1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学理 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )复数 z=i (1+i)(i 为虚数单位 )在复平面上对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 ： z=i(1+i)= -1+i，故复数 z 对应的点为 (-1， 1)，在复平面的第二象限， 答案： B. 2.(5 分 )某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则
2、宜采用的抽样方法是 ( ) A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 解析 ： 总体由男生和女生组成，比例为 500： 500=1： 1，所抽取的比例也是 1： 1. 故拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法 . 答案： D 3.(5分 )在锐角 ABC 中，角 A， B所对的边长分别为 a， b.若 2asinB= b，则角 A等于 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 在 ABC 中， 2asinB= b， 由正弦定理 = =2R 得： 2sinAsinB= sinB， sinA= ，又 ABC 为锐角三角形， A= . 答案
3、： D. 4.(5 分 )若变量 x， y 满足约束条件 ，则 x+2y 的最大值是 ( ) A. B. 0 C. D. 解析 ： 作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的 ABC 及其内部，其中 A(- ， -1)， B( ， )， C(2， -1) 设 z=F(x， y)=x+2y，将直线 l： z=x+2y 进行平移， 当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最大值 z 最大值 =F( ， )= 答案： C 5.(5 分 )函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析 ： 在同一坐标系下，画
4、出函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象如图： 由图可知，两个函数图象共有 2 个交点 . 答案： B. 6.(5 分 )已知 ， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 令 ， ， ，如图所示：则 ， 又 ，所以点 C 在以点 D 为圆心、半径为 1 的圆上， 易知点 C 与 O、 D 共线时 达到最值，最大值为 +1，最小值为 -1，所以 的取值范围为 -1， +1. 答案： A. 7.(5 分 )已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是 ( ) A.
5、1 B. C. D. 解析 ： 水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为 1；当正视图为对角面时，其面积最大为 . 因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为 . 因此可知： A， B， D 皆有可能，而 1，故 C 不可能 . 答案： C. 8.(5 分 )在等腰直角三角形 ABC 中， AB=AC=4，点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点，光线从点 P出发，经 BC， CA 反射后又回到点 P(如图 )，若光线 QR 经过 ABC 的重心，则 AP 等于 ( ) A. 2 B. 1 C. D. 解析 ： 建立如图所示的坐
6、标系： 可得 B(4， 0)， C(0， 4)，故直线 BC 的方程为 x+y=4， ABC 的重心为 ( ， )，设 P(a， 0)，其中 0 a 4， 则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1(x， y)，满足 ， 解得 ，即 P1(4， 4-a)，易得 P 关于 y 轴的对称点 P2(-a， 0)， 由光的反射原理可知 P1， Q， R， P2四点共线， 直线 QR 的斜率为 k= = ，故直线 QR 的方程为 y= (x+a)， 由于直线 QR 过 ABC 的重心 ( ， )，代入化简可得 3a2-4a=0， 解得 a= ，或 a=0(舍去 )，故 P( ， 0)，故 AP= 答案：
7、D 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，第小题 5 分，共 35 分 .(一 )选做题 (请考生在第 9， 10， 11 三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分 )(二 )必做题 (12 16题 ) 9.在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： ， (t 为参数 )过椭圆 C： (为参数 )的右顶点，则常数 a 的值为 . 解析 ： 由直线 l： ，得 y=x-a，再由椭圆 C： ，得 ， 2+ 2得， .所以椭圆 C： 的右顶点为 (3， 0). 因为直线 l 过椭圆的右顶点，所以 0=3-a，所以 a=3. 答案： 3. 10.(5 分 )已知 a， b， c R，
8、 a+2b+3c=6，则 a2+4b2+9c2的最小值为 . 解析 ： a+2b+3c=6 ， 根据柯西不等式，得 (a+2b+3c)2=(1a+12b+13c) 2(1 2+12+12)a2+(2b)2+(3c)2， 化简得 623(a 2+4b2+9c2)，即 363(a 2+4b2+9c2)， a 2+4b2+9c212 ， 当且仅当 a： 2b： 3c=1： 1： 1 时，即 a=2， b=1， c= 时等号成立 由此可得：当且仅当 a=2， b=1， c= 时， a2+4b2+9c2的最小值为 12 答案： 12 点评： 本题给出等式 a+2b+3c=6，求式子 a2+4b2+9c2
9、的最小值 .着重考查了运用柯西不等式 11.(5 分 )如图，在半径为 的 O 中，弦 AB， CD 相交于点 P， PA=PB=2， PD=1，则圆心 O到弦 CD 的距离为 . 解析 ： 由相交弦定理得， APPB=CPPD ， 22=CP1 ，解得： CP=4，又 PD=1， CD=5 ， 又 O 的半径为 ，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 d= = = . 答案： . 12.(5 分 )若 ，则常数 T 的值为 . 解析 ： = =9，解得 T=3， 答案： 3. 13.(5 分 )执行如图所示的程序框图，如果输入 a=1， b=2，则输出的 a 的值为 . 解析 ： 程序在运行过程
10、中各变量的聚会如下表示： 是否继续循环 a b 循环前 /1 2 第一圈 是 3 2 第二圈 是 5 2 第三圈 是 7 2 第四圈 是 9 2 第五圈 否 故最终输出的 a 值为 9. 答案： 9. 14.(5 分 )设 F1， F2是双曲线 C： (a 0， b 0)的两个焦点， P 是 C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且 PF 1F2的最小内角为 30 ，则 C 的离心率为 . 解析 ： 因为 F1、 F2是双曲线的两个焦点， P 是双曲线上一点，且满足 |PF1|+|PF2|=6a， 不妨设 P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知 |PF1|-|PF2|=2a 所以 |
11、F1F2|=2c， |PF1|=4a， |PF2|=2a， PF 1F2的最小内角 PF 1F2=30 ，由余弦定理，|PF 2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|PF1|cosPF 1F2， 即 4a2=4c2+16a2-2c4a ， c 2-2 ca+3a2=0， c= a， 所以 e= = . 答案： . 15.(5 分 )设 Sn为数列 an的前 n 项和， Sn=(-1)nan- ， n N*，则 (1)a3= ； (2)S1+S2+S 100= . 解析 ： (1)由 ， n N*， 当 n=1 时，有 ，得 . 当 n2 时， . 即 . 若 n 为偶数，则 .所以
12、 (n 为正奇数 )； 若 n 为奇数，则 = . 所以 (n 为正偶数 ).所以 (1) . 答案： - ； (2)因为 (n 为正奇数 )，所以 - ， 又 (n 为正偶数 )，所以 . 则 . ， . 则 . . 所以， S1+S2+S3+S4+S 99+S100 = = = = . 答案： . 16.(5 分 )设函数 f(x)=ax+bx-cx，其中 c a 0， c b 0. (1)记集合 M=(a， b， c)|a， b， c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a=b，则 (a， b， c) M所对应的 f(x)的零点的取值集合为 . (2)若 a， b， c 是 ABC 的三条
13、边长，则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号 ) x (- ， 1)， f(x) 0； x R，使 ax， bx， cx不能构成一个三角形的三条边长； 若 ABC 为钝角三角形，则 x (1， 2)，使 f(x)=0. 解析 ： (1)由集合 M 中的元素满足的条件，得到 ca+b=2a ，求得 的范围，解出函数f(x)=ax+bx-cx的零点，利用不等式可得零点 x 的取值集合； (2)对于 ，把函数式 f(x)=ax+bx-cx变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立； 对于 ，利用取特值法说明命题是正确的； 对于 ，由 ABC 为钝角三角形说明 f(2) 0，又 f(1) 0
14、，由零点的存在性定理可得命题 正确 . 答案： (1)因为 c a，由 ca+b=2a ，所以 ，则 . 令 f(x)=ax+bx-cx= . 得 ，所以 .所以 0 x1. 故答案为 x|0 x1 ； (2)因为 ， 又 ， 所以对 x (- ， 1)， . 所以命题 正确； 令 x=-1， a=2， b=4， c=5.则 ax= ， bx= ， cx= .不能构成一个三角形的三条边长 . 所以命题 正确； 若三角形为钝角三角形，则 a2+b2-c2 0.f(1)=a+b-c 0， f(2)=a2+b2-c2 0. 所以 x (1， 2)，使 f(x)=0. 所以命题 正确 . 答案： .
15、三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(12 分 )已知函数 ， . (I)若 是第一象限角，且 ，求 g( )的值； (II)求使 f(x)g (x)成立的 x 的取值集合 . 解析 ： (I)根据两角和与差的三角函数公式化简，得 f(x)= sinx，结合 解出 sin= ，利用同角三角函数的基本关系算出 cos= .由二倍角的余弦公式进行降次，可得 g(x)=1-cosx，即可算出 g()=1 -cos= ； (II)f(x)g(x) ，即 sinx1 -cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得 2sin(x+ )1 ，再根据正
16、弦函数的图象与性质，即可求出使 f(x)g(x) 成立的 x 的取值集合 . 答案： sin(x - )=sinxcos -cosxsin = sinx- cosx， cos(x- )=cosxcos +sinxsin = cosx+ sinx， =( sinx- cosx)+( cosx+ sinx)=sinx， 而 =1-cosx. (I) ， sin= ，解之得 sin= ， 是第一象限角， cos= = ， 因此， g()= =1-cos= ， (II)f(x)g(x) ，即 sinx1 -cosx， 移项，得 sinx+cosx1 ，化简得 2sin(x+ )1 ， sin(x+ )
17、 ，可得 +2kx+ +2k(k Z)， 解之得 2kx+2k(k Z)， 因此，使 f(x)g(x) 成立的 x 的取值集合为 x|2kx +2k(k Z). 18.(12 分 )某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 (指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点 )处都种了一株相同品种的作物 .根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获 Y(单位： kg)与它的 “ 相近 ” 作物株数 X 之间的关系如下表所示： 这里，两株作物 “ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过 1 米 . (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好 “ 相近 ” 的概率； (II
18、)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望 . 解析 ： (I)确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好 “ 相近 ” 的概率； (II)确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望 . 答案： (I)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为 3，边界上的作物株数为 12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36种，选取的两株作物恰好 “ 相近 ” 的不同结果有 3+3+2=8， 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “ 相近 ” 的概率
19、为 = ； (II)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为 Y 的分布列 ， P(Y=51)=P(X=1) ， P(48)=P(X=2)， P(Y=45)=P(X=3)， P(Y=42)=P(X=4)， 只需求出 P(X=k)(k=1， 2， 3， 4)即可 ， 记 nk为其 “ 相近 ” 作物恰有 k 株的作物株数 (k=1， 2， 3， 4)，则 n1=2， n2=4， n3=6， n4=3， 由 P(X=k)= 得 P(X=1)= ， P(X=2)= ， P(X=3)= = ， P(X=4)= = ， 所求的分布列为 ， 数学期望为 E(Y)=51 +48 +45 +42 =46
20、19.(12 分 )如图，在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， ADBC ， BAD=90 ， ACBD ， BC=1， AD=AA1=3. ( )证明： ACB 1D； ( )求直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值 . 解析 ： (I)根据直棱柱性质，得 BB1 平面 ABCD，从而 ACBB 1，结合 BB1BD=B ，证出 AC平面 BB1D，从而得到 ACB 1D； (II)根据题意得 ADB 1C1，可得直线 B1C1与平面 ACD1所成的角即为直线 AD 与平面 ACD1所成的角 .连接 A1D，利用线面垂直的性质与判定证出 AD1 平面 A1B1D，从而可得 AD1
21、B 1D.由ACB 1D，可得 B1D 平面 ACD1，从而得到 ADB 1与 AD 与平面 ACD1所成的角互余 .在直角梯形ABCD 中，根据 RtABCRtDAB ，算出 AB= ，最后在 RtAB 1D 中算出 B1D= ，可得cosADB 1= ，由此即可得出直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值 . 答案： (I)BB 1 平面 ABCD， AC 平面 ABCD， ACBB 1， 又 ACBD ， BB1、 BD 是平面 BB1D 内的相交直线 ， AC 平面 BB1D， B 1D 平面 BB1D， ACB 1D； (II)ADBC ， B1C1BC ， ADB 1C1，
22、由此可得：直线 B1C1与平面 ACD1所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1所成的角 (记为 ) ，连接A1D， 直棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， BAD=B 1A1D1=90 ， B 1A1 平面 A1D1DA，结合 AD1 平面 A1D1DA，得 B1A1AD 1 又 AD=AA 1=3， 四边形 A1D1DA 是正方形，可得 AD1A 1D B 1A1、 A1D 是平面 A1B1D 内的相交直线， AD 1 平面 A1B1D，可得 AD1B 1D， 由 (I)知 ACB 1D，结合 AD1AC=A 可得 B1D 平面 ACD1，从而得到 ADB 1=90 - ， 在直角梯形 A
23、BCD 中， ACBD ， BAC=ADB ，从而得到 RtABCRtDAB 因此， ，可得 AB= = 连接 AB1，可得 AB 1D 是直角三角形， B 1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21， B1D= ， 在 RtAB 1D 中， cosADB 1= = = ， 即 cos(90 -)=sin= ，可得直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值为 . 20.(13 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为M 到 N 的一条 “L 路径 ” .如图所示的路径 MM1M2M3N与路径 MN1N 都是 M 到 N 的 “
24、L 路径 ” .某地有三个新建居民区，分别位于平面 xOy 内三点 A(3， 20)， B(-10， 0)， C(14， 0)处 .现计划在 x 轴上方区域 (包含 x 轴 )内的某一点 P 处修建一个文化中心 . (I)写出点 P 到居民区 A 的 “L 路径 ” 长度最小值的表达式 (不要求证明 )； (II)若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区， “L 路径 ” 不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的 “L 路径 ” 长度之和最小 . 解析 ： (I)根据 “L 路径 ” 的定义，可得点 P 到居民区 A 的 “L 路径 ” 长度最小值； (II)由题意
25、知，点 P到三个居民区的 “L 路径 ” 长度之和的最小值为点 P到三个居民区的 “L路径 ” 长度最小值之和 (记为 d)的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P 的坐标 . 答案： 设点 P 的坐标为 (x， y)，则 (I)点 P 到居民区 A 的 “L 路径 ” 长度最小值为 |x-3|+|y-20|， y 0， +) ； (II)由题意知，点 P到三个居民区的 “L 路径 ” 长度之和的最小值为点 P到三个居民区的 “L路径 ” 长度最小值之和 (记为 d)的最小值 ， 当 y1 时， d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|， d 1(x)=
26、|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x -14|24 ， 当且仅当 x=3 时， d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值为 24， d 2(y)=2|y|+|y-20|21 ， 当且仅当 y=1 时， d2(y)=2|y|+|y-20|的最小值为 21， 点 P 的坐标为 (3， 1)时，点 P 到三个居民区的 “L 路径 ” 长度之和的最小，且最小值为 45； 当 0y1 时，由于 “L 路径 ” 不能进入保护区，d=|x+10|+|x -14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|， 此时 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|，
27、 d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21 ， 由 知 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|24 ， d 1(x)+d2(y)45 ，当且仅当 x=3， y=1 时等号成立 ， 综上所述，在点 P(3， 1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的 “L 路径 ” 长度之和最小 . 21.(13 分 )过抛物线 E： x2=2py(p 0)的焦点 F 作斜率率分别为 k1， k2的两条不同直线 l1，l2，且 k1+k2=2.l1与 E 交于点 A， B， l2与 E交于 C， D，以 AB， CD 为直径的圆 M，圆 N(M， N为圆心 )的公共弦所在
28、直线记为 l. ( )若 k1 0， k2 0，证明： ； ( )若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ，求抛物线 E 的方程 . 解析 ： () 由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆 M 和圆 N 的圆心 M 和 N 的坐标，求出向量 和 的坐标，求出数量积后转化为关于 k1和 k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论； () 利用抛物线的定义求出圆 M和圆 N的直径，结合 () 中求出的圆 M和圆 N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点 M到直线 l 的距离，利用 k1+k2
29、=2 转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于 求出 p 的值，则抛物线 E 的方程可求 . 答案： (I) 由题意，抛物线 E 的焦点为 ，直线 l1的方程为 . 由 ，得 . 设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，则 x1， x2是上述方程的两个实数根 . 从而 x1+x2=2pk1， . 所以点 M 的坐标为 ， . 同理可得点 N 的坐标为 ， . 于是 . 由题设 k1+k2=2， k1 0， k2 0， k1k 2，所以 0 . 故 . () 由抛物线的定义得 ， ， 所以 ，从而圆 M 的半径 . 故圆 M 的方程为 ， 化简得
30、 . 同理可得圆 N 的方程为 于是圆 M，圆 N 的公共弦所在的直线 l 的方程为 . 又 k2-k10 ， k1+k2=2，则 l 的方程为 x+2y=0. 因为 p 0，所以点 M 到直线 l 的距离为 = . 故当 时， d 取最小值 .由题设 ，解得 p=8. 故所求抛物线 E 的方程为 x2=16y. 22.(13 分 )已知 a 0，函数 . ( )记 f(x)在区间 0， 4上的最大值为 g(a)，求 g(a)的表达式； ( )是否存在 a 使函数 y=f(x)在区间 (0， 4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由
31、. 解析 ： (I)利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得 g(a)的表达式； (II)利用曲线 y=f(x)在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论 . 答案： (I)当 0xa 时， ；当 x a 时， ， 当 0xa 时， ， f(x)在 (0， a)上单调递减； 当 x a 时， ， f(x)在 (a， +) 上单调递增 . 若 a4 ，则 f(x)在 (0， 4)上单调递减， g(a)=f(0)= ， 若 0 a 4，则 f(x)在 (0， a)上单调递减，在 (a， 4)上单调递增 ， g(a)=maxf(0) ， f(4)
32、 f(0) -f(4)= = ， 当 0 a1 时， g(a)=f(4)= ；当 1 a 4 时， g(a)=f(0)= ， 综上所述， g(a)= ； (II)由 (I)知，当 a4 时， f(x)在 (0， 4)上单调递减，故不满足要求； 当 0 a 4 时， f(x)在 (0， a)上单调递减，在 (a， 4)上单调递增，若存在 x1， x2 (0， 4)(x1 x2)，使曲线 y=f(x)在 两点处的切线互相垂直，则 x1 (0， a)， x2 (a， 4)，且 f(x 1)f(x 2)=-1， =-1， ， x 1 (0， a)， x2 (a， 4)， x 1+2a (2a， 3a)， ( ， 1)， 成立等价于 A=(2a， 3a)与 B=( ， 1)的交集非空 ， ， 当且仅当 0 2a 1，即 时， AB ， 综上所述，存在 a 使函数 y=f(x)在区间 (0， 4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且 a 的取值范围是 (0， ).
