1、 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类） 第 卷 (选择题 共 50 分 ) 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的 . 1.已知复数 的共轭复数 （ 为虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 ， ，则 是 的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.双曲线 的顶点到渐进线的距离等于（ ） A. B. C. D. 4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生
2、，将他们的模块测试成绩 分成 6 组： 40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100加以统计， 得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生 600 名， 据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为（ ） A.588 B.480 C.450 D.120 5.满足 ，且关于 的方程 有实数解的有序数对的个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 6.阅读如图所示的程序框图，若编入的 ，则该算法的功能是（ ） A. 计算数列 的前 10 项和 B.计算数列 的前 9 项和 C. 计算数列 的前 10 项和 D. 计算
3、数列 的前 9 项和 7. 在四边形 中， ， ,则该四边形的面积为（ ） A. B. C.5 D.10 8. 设函数 的定义域为 R， 是 的极大值点，以下结论 一定正确的是（） A. B. 是 的极小值点 C. 是 的极小值点 D. 是 的极小值点 9. 已知等比数列 的公比为 ，记 ， ，则以下结论一定正确的是（ ） A. 数列 为等差数列，公差为 B. 数列 为等比数列，公比为 z i21z i z aA , 3,1B ”“ 3a ”“ BA 14 22 yx5254 552 54 2,1,0,1, bax 022 bxax10k 12n 12n1-n 1-nABCD )2,1(AC
4、)2,4(BD5 52 )(xf 000 x)(xf )()(, 0xfxfRx 0x )-(xf0x )(- xf 0 )-(- xfnaq mnmnmnmn aaab )1(2)1(1)1( mnmnmnmn aaab )1(2)1(1)1( *, Nnm nb mqnb mq2绝密 启用前 C. 数列 为等比数列，公比为 D. 数列 为等比数列，公比为 10. 设 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的函数 满足： ； 对任意 ，当 时，恒有 ，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A. B. C. D. 第 卷 （非选择题 共 100 分） 二、 填空
5、题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分 把答案填写在答题卡的相应位置 . 11. 利用计算机产生 之间的均匀随机数 ，则事件 3a-10 发生 的概率为 _ 12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、 俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为 2的正方形，则该球 的表面积是 13. 如图，在 中，已知点 在 边上， , , 则 的长为 14. 椭圆 的左右焦点分别为 ,焦距为 ，若直线与椭圆 的一个交点满足 ,则该椭圆的离心率等于 _ 15. 当 时，有如下表达式： 两边同时积分得： 从而得到如下等式： 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
6、三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.（本小题满分 13 分） 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会nc 2mqnc mmqTS,R ST )(xfy)(i SxxfT )()(iiSxx 21, 21 xx )() 21 xfxf NBNA *, 1008,31 xxxBxxA 或 RBxx ,10QBZA ,01a310aABCDBC ACAD 23,322sin
7、 ABBAC3ADBD 01:2222 babyax21,FFc2 cxy 3 12212 FMFFMF 1, xRx xxxx n 1 11 2 210210210 2210210 1 11 dxxdxxdxxxdxdx n .2ln)21(11)21(31)21(21211 132 nn 132210 )21(1)21(31)21(2121 nnnnnn CnCCC.3252 结束后凭分数兑换奖品。 （ 1） 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 ,求 的概率； （ 2） 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期
8、望较大？ 17.（本小题满分 13 分） 已知函数 （ 1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （ 2） 求函数 的极值 18.（本小题满分 13 分） 如图，在正方形 中， 为坐标原点，点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ，分别将线段 和 十等分，分点分别记为 和 ，连接 ，过 作 轴的垂线与 交于点 。 （ 1） 求证：点 都在同一条抛物线上，并求抛物线 的方程； （ 2） 过点 作直线 与抛物线 E 交于不同的两点 , 若 与 的面积之比为 4:1，求直线 的方程。 19.（本小题满分 13 分） 如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 , （ 1） 求证： 平面 （ 2） 若直线 与平面 所成
9、角的正弦值为 ，求 的值 （ 3） 现将与四棱柱 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 ，写出 的解析式。（直接写出答案，不必说明理由） 20.（本小题满分 14 分） 已知函数 的周期为 ，图象的一个对称中心为 ，将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 单位长度后得到函数 的图象。 （ 1） 求函数 与 的解析式 （ 2） 是否存在 ，使得 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 的个数，若不存
10、在，说明理由； （ 3） 求实数 与正整数 ，使得 在 内恰有 2013 个零点 21. 本小题设有 (1)、 (2)、 (3)三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分 .如果多做，则按所做的前两题计X 3X )(ln)( Raxaxxf 2a )(fy )1(,1( fA)(xfOABCOA 0,10C 10,0OAAB921 , AAA 921 , BBB iOBix iOB 91*, iNiPi *, iiiECl NM,OCMOCNl1111 DCBAABCD 1AAABCD )0(,6,5,4,3,1,/ 1 kkDCkBCkADkABAADCABCD 11A
11、ADD1AACAB176k 1111 DCBAABCD )(kf )(kf )0,0)(sin()( wwxxf 0,4 )(xf2 )(xg)(xf )(g 4,60 x )()(),(),( 0000 xgxfxgxf 0xan )()()( xagxfxF n,0 分 . (1). (本小题满分 7 分 ) 选修 4-2：矩阵与变换 已知直线 在矩阵 对应的变换作用下变为直线 （ I）求实数 的值 （ II）若点 在直线 上，且 ，求点 的坐标 (2).(本小题满分 7 分 ) 选修 4-4：坐标系与参数方程 在 平面 直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐
12、标系 .已知点 A 的极坐标为，直线 的极坐标方程为 ，且点 A在直线 上。 （）求 的值及直线 的直角坐标方程； （）圆 C 的参数方程为 ，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 . (3).(本小题满分 7 分 ) 选修 4-5：不等式选讲 设不等式 的解集为 A,且 （）求 的值 （）求函数 的最小值 1: yaxl )1021(A1: byxlba, ),( 00 yxPl 0000 yxyxAP 4,2 l a )4cos( lal )(sin ,cos 为参数aay ax *)(2 Naax AA 21,23a 2)( xaxxf 参考答案 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算
13、 .每小题 5 分，满分 50 分 . 1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算 .每小题 4 分，满分 20 分 . 11. 12. 13. 14. -1 15. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想 .满分 13 分 . 解法一 ：（ I）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响 .记“这 2
14、 人的累计得分 X 3”的事件为 A。 则事件 A 的对立事件为“ X=5”， 因为 P(X=5)= = ，所以 P(A)=1-P(X=5)= , 即这 2 人的累计得分 X 3 的概率为 。 （ II）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 ，都选择方案乙抽奖中奖次数为 ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2 ),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3 ).由已知可得， ， 所以 E( )=2 = , E( )=2 = , 从而 E(2 )=2 E( )= ， E(3 )=3 E( )= . 因为 E(2 ) E(3 )， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望
15、较大 . 解法二 ：（ I）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响 . 记“这 2 人的累计得分 X 3”的事件为 A， 则事件 A 包含有“ X=0” ,“ X=2”，“ X=3”三个两两互斥的事件， 因为 P(X=0)= , P(X=2)= , P(X=3)= ， 即这 2 人的累计得分 X 3 的概率为. 23 12 3 3 113 1n 1 2n 23 2523 25 415 111511151X 2X1X2X 1222( 2 , ) , ( 2 , )35X B X B1X 23 43 2X 25 451X 1X 83 2X 2X 1251X 2X2
16、3 252 2 1113 5 5 2 2 213 5 5 2 2 21 3 5 1 5 11P A P X 0 P X 2 P X 3 15 所 以1115 12 1 2I I ,XX X X设 小 明 、 小 红 都 选 择 方 案 甲 所 获 得 的 累 计 得 分 为 都 选 择 方 案 乙 所 获 得 的累 计 得 分 为 ， 则 ， 的 分 布 列 如 下 ： 所以 E( )=0，E( )= 因为 E( ) E( ), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大。 17. 本小题主要考查函数、函数的导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思
17、想、数形结合思想、 化归 与转化思想 .满分 13 分 . 解：函数 的定义域为（ 0， ）， = （ I）当 a=2 时， =x-2ln ， =1- （ x 0）， 因而 =1， =-1， 所以曲线 y= 在点 A(1， )处的切线方程为 y-1=-（ x-1）， 即 x+y-2=0. （ II）由 = 0 知： 当 a 0 时， 0，函数 为（ 0， ）上的增函数，函数 无极值 . 当 a 0 时，由 =0，解得 . 又当 (0,a)时， 0；当 (0, )时， 0， 从而函数 在 x=a 处取得极小值，且极小值为 = ，无极大值。 综上，当 a 0 时，函数 无极值； 当 a 0 时，函
18、数 在 x=a 处取得极小值 ，无极大值 . 18.本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查 化归 与转化思想、数形结合思、函数与方程思想 .满分13 分 . 解法一 ：（ I）依题意，过 且与 x 轴垂直的直线方程为 ， 的坐标为（ 10， i），所以直线 O 的方程为 y= . 设 的坐标为（ x， y），由 ， 得 y= ，即 . 所以点 （ ）都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 . （ II）依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 y= . 由 得 . 1X 1 4 4 8+ 2 + 4 =9 9 9 3 2X 9
19、1 2 4 1 20 + 3 + 6 = .2 5 2 5 2 5 5 1X 2X()fx + ()fx 1.ax()fx x ()fx 2x(1)f ()fx()fx (1)f()fx 1,a x a xxx()fx ()fx + ()fx()fx xax ()fx x + ()fx()fx (a)f a-aln a()fx()fx a-aln a( , 1 9 )niA i N i xiiB iB 10i xip10xiiyx 210i x 2 10xyip ,1 9ni N i 2 10xyl l 10kx210,10 ,y kxxy2 1 0 1 0 0 0x kx 此时 =100 与
20、抛物线 E 恒有两个不同的交点 M， N。 设 M（ 分别代入 和，得 所以直线 . 解法二： （） 证明如下： ， 因为点 所以点 都在同一条抛物线上，且抛物线 E的方程为 ( )同解法一。 19.解 ： （） 取 CD 的中点 E，连结 BE. DE,AB=DE=3k, 四边形 ABED 为平行四边形， BE AD 且 BE=AD=4K。 在 BCE 中， BE=4K， CE=3K， BC=5K， BE AD，所以 CDAD。 CD . 正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（ 4K， 0， 0）， C（ 0,6K， 0）， ， 设平面 取 y=2,得 n=(3,2,-6k). 2
21、 4 0 0 0 ,kl 直 线121 1 2 2121 0 ,1 0 0 ,x x kxx（ x , y ） , N ( x , y ) , 则O C M O C N 1 2S 4 4 .S x x因 为 ， 所 以1 2 1 20 , 4 ,x x x x 又 所 以2223 1 0 , 3 .4 1 0 0 , 2xxk k 解 得3 1 0 , 3 2 + 2 0 = 0 3 2 2 0 02 x x yl y x y 的 方 程 为 即 或2( , 1 9 ) E 1 0ip i N i x y 点 都 在 抛 物 线 ： 上 .( , 1 9 )iA i N i x x i 过 且
22、 与 轴 垂 直 的 直 线 方 程 为.10i iB i x的 坐 标 为 （ 10 ， ） , 所 以 直 线 OB 的 方 程 为 2, 1010ixi ipii x由 解 得 的 坐 标 为 ( ) , 2 1 0 ,ip x y的 坐 标 都 满 足 方 程( , 1 9 )ip i N i 2 10 .xyAB2 2 2 ,B E C E B C9 0 , B E C DBEC 即 ， 又1 A B C D C D A B C DAA 平 面 ， 平 面 ，11C D . ,A A A A A D A 又11A D D A 平 面1D A D C D D， ， 的 方 向 为 x,
23、y,x 轴 的11B 4 K 3 K 1 A K（ ， ， ） ， （ 4 ， 0 ， 1 ）110AB0,A C nCA B n 的 法 向 量 n=(x,y,z), 则 由4 6 0 ,3 0 .k x k yk y z 得11A B C 设 AA 与 平 面 所 成 角 为 ， 则 ( )共有 4 种不同的方案 . 20.解法一： （） 故 将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）后可得y=cos x 的图象，再将 y=cos x 的图象想右平移 个单位长度后得到函数 g(x)=cos(x- )的图象，所以 g(x)=sin x, ( ) 所以 问题转化为方程 因为
24、 内单调递增 . 且函数 G（ x）的图象连续不断，故可知函数 G（ x）在（ ）内存在唯一零点 即存在唯一的 ( )依题意 ， =0 的解，所1112s i n c o s ,66, 1 , 1 .73 6 1 3A A nA A nA A nkkkk 解 得 故 所 求 的 值 为2257 2 2 6 , 018()53 6 3 6 , .18k k kfkk k k 2( ) s i n ( ) 0 , = = 2 .T()4fxy f x 由 函 数 的 周 期 为 ， 得又 曲 线 的 一 个 对 称 中 心 为 （ ， 0 ） ， （ 0 ， ）( ) s i n ( 2 ) 0
25、, = ( ) c o s 2 .4 4 2f f x x 得 ， 所 以()fx2 21 2 1( , ) s i n , 0 c o s 2 .6 4 2 2 2x x x 当 时 ，s i n c o s 2 s i n c o s 2 .x x x x2 c o s 2 s i n s i nxxc o s 264xx 在 （ ， ） 内 是 否 有 解 .G设 ( ) s i n s i n c o s 2 2 c o s 2 , ( , ) .64x x x x x x G ( ) c o s c o s c o s 2 2 s i n 2 ( 2 s i n ) .x x x x
26、 x x 则( , ) , G64x 所 以 ( ) 0 , ( ) 64x G x 在 （ ， ）12G = - 0 , ( ) 0 ,6 4 4 2G 又 （ ）64， 0,x0 ( , )64x 满 足 题 意 .F ( ) s i n c o s 2 , Fx a x x 令( ) s i n c o s 2 0 .x a x x s i n 0 , ( )x x k k z 当 即 时 ， cos21,x ()x k k z从 而 不 是 方 程 F()x 以方程 F 现研究 则问题转化为研究直线 的交点情况。 的变化情况如下表： 又当 内有 3 个交点，由周期性， 2013=3 6
27、71，所以依题意得 n=671 2=1342. 综上，当解法二：（）、（）同解读一， （）依题意， 现研究函数 . 设 则函数 的图象是开口向下的抛物线， 当 a 1 时，函数 有一个零点 (另一个零点 1，舍去 )， 在 上有c o s 2( ) 0 , ( ) .s i n xx x a x k k zx 等 价 于 关 于 的 方 程c o s 2( 0 , ) ( , 2 ) s i n xxa x 时 方 程 的 解 的 情 况 。c o s 2( ) , ( 0 , ) ( , 2 ) ,s i nxh x xx 令( ) , ( 0 , ) ( , 2 )y a y h x x
28、与 曲 线22c o s ( 2 s i n 1 ) 3( ) , ( ) 0 , .s i n 2 2xxh x h x x xx 令 得 或 ( ) , ( )x h x h x当 变 化 时 ，0 0 ( ) -( ) - ,x x h xx x h x当 且 趋 近 于 时 ， 趋 向 于 ，当 且 趋 近 于 时 ， 趋 向 于()x x h x当 且 趋 近 于 时 ， 趋 向 于 +2 ( )x x h x当 且 趋 近 于 2 时 ， 趋 向 于 +1 ( )a y a y h x 故 当 时 ， 直 线 与 曲 线 在 （ 0 ， ） 内 无 交 点 ， 在 （ ， 2 ）
29、内 有 2 个 交 点1 ( )a y a y h x 当 时 ， 直 线 与 曲 线 在 （ 0 ， ） 内 有 2 个 交 点 ， 在 （ ， 2 ） 内 无 交 点 ；- 当 1a1 时 ， 直 线 y=a 与 曲 线 y=h(x) 在 （ 0 ， ） 内 有 2 个 交 点 ， 在 （ ， 2 ） 内 有 2 个 交 点 ；( ) 1 ( )h x a y a y h x 由 函 数 的 周 期 性 ， 可 知 当 时 ， 直 线 与 曲 线 在 （ 0 ， n ） 内 总 有 偶 数 个 交 点 ，从 而 不 存 在 正 整 数 n, 使 得 直 线 y=a 与 曲 线 y=h(x)
30、 在 （ 0 ， n ） 内 恰 有 2013 个 交 点 ；11aa 或 时 ， 直 线 y=a 与 曲 线 y=h(x) 在 （ 0 ， ） （ ， 2 ）1 , 1 3 4 2 1 , 1 3 4 2 Fa n a n 或 时 ， 函 数( ) ( ) ( )x f x a g x 在 （ 0 ， n ） 内 恰 有 2013 个 零 点 。2( ) s i n c o s 2 2 s i n s i n 1 .F x a x x x a x ( ) 0, 2Fx 在 上 的 零 点 的 情 况2s i n , ( ) 2 1 ( 1 1 ) ,t x p t t a t t ()pt(
31、 0 ) 1 0 , ( 1 ) 1 , ( 1 ) 1 .p p a p a 又 ()pt 1 ( 1, 0)t 2t ()Fx 0,2 两个零点 ，且 ； 当 -1 时，函数 有一个零点 (另一个零点 -1，舍去 )， 在 上有两个零点 ，且 ； 当 -1 1 时，函数 有一个零点 ，另一个零点 ， 在 和分别有两个零点 . 由正弦函数的周期性，可知当 a 1 时，函数 在 内总有偶数个零点，从而不存在正整数 n 满足题意 . 当 a=1 时，函数 有一个零点 ，另一个零点 =1； 当 a=-1 时，函数 有一个零点 =-1，另一个零点 ， 从而当 a=1 或 a=-1 时，函数 在 有
32、3 个零点 .由正弦函数的周期性， 2013=3 671，所以依题意得 n=671 2=1342. 综上，当 a=1， n=1342 或 a=-1， n=1342 时，函数 = + 在 内恰有 2013个零点 . 21.（ 1） 选修 4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分 7 分 . 解：（ I）设直线 : 上任意点 M 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 . 由 = = ，得 又点 在 上，所以 =1,即 ， 依题意得 解得 （ II）由 A = ，得 解得 =0. 又点 在直线上 上，所以 . 故点 的坐标为 . （ 2）
33、选修 4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 .满分 7 分 . 解：（ I）由点 A 在直线 =a 上，可得 a= . 所以直线 的方程可化为 ， 从而直线 的直角坐标方程为 . （ II）由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ， 所以圆 C 的圆心为（ 1,0），半径 r=1， 因为圆心 C 到直线 的距离 1， 所以直线 与圆 C 相交 . （ 3）选修 4-5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 .满分 7分 . 12,xx 12,xx ( ,2 )a
34、()pt 1t (0,1) 2t ()Fx 0,212,xx 12,xx (0, )a ()pt 1t ( 1,0) 2t (0,1) ()Fx (0, )( ,2 )()Fx (0, )n()pt 1t ( 1,0) 2t()pt 1t 2t (0,1)()Fx 0,2()Fx ()fx ()agx (0, )nl 1ax y ( , )xyM ( , )xyxy1021xy2xyy 2 ,.x x yyyM ( , )xy l x by ( 2 ) 1x b y 12 1.ab11.ab00xy00xy0 0 0002,.x x yyy 0y 00,p x y l 0 1x p (1,0)( 2, )4 cos( )4p 2l c o s s i n 2ppl 20xy 22( 1) 1xyl 1222d l 解：（ I）因为 且 所以 a，且 解得 a .又因为 a ，所以 a=1. （ II）因为 =3， 当且仅当 0，即 -1 x 2 时取到等号，所以 的最小值为 3. 3 ,2 A 1 ,2 A 3 22 1 22 ,a12 32 nN1 2 ( 1 ) ( 2 )x x x x ( 1)( 2)xx ()fx
