1、 绝密 启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5页，时量 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.某学校有男、女学生各 500 名 .为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 3.在锐角中
2、 ，角 所对的边长分别为 .若 A B C D 4.若变量 满足约束条件 ， A B C D 5.函数 的图像与函数 的图像的交点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 6. 已知 是单位向量， .若向量 满足 A B C D 7已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积 不可能 等于 A B C D 8.在等腰三角形 中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 反 射后又回到原点 （如图 ） .若光线经过 的中心，则 等于 A B C D 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7小题，每小题 5 分，共 35 分 . 1z i i i 为
3、 虚 数 单 位ABC ,AB ,ab 2 s i n 3 ,a B b A 则 角 等 于12 6 4 3,xy211yxxyy 2xy则 的 最 大 值 是5-2 0 53 52 2 lnf x x 2 45g x x x ,ab 0ab c 1,c a b c 则 的 取 值 范 围 是2 -1 , 2 +1， 2 -1 , 2 + 2，1 , 2+1， 1 , 2+2，1 2 2-12 2+12ABC =4AB AC ， P AB ,ABP ,BCCA P 1 QRABC AP2 183 43 （一）选做题（请考生在第 9、 10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
4、 9.在平面直角坐标系 中，若 直线 右顶点，则常数 . 10.已知 . 11.如图 2，在半径为 的 中 ,弦 . （一） 必做题（ 12-16 题） 12.若 . 13.执行如图 3 所示的程序框图，如果输入. 14设 是双曲线 的两个焦点， P 是 C 上一点，若 且 的最小内角为 ，则 C 的离心率为 _。 15设 为数列 的前 n 项和， 则 （ 1） _； （ 2） _。 16设函数 （ 1）记集合 ，则 所对应的 的零点的取值集合为 _。 （ 2）若 .（写出所有正确结论的序号） 若 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（本小
5、题满分 12 分） 已知函数 。 （ I）若 是第一象限角，且 。求 的值； （ II）求使 成立的 x 的取值集合。 18（本小题满分 12 分） xoy, 3 c o s ,: ( t ) C :2 s i nx t xly t a y 为 参 数 过 椭 圆()为 参 数 的 a的 值 为2 2 2, , , 2 3 6 , 4 9a b c R a b c a b c 则 的 最 小 值 为7 O , , 2 ,A B C D P P A P B相 交 于 点1P D O ， 则 圆 心 到 弦 CD 的 距 离 为20 9,T x d x T 则 常 数 的 值 为1 , 2 ,a
6、b a 则 输 出 的 的 值 为12,FF22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab 21 6,P F P F a 12PFF 30nS na 1( 1 ) , ,2nnn nS a n N 3a1 2 1 0 0S S S ( ) , 0 , 0 .x x xf x a b c c a c b 其 中 ( , , ) , ,M a b c a b c a 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 ， 且 =b( , , )a b c M()fx,a b c A B C是 的 三 条 边 长 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 , 1 , 0 ;x f x , , ,
7、x x xx R x a b c 使 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 ； 1, 2 , 0 .A B C x f x 为 钝 角 三 角 形 ， 则 使2( ) s i n ( ) c o s ( ) . ( ) 2 s i n6 3 2xf x x x g x 33() 5f ()g( ) ( )f x g x 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位： kg）与它的 “相近 ”作物株数 X 之间的关系如下表所示： X 1 2 3
8、4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物 “相近 ”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。 （ I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近 ”的概率； （ II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。 19（本小题满分 12 分） 如图 5，在直棱柱 （ I）证明： ； （ II）求直线 所成角的正弦值。 20（本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路 径 成 为 M 到 N 的 一 条 “L 路径 ” 。 如 图 6 所 示 的 路 径都是 M 到 N 的 “L路径 ”。某地
9、有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点 处。现计划在 x轴上方区域（包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心。 （ I）写出点 P 到居民区 A的 “L路径 ”长度最小值的表达式（不要求证明）； （ II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区， “L路径 ”不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的 “L路径 ”长度值和最小。 21（本小题满分 13 分） 过抛物线 的焦点 F 作斜率分别为 的两条不同的直线 ，且， 相交于点 A， B， 相交于点 C， D。以 AB， CD 为直径的圆 M，圆 N（ M，N 为圆心）的公 共弦所在的直线记为 。
10、 （ I）若 ，证明； ； （ II）若点 M 到直线 的距离的最小值为 ，求抛物线 E 的方程。 22（本小题满分 13 分） 已知 ，函数 。 （ I） 记 求 的表达式； 11 1 1 /A B C D A B C D A D B C 中 ， ，19 0 , , 1 , 3 .B A D A C B D B C A D A A 1AC B D1 1 1B C A C D与 平 面1 2 3 1M M M M N M N N与 路 径( 3 , 2 0 ) , ( 1 0 , 0 ) , ( 1 4 , 0 )A B C2: 2 ( 0 )E x p y p 12,kk 12,ll122k
11、k 1lE与 2lE与l120, 0kk 22FM FN Pl 7550a ()2xafxxa ( ) 0 , 4f x a在 区 间 上 的 最 大 值 为 g ( ) ,ag() （ II）是否存在 ，使函数 在区间 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由。 a ()y f x 0,4a 参考答案 一、 选择题 1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.C 8.D 二、填空题 9. 3 10. 12 11. 32 12. 3 13 9 14.3 15. - 116 13 12100 1 16. x0 x 1 17.解 sin 6
12、+cos 3 32 sin 12cos 12cos 32 sin 3sin g2sin2 x2=1cos . ( ) ( ) 完 18. 3 1 1 3 3 3( ) s i n c o s c o s s i n 3 s i n ( ) 3 s i n2 2 2 2 5f x x x x x x f 19. ( ) （） 20. （ ） d= |x 3| + |y 20|， （ ）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。 点 P 到 A,B,C 三点的 “L路径 ”长度 之 和 的 最小 值 d = 水平距离之和的最小值 h + 垂直距离之和的最小值 v。且 h 和 v 互不影
13、响。显然当 y=1 时， v = 20+1=21；，水平距离之和 h=x (-10) + 14 x + |x-3| ,且当 x=3时，h=24.因此 ,当 P(3,1)时， d=21+24=45. 所以，当点 P(x,y)满足 P(3,1)时 ,点 P 到 A,B,C 三点的 “L路径 ”长度 之 和 d 的 最小 值为45. 21. ( ) . 所以， 成立 . （ ） 则 ， . 22. ( ) （ II） 由前知， y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点满足题目要求，则 P,Q 分别在两个图像上，且 。 不妨设 所以，当 时， 函数 在区间 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直 .
