1、 绝密 启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （福建卷） 数学 试题 （ 文史类 ） 第 I 卷 （ 选择题 共 60 分 ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 复数的 模为 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 设点 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 若集合 的子集个数为 A 2 B 3 C 4 D 16 4 双曲线 A B C D 5 函数 6 若变量 满足约束条件 的最大值和最小值分别为 A B C D 7 若
2、 A B C D 12Z i i 为 虚 数 单 位 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 , , 2 1 : 1 0P x y x y P l x y 则 “ 且 ” 是 “ 点 在 直 线 上 ” 的 = 1, 2 , 3 = 1, 3 , 4AB ， ， 则 AB22 1xy 的 顶 点 到 其 渐 近 线 的 距 离 等 于12 22 1 2 2l n 1f x x 的 图 像 大 致 是,xy21 , 20,xyx z x yy 则43和 42和 32和 20和2 2 1 ,xy xy 则 的 取 值 范 围 是 0,2 2,0 2, ,2 8 阅读 如图所示的程序框图， 运行
3、相应的程序，如果输入某个正整数 后，A 3 B.4 C.5 D.6 9 将函数 后得到函数A B C D 10 在四边形 A B C D 11 已知 之间的几组数据如下表： 1 2 3 4 5 6 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 求得的直线方程为 则以下结论正确的是 A B C D 12 设函数 一定正确的是 A B C D 第 II卷 （ 非选择题 共 60分 ） n 1 0 , 2 0 ,Sn输 出 的 那 么 的 值 为 s i n 2 122f x x 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 3, , 0 2g x f x g x P 的 图 像
4、 若 的 图 像 都 经 过 点 ， ， 则 的 值 可 以 是53 56 2 6 1 , 2 , 4 , 2 ,A B C D A C B D 中 ， 则 该 四 边 形 的 面 积 为5 25 5 10xy与xy,y b x a 若 某 同 学 根 据 上 表 1, 0 2 , 2中 的 前 两 组 数 据 和 ,y b x a ,b b a a ,b b a a ,b b a a ,b b a a 00 0f x R x x f x的 定 义 域 为 ， 是 的 极 大 值 点 ， 以 下 结 论 0,x R f x f x 0x f x是 的 极 小 值 点 0x f x 是 - 的
5、极 小 值 点 0x f x是 - 的 极 小 值 点 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分 . 13.已知函数 . 14.利用计算机产生 发生的概率为 . 15.椭圆 若直线则该椭圆的离心率等于 . 16设 S， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 满足： （ i） （ ii）对任意 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下 3 对集合： 其中，“保序同构”的集合对的序号是 _。（写出“保序同构”的集合对的序号）。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12 分） 已知等差数列 的公差 =
6、1，前 项和为 . (I)若 ； (II)若 18（本小题满分 12 分） 如图，在四棱柱 （ I）当正视方向与向量 的方向相同时，画出四棱锥 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）； （ II）若 M 为 PA 的中点，求证：求二面角 （ III）求三棱锥 的体积。 19（本小题满分 12 分） 某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“ 25 周岁以上（含 25 周岁）”和“ 25 周岁以下”分为
7、两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组： 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。 （ I）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“ 25 周岁以下组”工人的概率； 32 , 0 ,4t a n , 0 ,2xxf x f fxx 则0 1 , 1 0aa 之 间 的 均 匀 随 机 数 则 事 件 “ 3?22: 1 ( 0 )xyr a bab 的 左 、 右 焦 点 分 别 为12 2.F F c、 ， 焦 距 为 1 2 2 13 2 ,y x c M M F F M F F 与 椭 圆 r 的 一 个 交 点 满 足()y f x (
8、 ) ;T f x x S 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( ) ,x x S x x f x f x 当 时 ， 恒 有,;A N B N 1 3 , 8 1 0 ;A x x B x x 0 1 , .A x x B R na d n nS131 , ,aa 成 等 比 数 列 ， 求1a5 1 9 1S a a a ， 求 的 取 值 范 围 。/P A B C D A B D C中 ， PD 平 面 ABCD ， ，, 5 , 3 , 4 , 6 0 .A B A D B C D C A D P A D AD P ABCD/D M P B C平 面 ;D PBC 5 0 , 6
9、 0 , 6 0 , 7 0 , 70,80 , 8 0 , 9 0 , 9 0 , 1 0 0 （ II）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 25 周岁以上组 25 周岁以下组 20（本小题满分 12 分） 如图，抛物线 的焦点为 F，准线 与 x 轴的交点为 A。点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心， 为半径作圆，设圆 C 与准线 交于不同的两点 M， N。 （ I）若点 C
10、 的纵坐标为 2，求 ； （ II）若 ，求圆 C 的半径。 21. （本小题满分 12 分） 如图，在等腰直角 OPQ （）若 OM= ，求 PM 的长； （）若点 N 在线段 MQ 上，且 MON=30，问：当 POM 取 何值时， OMN 的面积最小？并求出面积的最小值。 2 1 1 2 2 1 2 2 11 2 1 2()n n n n nx n n n n 附 ：22 () )( ) ( ) ( ) ( )n a d b ca b c d a c b d （ 注 ： 此 公 式 也 可 以 写 成 k2()P x k2:4E y x lCO lMN2A F A M A N9 0 ,
11、2 2 , MP O Q o p 点 在 线 段 上 ， 22. （本小题满分 14 分） 已知函数 (X)=X-1+ e 为自然对数的底数）。 （）若曲线 y= (X)在点（ 1， （ 1）处的切线平行于 X 轴，求 a 的值； （）求函数 (X)的极值； （） 当 a-1 时，若直线 (X)没有公共点，求 K 的最大值。 参考 答案 一 选择题： 1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.D 二填空题 ： 13.-2 14. 15. -1 16. 三解答题： 17解：（）因为数列 的公差 d=1，且 1， ， 成等比数列， 所以 =1
12、（ +2）， 即 - -2=0，解得 =-1 或 =2 （）因为数列 的公差 d=1，且 所以 +10 + . 即 + -100, (X)为（ -， +）上的增函数，所以函数 (X)无极值。 当 a0 时，令 (X)=0，得 =a,X=In a. X (- ,In a), (X)0； X（ In a， +）上单调递增， 故 (X)在 X= In a 处取得极小值，且极小值为 （ In a） = In a，无极大值。综上，当 a 0 时，函数 (X)在 X= In a 处取得极小值 In a，无极大值。 （） 当 a=1 时， =x-1+ . 令 = - 则直线 与曲线 y= 没有公共点，等加于
13、方程 =0 在 R 上没有实数解。 假设 此时 又函数 的图像连续不断，由零点存在定理，可知 =0 在 R 上至少有一解，与“方程 =0 在 R 上没有实数解”矛盾，故 又 k=1 时， = 知方程 =0 在 R 上没有实数解。 所以 k 的最大值为 1. 解法二 ： （ I）（ II）同解法一 . （）当 a=1 时， 直线 与曲线 y= 没有公共点， 等价于关于 x 的方程 在 R 上没有实数解，即关于 的方程： （ ） 在 R 上没有实数解。 当 k=1 时，方程（ ）可化为 =0，在 R 上没有实数解 . 当 k 1 时，方程（ ）化为 = . 令 = ，则有 = . 令 =0 得 x=-1， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： x 当 x=-1 时， 同时当 趋于 时， 趋于 ， 从而 的取值范围为 , ). 所以当 时，方程（ ）无实数解， 解得 k 的取值范围是（ 1-e， 1） . 综上，得 k 的最大值为 1.
