面角 D-A1C-E 的正弦值 211,22211,23 11,321141ta n 42sin cos22B C A A1 B1 C1 D E （ 19）（本小题满分 12 分） 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元。根据历史资料，得到销售季度
5、内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 x（单位： t， 100x150）表示 市场需求量。 T（单位：元）表示 下一个销售季度内经销该农产品的利润。 （）将 T 表示为 x 的函数 （）根据直方图估计利润 T，不少于 57000 元的概率； （）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值， 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 x ）则取 x=105，且 x=105 的概率等于需求量落入 的利润 T 的数学期望。 (20)(本小题满分 12 分 ) 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： (a
6、b0)右焦点的直线 x+y- =0 交 M 于A， B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 ( )求 M 的方程 （） C,D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD AB，求四边形 ACBD 面积的最大值 （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=ex-ln(x+m) ( )设 x=0 是 f(x)的极值点，求 m,并讨论 f(x)的单调性； （）当 m 2 时，证明 f(x)0 请考生在第 22、 23、 24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4-1 几何证明选讲 如图，
7、 CD 为 ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD 于点 D， E、 F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点， 且 BCAE=DCAF， B、 E、 F、 C 四点共圆。 （ 1） 证明： CA 是 ABC 外接圆的直径； （ 2） 若 DB=BE=EA,求过 B、 E、 F、 C 四点的圆 的面积与 ABC 外接圆面积的比值。 100,110 100,110221xyab12A B C DE F （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4 4；坐标系与参数方程 已知动点 P， Q 都在曲线 C： 上，对应参数分别为 = 与 =2为（ 0 2） M 为 PQ 的中点。 （ ）求 M
8、 的轨迹的参数方程 （ ）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点。 （ 24）（本小题满分 10 分）选修 4 5；不等式选讲 设 a， b， c 均为正数，且 a+b+c=1，证明： （ ） （ ） 参考答案 一 选择题 1 2 3 4 5 6 A A C D D B 7 8 9 10 11 12 A D B C C B 二 填空题 13. 2 14. 8 15. 16. 三解答题 17. 【解析】（ ）因为 a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得：， sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以 sin(B+C)=sinBcosC+si
9、nCsinB，即 cosBsinC=sinCsinB，因为 sinC 0，所以 ，解得 B= ； （ ）由余弦定理得： ，即 ，由不等式得： 2 c o s 2 s i nxy 为 参 数13a b b c c a 2 2 2 1abcb c a 10549 tan 1B42 2 2 2 c o s 4b a c a c 2242a c a c ，当且仅当 时，取等号，所以 ，解得 ，所以 ABC 的面积为 = ，所以 ABC 面积的最大值为 . 18. 【解析】（）连结 ，交 于点 O，连结 DO，则 O 为 的中点，因为 D 为AB 的中点，所以 OD ，又因为 OD 平面 ， 平面 ，所
10、以 /平面 ； （）由 =AC=CB= AB 可设： AB= ，则 =AC=CB= ，所以 AC BC，又因为直棱柱，所以以点 C 为坐标原点，分别以直线 CA、 CB、 为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系如图， 则 、 、 、 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 且，可解得 ，令 ，得平面 的一个法向量为 ，同理可得平面 的一个法向量为 ，则 ，所以222a c ac ac 4 ( 2 2 )ac 4 2 2ac1 sin24ac 2 ( 4 2 2 )4 21 211AC 1AC 1AC1BC 1ACD 1BC 1ACD 1BC 1ACD1AA 22 2a 1AA 2a1C
11、C(0,0,0)C 1( 2 , 0 , 2 )A a a 22( , , 0 )aaD 2( 0 , 2 , )2aEa1 ( 2 , 0 , 2 )C A a a 22( , , 0 )aaCD 2( 0 , 2 , )2 aC E a12( 2 , 2 , )2 aA E a a 1ACD ( , , )n x y z 0n CD1 0n CA y x z 1x 1ACD (1, 1, 1)n 1ACE (2,1, 2)m cos ,nm 33 ，所以二面角 D- -E 的正弦值为 . 19. 20 【解析】 ( )设 则 ， ，（ 1）（ 2）得： ，因为 ，设 ，因为 P 为AB 的
12、中点，且 OP 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得，即 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以 M 的方程为 . （）因为 CD AB，直线 AB 方程为 ，所以设直线 CD 方程为 ， 将 代入 得： ，即 、 ，所以可得 ；将 代入 得： ，设则 6s i n , 3nm 1AC 6311( , ),A x y 22( , ),B x y22111(1)xyab221( 2 )xyab1 2 1 2 1 2 1 222( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y yab 12121yyxx 00( , )P x y12 0012yx 1 2 1 21 ()2y y x x 22
13、2ab 2 2 22 ( )a a c 222ac 3c 2 6a 22163xy30xy y x m30xy 22163xy 23 4 3 0xx (0, 3)A 4 3 3( , )33B 46|3AB y x m 22163xy 223 4 2 6 0x m x m 33( , ),C x y44( , ),D x y = ，又因为 ，即 ，所以当 时， |CD|取得最大值 4，所以四边形 ACBD 面积的最大值为. 21. 【解析】 ( )因为 , x=0 是 f(x)的极值点，所以 ,解得 ， 所以函数 f(x)= -ln(x+1)，其定义域为 ，因为 = ， 设 ，则 ，所以 在
14、上是增函数，又因为 ，所以当 时， ，即 ；当 时， ，所以 在 上是减函数；在 ，上是增函数。 22. 23 4 3 4| | 2 ( ) 4C D x x x x 222 1 8 23 m 221 6 1 2 ( 2 6 ) 0mm 33m 0m1 | | | |2 A B C D863 1() xf x e xm 1( 0 ) 1 0f m 1mxe ( 1, ) 1()1xf x e x ( 1) 11xexx( ) ( 1 ) 1xg x e x ( ) ( 1 ) 0xxg x e x e ()gx ( 1, ) (0) 0g 0x ( ) 0gx ( ) 0fx 10x ( ) 0gx ( ) 0fx()fx ( 1,0) (0, ) （）另解：设 DB=BE=EA= ，则由切割线定理可得： ，解得 ，由（ 1）知： CA是 ABC 外接圆的直径，所以 ，AC CD，解得 AC= ， CE= ，所以过 B、 E、 F、 C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值为 = . 23. 【解析】 24. 【解析】 a2D C D B D A 3DC a CB DA6a 3a223()26()2aa12
