1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )复数的 Z=-1-2i(i 为虚数单位 )在复平面内对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 ： Z=-1-2i 在复平面内对应的点 (-1， -2)位于第三象限 . 答案： C. 2.(5 分 )设点 P(x， y)，则 “x=2 且 y=-1” 是 “ 点 P 在直线 l： x+y-1=0上 ” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充
2、分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： x=2 且 y=-1” 可以得到 “ 点 P 在直线 l： x+y-1=0 上 ” ， 当 “ 点 P 在直线 l： x+y-1=0 上 ” 时，不一定得到 x=2 且 y=-1， “x=2 且 y=-1” 是 “ 点 P 在直线 l： x+y-1=0 上 ” 的充分不必要条件， 答案： A. 3.(5 分 )若集合 A=1， 2， 3， B=1， 3， 4，则 AB 的子集个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 16 解析 ： A=1 ， 2， 3， B=1， 3， 4， AB=1 ， 3，则 AB 的子集个数为
3、22=4. 答案： C 4.(5 分 )双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) A. B. C. 1 D. 解析 ： 双曲线 x2-y2=1 的顶点坐标 (1， 0)，其渐近线方程为 y=x ，所以所求的距离为= . 答案： B. 5.(5 分 )函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由题意可知函数的定义域为 R， f( -x)=ln(x2+1)=f(x)， 函数为偶函数， 故可排除 C，由 f(0)=ln1=0，可排除 B、 D. 答案： A 6.(5 分 )若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值和最
4、小值分别为 ( ) A. 4 和 3 B. 4 和 2 C. 3 和 2 D. 2 和 0 解析 ： 满足约束条件 的可行域如下图所示 ， 在坐标系中画出可行域 ， 平移直线 2x+y=0，经过点 N(1， 0)时， 2x+y 最小，最小值为： 2， 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 2. 经过点 M(2， 0)时， 2x+y 最大，最大值为： 4，则目标函数 z=2x+y 的最大值为： 4. 答案： B. 7.(5 分 )若 2x+2y=1，则 x+y 的取值范围是 ( ) A. 0， 2 B. -2， 0 C. -2， +) D. (- ， -2 解析 ： 1=2 x+2y2(2 x2
5、y) ，变形为 2x+y ，即 x+y -2，当且仅当 x=y 时取等号 .则x+y 的取值范围是 (- ， -2. 答案： D. 8.(5 分 )阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 n 后，输出的S (10， 20)，那么 n 的值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： 框图首先给累加变量 S 赋值 0，给循环变量 k 赋值 1， 输入 n 的值后，执行 S=1+20=1 ， k=1+1=2； 判断 2 n 不成立，执行 S=1+21=3 ， k=2+1=3； 判断 3 n 不成立，执行 S=1+23=7 ， k=3+1=4； 判断 4 n 不成
6、立，执行 S=1+27=15 ， k=4+1=5. 此时 S=15 (10， 20)，是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足， 即 5 n 满足，所以正整数 n 的值应为 4. 答案： B. 9.(5分 )将函数 f(x)=sin(2x+ )( )的图象向右平移 ( 1)个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若 f(x)， g(x)的图象都经过点 P( )，则 的值可以是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 函数 向右平移 个单位，得到g(x)=sin(2x+ -2) ， 因为两个函数都经过 P(0， )，所以 ， ， 所以 g(x)=sin(2x+ -2) ， sin(
7、 -2)= ， 1，所以 -2=2k+ ， = -k ，与选项不符舍去， -2=2k+ ， k Z，当 k=-1 时， = . 答案： B. 10.(5 分 )在四边形 ABCD 中， =(1， 2)， =(-4， 2)，则该四边形的面积为 ( ) A. B. C. 5 D. 10 解析 ： 因为在四边形 ABCD 中， ， ， =0， 所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又 ， ， 该四边形的面积： = =5. 答案： C. 11.(5 分 )已知 x 与 y 之间的几组数据如下表： 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ 中的前两组数据 (1， 0)和 (2， 2)求得的直线
8、方程为 y=bx+a ，则以下结论正确的是 ( ) A. b ， a B. b ， a C. b ， a D. b ， a 解析 ： 由题意可知 n=6， = = = ， = = ， 故 =91-6 =22， =58-6 = ， 故可得 = = ， = = - = ， 而由直线方程的求解可得 b= =2，把 (1， 0)代入可得 a= -2， 比较可得 b ， a ， 答案： C 12.(5 分 )设函数 f(x)的定义域为 R， x0(x00 )是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A. x R， f(x)f(x 0) B. -x0是 f(-x)的极小值点 C. -x0是 -f
9、(x)的极小值点 D. -x0是 -f(-x)的极小值点 解析 ： 对于 A 项， x0(x00) 是 f(x)的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大； 对于 B 项， f(-x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称，因此， -x0是 f(-x)的极大值点； 对于 C 项， -f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称，因此， x0是 -f(x)的极小值点； 对于 D 项， -f(-x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、 y 轴做对称，因此 -x0是 -f(-x)的极小值点 . 答案： D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分 . 13.(4 分 )已知
10、函数 f(x)= ，则 f(f( )= . 解析 ： 因为 ，所以 f( )= =-1，所以=f(-1)=2(-1)3=-2. 答案： -2. 14.(4 分 )利用计算机产生 0 1 之间的均匀随机数 a，则事件 “3a -1 0” 发生的概率为 . 解析 ： 3a-1 0 即 a ，则事件 “3a -1 0” 发生的概率为 P= = . 答案： . 15.(4 分 )椭圆 ： =1(a b 0)的左右焦点分别为 F1， F2，焦距为 2c，若直线 y=与椭圆 的一个交点 M 满足 MF 1F2=2MF 2F1，则该椭圆的离心率等于 . 解析 ： 如图所示， 由直线 可知倾斜角 与斜率 有关
11、系 =tan ， =60. 又椭圆 的一个交点满足 MF 1F2=2MF 2F1， ， . 设 |MF2|=m， |MF1|=n，则 ，解得 . 该椭圆的离心率 e=. 答案： . 16.(4 分 )设 S， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足： (i)T=f(x)|x S； (ii)对任意 x1， x2 S，当 x1 x2时，恒有 f(x1) f(x2)，那么称这两个集合 “ 保序同构 ” ，现给出以下 3 对集合： A=N ， B=N*； A=x| -1x3 ， B=x|-8x10 ； A=x|0 x 1， B=R. 其中， “ 保序同构 ”
12、的集合对的序号是 .(写出 “ 保序同构 ” 的集合对的序号 ). 解析 ： 对于命题 中的两个集合，可取函数 f(x)=2x， x N，是 “ 保序同构 ” ； 对于命题 中的两个集合，可取函数 (-1x3) ，是 “ 保序同构 ” ； 对于命题 中的两个集合，可取函数 (0 x 1)，是 “ 保序同构 ”. 答案： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(12 分 )已知等差数列 an的公差 d=1，前 n 项和为 Sn. ( )若 1， a1， a3成等比数列，求 a1； ( )若 S5 a1a9，求 a1的取值范围 . 解
13、析 ： (I)利用等差数列 an的公差 d=1，且 1， a1， a3成等比数列，建立方程，即可求 a1； (II)利用等差数列 an的公差 d=1，且 S5 a1a9，建立不等式，即可求 a1的取值范围 . 答案： (I) 等差数列 an的公差 d=1，且 1， a1， a3成等比数列， ， ， a 1=-1 或 a1=2； (II) 等差数列 an的公差 d=1，且 S5 a1a9， ， ， -5 a1 2. 18.(12 分 )如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD 平面 ABCD， ABDC ， ABAD ， BC=5， DC=3， AD=4，PAD=60 . ( )当正视方向与向量
14、 的方向相同时，画出四棱锥 P-ABCD 的正视图 (要求标出尺寸，并写出演算过程 )； ( )若 M 为 PA 的中点，求证： DM 平面 PBC； ( )求三棱锥 D-PBC 的体积 . 解析 ： () 在梯形 ABCD 中，作 CEAB ， E 为垂足，则四边形 ADCE 为矩形，可得 AE=CD=3.由勾股定理求得 BE=3， 可得 AB=6. 由直角三角形中的边角关系求得 PD=ADtan60 的值，从而得到四棱锥 P-ABCD 的正视图 . () 取 PB 得中点为 N，证明 MNCD 为平行四边形，故 DMCN. 再由直线和平面平行的判定定理证得故 DM 平面 PBC. () 根
15、据三棱锥 D-PBC 的体积 VD-PBC=VP-BCD= SBCD PD= (S 梯形 ABCD-SABD )PD ，运算求得结果 . 答案： () 在梯形 ABCD 中，作 CEAB ， E 为垂足，则四边形 ADCE 为矩形， AE=CD=3. 直角三角形 BCE 中， BC=5 ， CE=AD=4，由勾股定理求得 BE=3， AB=6. 在直角三角形 PAD 中， PAD=60 ， AD=4， PD=ADtan60=4 ， 四棱锥 P-ABCD 的正视图如图所示： ()M 为 PA 的中点，取 PB 得中点为 N，则 MN平行且等于 AB， 再由 CD 平行且等于 AB，可得 MN 和
16、 CD 平行且相等，故 MNCD为平行四边形，故 DMCN. 由于 DM 不在平面 PBC 内，而 CN 在平面 PBC 内，故 DM 平面 PBC. () 三棱锥 D-PBC 的体积 VD-PBC=VP-BCD= SBCD PD= (S 梯形 ABCD-SABD ) PD= -4 =8 . 19.(12 分 )某工厂有 25 周岁以上 (含 25 周岁 )工人 300 名， 25周岁以下工人 200名 .为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在 “25 周岁以上 (含 25 周岁 )” 和 “
17、25周岁以下 ” 分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组： 50， 60)， 60， 70)， 70，80)， 80， 90)， 90， 100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 . ( )从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名 “25 周岁以下组 ” 工人的概率； ( )规定日平均生产件数不少于 80 件者为 “ 生产能手 ” ，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 90%的把握认为 “ 生产能手与工人所在的年龄组有关 ” ？附：(注：此公式也可以写成 k2=) 解析 ： (I)由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组
18、工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中， 25 周岁以上、下组工人的人数分别为 3， 2，由古典概型的概率公式可得答案； (II)由频率分布直方图可得 “25 周岁以上组 ” 中的生产能手的人数，以及 “25 周岁以下组 ” 中的生产能手的人数，据此可得 22 列联表，可得k21.79 ，由 1.79 2.706，可得结论 . 答案： (I)由已知可得，样本中有 25 周岁以上组工人 100 =60 名， 25 周岁以下组工人 100 =40 名， 所以样本中日平均生产 件数不足 60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有 600.05=3( 人 )， 25
19、周岁以下组工人有 400.05=2( 人 )， 故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共 =10 种， 其中至少 1 名 “25 周岁以下组 ” 工人的结果共 + =7 种， 故所求的概率为： ； (II)由频率分布直方图可知：在抽取的 100 名工人中， “25 周岁以上组 ” 中的生产能手有600.25=15( 人 )， “25 周岁以下组 ” 中的生产能手有 400.375=15( 人 )，据此可得 22 列联表如下： 所以可得 = =1.79 ， 因为 1.79 2.706，所以没有 90%的把握认为 “ 生产能手与工人所在的年龄组有关 ”. 20.(12 分 )如图，抛物线 E：
20、y2=4x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C在抛物线 E上，以 C 为圆心， |CO|为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M， N. ( )若点 C 的纵坐标为 2，求 |MN|； ( )若 |AF|2=|AM| |AN|，求圆 C 的半径 . 解析 ： (I)由抛物线的方程表示出焦点 F 的坐标及准线方程，求出 C 到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出 |MN|的长； (II)设 C( ， y0)，表示出圆 C 的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设 M(-1，y1)， N(-1， y2)，利用韦达定理表示出 y1y2，利用 |AF|2=|AM|
21、AN| ，得 |y1y2|=4，解得 C 的纵坐标，从而得到圆心 C 坐标，由两点间的距离公式求出 |OC|的长，即为圆的半径 . 答案： (I)抛物线 E： y2=4x 的准线 l： x=-1， 由点 C 的纵坐标为 2，得 C(1， 2)，故 C 到准线的距离 d=2，又 |OC|= ， |MN|=2 = =2. (II)设 C( ， y0)，则圆 C 的方程为 (x- )2+(y-y0)2= ， 即 x2- +y2-2y0y=0，由 x=-1 得 y2-2y0y+1+ =0， 设 M(-1， y1)， N(-1， y2)，则 ， 由 |AF|2=|AM|AN| ，得 |y1y2|=4，
22、1+ =4，解得 y0= ，此时 0 圆心 C 的坐标为 ( ， )， |OC|2= ，从而 |OC|= .即圆 C 的半径为 . 21.(12 分 )如图，在等腰直角 OPQ 中， POQ=90 ， OP=2 ，点 M 在线段 PQ 上， ( )若 OM= ，求 PM 的长； ( )若点 N 在线段 MQ 上，且 MON=30 ，问：当 POM 取何值时， OMN 的面积最小？并求出面积的最小值 . 解析 ： () 在 OMP 中，利用 OPM=45 ， OM= ， OP=2 ，通过余弦定理，求 PM 的长； () 利用正弦定理求出 ON、 OM，表示出 OMN 的面积，利用两角和与差的三角
23、函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角 的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值 . 答案： () 在 OMP 中， OPM=45 ， OM= ， OP=2 ， 由余弦定理可得， OM2=OP2+MP2-2OPMPcos45 ，解得 PM 的长为 1 或 3； () 设 POM= ， 060 ，在 OMP 中，由正弦定理可得： ， OM= ， 同理， ON= = ， 故 = = = = = = 因为 060 ，所以 302+30150 ， 所以当 =30 时， sin(2+30) 的最大值为 1， 此时， OMN 的面积最小，面积的最小值
24、 . 22.(14 分 )已知函数 f(x)=x-1+ (a R， e 为自然对数的底数 ). ( )若曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； ( )求函数 f(x)的极值； ( )当 a=1 时，若直线 l： y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点，求 k 的最大值 . 解析 ： () 依题意， f(1)=0 ，从而可求得 a 的值； ()f(x)=1 - ，分 a0 时 a 0讨论，可知 f(x)在 (- ， lna)上单调递减，在 (lna，+) 上单调递增，从而可求其极值； () 令 g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+ ，则直
25、线 l： y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点 方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解 .分 k 1 与 k1 讨论即可得答案 . 答案： () 由 f(x)=x-1+ ，得 f(x)=1 - ，又曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线平行于 x 轴， f(1)=0 ，即 1- =0，解得 a=e. ()f(x)=1 - ， 当 a0 时， f(x) 0， f(x)为 (- ， +) 上的增函数，所以 f(x)无极值； 当 a 0 时，令 f(x)=0 ，得 ex=a， x=lna， x (- ， lna)， f(x) 0； x (lna， +) ， f(x) 0； f(x
26、) 在 (- ， lna)上单调递减，在 (lna， +) 上单调递增， 故 f(x)在 x=lna 处取到极小值，且极小值为 f(lna)=lna，无极大值 . 综上，当当 a0 时， f(x)无极值；当 a 0 时， f(x)在 x=lna 处取到极小值 lna，无极大值 . () 当 a=1 时， f(x)=x-1+ ，令 g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+ ， 则直线 l： y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点，等价于方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解 . 假设 k 1，此时 g(0)=1 0， g( )=-1+ 0， 又函数 g(x)的图象连续不断，由零点存在定理可知 g(x)=0 在 R 上至少有一解，与 “ 方程g(x)=0 在 R 上没有实数解 ” 矛盾，故 k1. 又 k=1 时， g(x)= 0，知方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解，所以 k的最大值为 1
