1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， B=2， 3， 4，则 B C A=( ) A. 2 B. 3， 4 C. 1， 4， 5 D. 2， 3， 4， 5 解析 ： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， B=2， 3， 4，则 CUA=3， 4， 5， 又因为 B=2， 3， 4，则 (CUA)B=3 ， 4. 答案： B. 2.(5 分 )已知 ，则
2、双曲线 C1： 与 C2：的 ( ) A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 解析 ： 双曲线 C1： 可知 a=sin ， b=cos ， 2c=2(sin2+cos 2)=2 ； 双曲线 C2： 可知， a=cos ， b=sin ， 2c=2(sin2+cos 2)=2 ； 所以两条双曲线的焦距相等 . 答案： D. 3.(5 分 )在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是 “ 甲降落在指定范围 ” ，q 是 “ 乙降落在指定范围 ” ，则命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为( ) A. ( p)( q) B. p( q)
3、 C. ( p) ( q) D. pq 解析 ： 命题 p 是 “ 甲降落在指定范围 ” ，则 p 是 “ 甲没降落在指定范围 ” ， q 是 “ 乙降落在指定范围 ” ，则 q 是 “ 乙没降落在指定范围 ” ，命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 包括 “ 甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围 ” 或 “ 甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围 ” 或 “ 甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围 ” 三种情况 .所以命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为 ( p)V( q). 答案： A. 4.(5 分 )四名同学根据各自的样本数据研究变量 x， y 之间的相关关
4、系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： y 与 x 负相 关且 =2.347x-6.423； y 与 x 负相关且 =-3.476x+5.648； y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493； y 与 x 正相关且 =-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： y 与 x 负相关且 =2.347x-6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关； y 与 x 负相关且 ；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征； y 与 x 正相关且 ； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征； y 与 x 正相关且 .
5、此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征 . 综上判断知， 是一定不正确的 答案： D 5.(5 分 )小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶 .与以上事件吻合得最好的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除 A； 再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与 X 轴平行，由此排除 D， 后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定 C
6、正确，B 不正确 . 答案： C 6.(5 分 )将函数 的图象向左平移 m(m 0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： y= cosx+sinx=2( cosx+ sinx)=2sin(x+ )， 图象向左平移 m(m 0)个单位长度得到 y=2sin(x+m)+ =2sin(x+m+ )， 所得的图象关于 y 轴对称， m+ =k+ (k Z)，则 m 的最小值为 . 答案： B 7.(5 分 )已知点 A(-1， 1)， B(1， 2)， C(-2， -1)， D(3， 4)，则向量 在 方向上的投影为 ( ) A.
7、B. C. D. 解析 ： ， ， 则向量 方向上的投影为： cos = = = ， 答案： A. 8.(5 分 )x 为实数， x表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)=x-x在 R 上为 ( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 周期函数 解析 ： f(x)=x -x， f(x+1)=(x+1) -x+1=x+1-x-1=x-x=f(x)， f(x)=x -x在 R上为周期是 1 的函数 . 答案： D. 9.(5 分 )某旅行社租用 A、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行， A、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元 /
8、辆和 2400元 /辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆 .则租金最少为 ( ) A. 31200 元 B. 36000 元 C. 36800 元 D. 38400 元 解析 ： 设分别租用 A、 B 两种型号的客车 x 辆、 y 辆，所用的总租金为 z 元，则 z=1600x+2400y，其中 x、 y 满足不等式组 ， (x、 y N) A 型车租金为 1600 元，可载客 36 人， A 型车的人均租金是 44.4 元， 同理可得 B 型车的人均租金是 =40 元， 由此可得，租用 B 型车的成本比租用 A 型车的成本低 ， 因此，在满足不等式组的情
9、况下尽可能多地租用 B 型车，可使总租金最低 ， 由此进行验证，可得当 x=5、 y=12 时，可载客 365+6012=900 人，符合要求 ， 且此时的总租金 z=16005+240012=36800 ，达到最小值 . 答案： C 10.(5 分 )已知函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (- ， 0) B. (0， ) C. (0， 1) D. (0， +) 解析 ： 函数 f(x)=x(lnx-ax)，则 f(x)=lnx -ax+x( -a)=lnx-2ax+1， 令 f(x)=lnx -2ax+1=0 得 lnx=2ax-1， 函
10、数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，等价于 f(x)=lnx -2ax+1 有两个零点， 等价于函数 y=lnx 与 y=2ax-1 的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象 (如图 )， 当 a= 时，直线 y=2ax-1 与 y=lnx 的图象相切， 由图可知，当 0 a 时， y=lnx 与 y=2ax-1 的图象有两个交点 .则实数 a 的取值范围是 (0，). 答案： B. 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5分，共 35分 . 11.(5 分 )i 为虚数单位，设复数 z1， z2在复平面内对应的点关于原点对称，若 z1=2-3i，则z2= . 解析 ：
11、设复数 z1， z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数 z1， z2的实部相反，虚部相反， z1=2-3i，所以 z2=-2+3i. 答案： -2+3i. 12.(5 分 )某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下： 7， 8， 7， 9， 5， 4， 9， 10，7， 4 则 ( )平均命中环数为 ； ( )命中环数的标准差为 . 解析 ： (I)根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是 =(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7， (II)可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是 s2= (7-7)2+(8-7)2+(4 -7)2=4. 答案： 7，
12、2. 13.(5 分 )阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序 .若输入 m 的值为 2，则输出的结果i= . 解析 ： 框图首先给累积变量 A， B 赋值 1， 1，给循环变量 i 赋值 0. 若输入 m 的值为 2，执行 i=1+1， A=12=2 ， B=11=1 ； 判断 2 1 不成立，执行 i=1+1=2， A=22=4 ， B=12=2 ； 判断 4 2 不成立，执行 i=2+1=3， A=42=8 ， B=23=6 ； 判断 8 6 不成立，执行 i=3+1=4， A=82=16 ， B=64=24 ； 判断 16 24 成立，跳出循环，输出 i 的值为 4. 答案： 4. 1
13、4.(5 分 )已知圆 O： x2+y2=5，直线 l： xcos+ysin=1 (0 ).设圆 O 上到直线 l的距离等于 1 的点的个数为 k，则 k= . 解析 ： 由圆的方程得到圆心 O(0， 0)，半径 r= ， 圆心 O 到直线 l 的距离 d= =1 ，且 r-d= -1 1=d， 圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 4，即 k=4. 答案： 4 15.(5 分 )在区间 -2， 4上随机地取一个数 x，若 x 满足 |x|m 的概率为 ，则 m= . 解析 ： 如图区间长度是 6，区间 -2， 4上随机地取一个数 x，若 x 满足 |x|m 的概率为 ，所以 m
14、=3. 答案： 3. 16.(5 分 )我国古代数学名著数书九章中有 “ 天池盆测雨 ” 题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水 .天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸 .若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸 . (注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸 ) 解析 ： 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为 14 寸， 下底面半径为 6 寸，高为 18 寸 . 因为积水深 9 寸，所以水面半径为 寸 . 则盆中水的体积为 (立方寸 ).所以则平地降雨量等于 (寸 ). 答案： 3. 17.(5 分 )在平面直角坐标系中，若点 P(x， y)的坐标 x
15、， y 均为整数，则称点 P 为格点 .若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形 .格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L.例如图中 ABC 是格点三角形，对应的 S=1， N=0，L=4. ( )图中格点四边形 DEFG 对应的 S， N， L 分别是 ； ( )已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c 其中 a， b， c 为常数 .若某格点多边形对应的 N=71， L=18，则 S= (用数值作答 ). 解析 ： () 观察图形，可得 S=3， N=1， L=6； () 不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时， S=2， N=0
16、， L=6， 格点多边形的面积 S=aN+bL+c， 结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 可得 ， ， S=N+ -1， 将 N=71， L=18 代入可得 S=79. 答案： ()3 ， 1， 6； ()79. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18.(12 分 )在 ABC 中，角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， c，已知 cos2A-3cos(B+C)=1. ( )求角 A 的大小； ( )若 ABC 的面积 S=5 ， b=5，求 sinBsinC 的值 . 解析 ： (I)利用倍角公式和诱导公式即
17、可得出； (II)由三角形的面积公式 即可得到 bc=20.又 b=5，解得 c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，即可得出 a.又由正弦定理得即可得到即可得出 . 答案： () 由 cos2A-3cos(B+C)=1，得 2cos2A+3cosA-2=0， 即 (2cosA-1)(cosA+2)=0，解得 (舍去 ).因为 0 A ，所以 . () 由 S= = = ，得到 bc=20.又 b=5，解得 c=4. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，故 . 又由正弦定理得 . 19.(13 分 )已知 Sn是等比数列
18、 an的前 n 项和， S4， S2， S3成等差数列，且 a2+a3+a4=-18. ( )求数列 an的通项公式； ( )是否存在正整数 n，使得 Sn2013 ？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由 . 解析 ： () 设数列 an的公比为 q，依题意，列出关于其首项 a1与公办 q 的方程组，解之即可求得数列 an的通项公式； () 依题意，可求得 1-(-2)n2013 ，对 n 的奇偶性分类讨论，即可求得答案 . 答案： () 设数列 an的公比为 q，显然 q1 ， 由题意得 ，解得 q=-2， a3=12， 故数列 an的通项公式为 an=a3q n-3=
19、12( -2)n-3=(- )( -2)n. () 由 () 有 an=(- )( -2)n.若存在正整数 n，使得 Sn2013 ， 则 Sn= =1-(-2)n，即 1-(-2)n2013 ， 当 n 为偶数时， 2n -2012，上式不成立； 当 n 为奇数时， 1+2n2013 ，即 2n2012 ，则 n11. 综上，存在符合条件的正整数 n=2k+1(k5) ，且所有这样的 n 的集合为 n|n=2k+1(k5). 20.(13 分 )如图，某地质队自水平地面 A， B， C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1处发现矿藏，再继续下钻到 A2处后下面已无矿，从而得到在 A处
20、正下方的矿层厚度为 A1A2=d1.同样可得在 B， C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2=d2， C1C2=d3，且 d1 d2 d3.过 AB， AC 的中点 M， N 且与直线 AA2平行的平面截多面体 A1B1C1-A2B2C2所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为 S 中 . ( )证明：中截面 DEFG 是梯形； ( )在 ABC 中，记 BC=a， BC 边上的高为 h，面积为 S.在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏储量 (即多面体 A1B1C1-A2B2C2的体积 V)时，可用近似公式 V 估 =S 中 -h 来估算 .已知 V=(d1+d2+d3)S
21、，试判断 V 估 与 V 的大小关系，并加以证明 . 解析 ： () 首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形 DEFG 的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面 DEFG 是梯形； () 由题意可证得 MN 是中截面梯形 DEFG 的高，根据四边形 A1A2B2B1， A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧 DE， FG 用 d1， d2， d3表示，这样就能把 V 估 用含有 a， h， d1， d2， d3的代数式表示，把 V= (d1+d2+d3)S 与 V 估 作差后利用 d1， d2， d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判
22、断 V 估 与 V 的大小关系 . 答案： () 依题意 A1A2 平面 ABC， B1B2 平面 ABC， C1C2 平面 ABC， 所以 A1A2B 1B2C 1C2，又 A1A2=d1， B1B2=d2， C1C2=d3，且 d1 d2 d3. 因此四边形 A1A2B2B1， A1A2C2C1均是梯形 . 由 AA2 平面 MEFN， AA2平面 AA2B2B，且平面 AA2B2B 平面 MEFN=ME， 可得 AA2ME ，即 A1A2DE. 同理可证 A1A2FG ，所以 DEFG. 又 M， N 分别为 AB， AC 的中点， 则 D， E， F， G 分别为 A1B1， A2B2
23、， A2C2， A1C1 的中点， 即 DE、 FG 分别为梯形 A1A2B2B1、 A1A2C2C1的中位线 . 因此 DE= ， FG= ， 而 d1 d2 d3，故 DE FG，所以中截面 DEFG 是梯形 . ()V 估 V.证明： 由 A1A2 平面 ABC， MN平面 ABC，可得 A1A2MN. 而 EMA 1A2，所以 EMMN ，同理可得 FNMN. 由 MN 是 ABC 的中位线，可得 MN= BC= a，即为梯形 DEFG 的高， 因此 ， 即 .又 S= ah，所以 . 于是 =. 由 d1 d20， d3-d1 0，故 V 估 V. 21.(13 分 )设 a 0，
24、b 0，已知函数 f(x)= . ( )当 ab 时，讨论函数 f(x)的单调性； ( )当 x 0 时，称 f(x)为 a、 b 关于 x 的加权平均数 . (i)判断 f(1)， f( )， f( )是否成等比数列，并证明 f( )f ( )； (ii)a、 b 的几何平均数记为 G.称 为 a、 b 的调和平均数，记为 H.若 Hf (x)G ，求 x的取值范围 . 解析 ： () 确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数 f(x)的单调性； ()(i) 利用函数解析式，求出 f(1)， f( )， f( )，根据等比数列的定义，即可得到结论； (ii)利用定义，结合函
25、数的单调性，即可确定 x 的取值范围 . 答案： () 函数的定义域为 x|x -1， 当 a b 0 时， f(x) 0，函数 f(x)在 (- ， -1)， (-1， +) 上单调递增； 当 0 a b 时， f(x) 0，函数 f(x)在 (- ， -1)， (-1， +) 上单调递减 . ()(i) 计算得 f(1)= ， f( )= ， f( )= . ， f(1) ， f( )， f( )成等比数列， a 0， b 0， ， f( )f( )； (ii)由 (i)知 f( )= ， f( )= ， 故由 Hf(x)G ，得 f( )f(x)f( ). 当 a=b 时， f( )=f
26、(x)=f( )=f(1)=a，此时 x 的取值范围是 (0， +) ， 当 a b 时，函数 f(x)在 (0， +) 上单调递增，这时有 x ，即 x 的取值范围为 x； 当 a b时，函数 f(x)在 (0， +) 上单调递减，这时有 x ，即 x的取值范围为 x. 22.(14 分 )如图，已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O，长轴均为 MN且在 x轴上，短轴长分别为 2m， 2n(m n)，过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A， B， C， D，记 ， BDM 和 ABN 的面积分别为 S1和 S2. ( )当直线 l 与 y
27、 轴重合时，若 S1=S 2，求 的值； ( )当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2？并说明理由 . 解析 ： () 设出两个椭圆的方程，当直线 l 与 y 轴重合时，求出 BDM 和 ABN 的面积 S1和S2，直接由面积比 = 列式求 的值； () 假设存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出 M和 N到直线 l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到 ，换元后利用非零的 k 值存在讨论 的取值范围 . 答案： 以题意可设椭圆 C1和 C2的方
28、程分别为 ， .其中 a m n 0， . () 如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，即直线 l 的方程为 x=0， 则 ， ，所以 . 在 C1和 C2的方程中分别令 x=0，可得 yA=m， yB=n， yD=-m， 于是 . 若 ，则 ，化简得 2-2 -1=0，由 1，解得 . 故当直线 l 与 y 轴重合时，若 S1=S 2，则 . () 如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2，根据对称性，不妨设直线 l：y=kx(k 0)， 点 M(-a， 0)， N(a， 0)到直线 l 的距离分别为 d1， d2， 则 ，所以 d1=d2. 又 ，所以 ，即 |BD|=|AB|. 由对称性可知 |AB|=|CD|，所以 |BC|=|BD|-|AB|=( -1)|AB|， |AD|=|BD|+|AB|=(+1)|AB| ，于是 . 将 l 的方程分别与 C1和 C2的方程联立，可求得 根据对称性可知 xC=-xB， xD=-xA，于是 从而由 和 可得 令 ，则由 m n，可得 t1 ，于是由 可得 . 因为 k0 ，所以 k2 0.于是 关于 k 有解，当且仅当 ， 等价于 ，由 1，解得 ， 即 ，由 1，解得 ，所以 当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2； 当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2.
