1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学文 一、选择题 (共 12 小题，每小题 5 分，满分 60分 ) 1.(5 分 )已知集合 A=0， 1， 2， 3， 4， B=x|x| 2，则 AB= ( ) A. 0 B. 0， 1 C. 0， 2 D. 0， 1， 2 解析 ： 由 B 中的不等式 |x| 2，解得： -2 x 2，即 B=(-2， 2)， A=0 ， 1， 2， 3， 4， AB=0 ， 1. 答案： B 2.(5 分 )复数 的模长为 ( ) A. B. C. D. 2 解析 ： 复数 ，所以 = = = . 答案： B. 3.(5 分 )已知点 A(1， 3
2、)， B(4， -1)，则与向量 同方向的单位向量为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 已知点 A(1， 3)， B(4， -1)， =(4， -1)-(1， 3)=(3， -4)， | |= =5， 则与向量 同方向的单位向量为 = ， 答案： A. 4.(5 分 )下列关于公差 d 0 的等差数列 an的四个命题： p1：数列 an是递增数列； p2：数列 nan是递增数列； p3：数列 是递增数列； p4：数列 an+3nd是递增数列； 其中真命题是 ( ) A. p1， p2 B. p3， p4 C. p2， p3 D. p1， p4 解析 ： 对于公差 d 0 的等差数列 a
3、n， an+1-an=d 0， 命题 p1：数列 an是递增数列成立，是真命题 . 对于数列数列 nan，第 n+1 项与第 n 项的差等于 (n+1)an+1-nan=(n+1)d+an，不一定是正实数，故 p2不正确，是假命题 . 对于数列 ，第 n+1项与第 n项的差等于 - = = ，不一定是正实数，故 p3不正确，是假命题 . 对于数列数列 an+3nd，第 n+1 项与第 n 项的差等于 an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d 0，故命题p4：数列 an+3nd是递增数列成立，是真命题 . 答案： D. 5.(5 分 )某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数
4、据的分组一次为 20，40)， 40， 60)， 60， 80)， 80， 100).若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 ( ) A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 解析 ： 成绩低于 60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01， 每组数据的组距为 20 则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)20=0.3 ， 又 低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 =50. 答案： B. 6.(5 分 )在 ABC ，内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c.asinBcosC+csi
5、nBcosA= b，且a b，则 B= ( ) A. B. C. 解析 ： 利用正弦定理化简已知等式得： sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB， sinB0 ， sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= ， a b， A B ，即 B 为锐角，则 B= . 答案： A 7.(5 分 )已知函数 f(x)=ln -3x)+1，则 f(lg2)+f =( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解析 ： 函数 ， 则 =f(lg2)+f(-lg2) = + = +1+ = + =2. 答案： D. 8.(5 分 )执行如图所示的程序框图，若输
6、入 n=8，则输出 S=( ) A. B. C. D. 解析 ： 当 i=2 时， S=0+ = ， i=4； 当 i=4 时， S= + = ， i=6； 当 i=6 时， S= + = ， i=8； 当 i=8 时， S= + = ， i=10； 不满足循环的条件 i8 ，退出循环，输出 S= . 答案： A. 9.(5 分 )已知点 O(0， 0)， A(0， b)， B(a， a3)，若 OAB 为直角三角形，则必有 ( ) A. b=a3 B. C. D. 解析 ： =(a， a3-b)， ， =(a， a3)，且 ab0. 若 ，则 =ba3=0， a=0 或 b=0，但是 ab0
7、 ，应舍去； 若 ，则 =b(a3-b)=0， b0 ， b=a 30 ； 若 ，则 =a2+a3(a3-b)=0，得 1+a4-ab=0，即 . 综上可知： OAB 为直角三角形，则必有 . 答案： C. 10.(5 分 )已知三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3， AC=4， ABAC ，AA1=12，则球 O 的半径为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 因为三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3， AC=4， ABAC ， AA1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面 B1BCC1
8、，经过球的球心，球的直径是其对角线的长， 因为 AB=3， AC=4， BC=5， BC1= ，所以球的半径为： . 答案： C. 11.(5 分 )已知椭圆 C： 的左焦点 F， C 与过原点的直线相交于 A， B两点，连结 AF， BF，若 |AB|=10， |AF|=6， ，则 C 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 如图所示，在 AFB 中，由余弦定理可得 |AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF ， ，化为 (|BF|-8)2=0，解得 |BF|=8. 设 F 为椭圆的右焦点，连接 BF ， AF .根据对称性可得四边形 AFBF 是矩形 .
9、 |BF |=6， |FF |=10.2a=8+6 ， 2c=10，解得 a=7， c=5. . 答案： B. 12.(5 分 )已知函数 f(x)满足 f(x)=x2-2(a+2)x+a2， g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=maxf(x)， g(x)， H2(x)=minf(x)， g(x)(max(p， q)表示 p， q 中的较大值， min(p，q)表示 p， q 中的较小值 )，记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为 B，则 A-B=( ) A. a2-2a-16 B. a2+2a-16 C. -16 D. 16 解析 ： 取 a=-2，则 f
10、(x)=x2+4， g(x)=-x2-8x+4.画出它们的图象，如图所示 .则 H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标， H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标， 由 解得 或 ， A=4 ， B=20， A-B=-16. 答案： C. 二、填空题 13.(5 分 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 解析 ： 根据三视图可知，该几何体该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱， 圆柱是底面外径为 2，高为 4 的圆筒， 四棱柱的底面是边长为 2 的正方形，高也为 4. 故其体积为： 224 -224=16 -16， 答案： 16 -16. 14.(5 分 )已知等比数列 an是递增
11、数列， Sn是 an的前 n 项和 .若 a1， a3是方程 x2-5x+4=0 的两个根，则 S6= . 解析 ： 解方程 x2-5x+4=0，得 x1=1， x2=4. 因为数列 an是递增数列，且 a1， a3是方程 x2-5x+4=0 的两个根，所以 a1=1， a3=4. 设等比数列 an的公比为 q，则 ，所以 q=2. 则 . 答案： 63. 15.(5 分 )已知 F 为双曲线 C： 的左焦点， P， Q 为 C 上的点，若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5， 0)在线段 PQ 上，则 PQF 的周长为 44 . 解析 ： 根据题意，双曲线 C： 的左焦点 F(-5，
12、 0)，所以点 A(5， 0)是双曲线的右焦点，虚轴长为： 8；双曲线图象如图： |PF|-|AP|=2a=6 ， |QF|-|QA|=2a=6 ， 而 |PQ|=16， + 得： |PF|+|QF|-|PQ|=12， 周长为： |PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44 答案： 44. 16.(5 分 )为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 解析 ： 设样本数据为： x1， x2， x3， x4， x5， 平均数 =(x1+x2+x
13、3+x4+x5)5=7 ； 方差 s2=(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)25=4. 从而有 x1+x2+x3+x4+x5=35， (x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20. 若样本数据中的最大值为 11，不妨设 x5=11，则 式变为： (x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的； 若样本数据为 4， 6， 7， 8， 10，代入验证知 式均成立，此时样本数据中的最大值为 10. 答案： 10. 三、解答题 17.(12 分 )设向量 ， ，
14、. (1)若 ，求 x 的值； (2)设函数 ，求 f(x)的最大值 . 解析 ： (1)由条件求得 ， 的值，再根据 以及 x 的范围，可的 sinx 的值，从而求得 x 的值 . (2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 sin(2x- )+ .结合 x 的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得 f(x)的最大值 . 答案： (1)由题意可得 = +sin2x=4sin2x， =cos2x+sin2x=1， 由 ，可得 4sin2x=1，即 sin2x= . x 0， ， sinx= ，即 x= . (2) 函数 =( sinx， sinx)(cosx ，
15、sinx)= sinxcosx+sin2x= sin2x+=sin(2x- )+ . x 0， ， 2x - - ， ， 当 2x- = ， sin(2x- )+ 取得最大值为 1+ = . 18.(12 分 )如图， AB 是圆 O 的直径， PA 圆 O 所在的平面， C 是圆 O 上的点 . (1)求证： BC 平面 PAC； (2)若 Q 为 PA 的中点， G 为 AOC 的重心，求证： QG 平面 PBC. 解析 ： (1)由 PA 圆所在的平面，可得 PABC ，由直径对的圆周角等于 90 ，可得 BCAC ，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论 . (2)连接 OG 并延长交
16、AC 于点 M，则由重心的性质可得 M 为 AC 的中点 .利用三角形的中位线性质，证明 OMBC ， QMPC ，可得平面 OQM 平面 PBC，从而证明 QG 平面 PBC. 答案： (1)AB 是圆 O 的直径， PA 圆所在的平面，可得 PABC ， C 是圆 O 上的点，由直径对的圆周角等于 90 ，可得 BCAC. 再由 ACPA=A ，利用直线和平面垂直的判定定理可得 BC 平面 PAC. (2)若 Q 为 PA 的中点， G 为 AOC 的重心，连接 OG并延长交 AC于点 M， 连接 QM，则由重心的性质可得 M 为 AC 的中点 . 故 OM 是 ABC 的中位线， QM
17、是 PAC 的中位线，故有 OMBC ， QMPC. 而 OM 和 QM 是平面 OQM 内的两条相交直线， AC 和 BC 是平面 PBC 内的两条相交直线，故平面OQM 平面 PBC.又 QG 平面 OQM， QG 平面 PBC. 19.(12 分 )现有 6 道题，其中 4 道甲类题， 2 道乙类题，张同学从中任取 2道题解答 . (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率 . 解析 ： (1)根据题意，设事件 A 为 “ 都是甲类题 ” ，由组合数原理，可得试验结果总数与 A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案， (2)设事件 B 为
18、“ 所取的 2 道题不是同一类题 ” ，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从 6 件中抽取 2 道的情况数目与抽出的 2 道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案 . 答案： (1)从中任取 2 道题解答，试验结果有 =15 种； 设事件 A 为 “ 所取的 2 道题都是甲类题 ” ，则包含的基本事件共有 C =6 种， 因此 P(A)=. (2)设事件 B 为 “ 所取的 2 道题不是同一类题 ” ，从 6 件中抽取 2道，有 C62种情况， 而抽出的 2 道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有 C41C 21=8 种情况， 根据古典概型的计算，有 P(B)= .
19、 20.(12 分 )如图，抛物线 C1： x2=4y， C2： x2=-2py(p 0)，点 M(x0， y0)在抛物线 C2上，过 M作 C1的切线，切点为 A， B(M 为原点 O 时， A， B 重合于 O)，当 x0=1- 时，切线 MA 的斜率为 - . ( )求 P 的值； ( )当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N的轨迹方程 (A， B 重合于 O 时，中点为 O). 解析 ： () 利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由 M 在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出 p 值 . () 由题意，可先设出 A， B 两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点
20、坐标公式建立方程，直接求解出中点 N 的轨迹方程 答案： () 因为抛物线 C1： x2=4y 上任意一点 (x， y)的切线斜率为 y= ，且切线 MA 的斜率为 - ，所以 A 点的坐标为 (-1， )，故切线 MA 的方程为 y=- (x+1)+ 因为点 M(1- ， y0)在切线 MA 及抛物线 C2上，于是 y0=- (2- )+ =- ， y 0=- =- ， 解得 p=2 () 设 N(x， y)， A(x1， )， B(x2， )， x1x 2，由 N 为线段 AB 中点知 x= ，y= = ， 切线 MA， MB 的方程为 y= (x-x1)+ ， ； y= (x-x2)+
21、， 由 得 MA， MB 的交点 M(x0， y0)的坐标满足 x0= ， y0= ， 因为点 M(x0， y0)在 C2上，即 x02=-4y0，所以 x1x2=- ， 由 得 x2= y， x0 . 当 x1=x2时， A， B 丙点重合于原点 O， A， B 中点 N为 O，坐标满足 x2= y 因此中点 N 的轨迹方程为 x2= y. 21.(12 分 )(1)证明：当 x 0， 1时， ； (2)若不等式 对 x 0， 1恒成立，求实数 a 的取值范围 . 解析 ： (1)记 F(x)=sinx- x，可求得 F(x)=cosx - ，分 x (0， )与 x ( ， 1)两类讨论，
22、可证得当 x 0， 1时， F(x)0 ，即 sinx x；记 H(x)=sinx-x，同理可证当 x (0， 1)时， sinxx ，二者结合即可证得结论； (2)利用 (1)，可求得当 x 0， 1时， ax+x2+ +2(x+2)cosx-4(a+2)x ，分 a -2 与 a-2 讨论即可求得实数 a 的取值范围 . 答案： (1)记 F(x)=sinx- x，则 F(x)=cosx - . 当 x (0， )时， F(x) 0， F(x)在 0， 上是增函数； 当 x ( ， 1)时， F(x) 0， F(x)在 ， 1上是减函数； 又 F(0)=0， F(1) 0，所以当 x 0，
23、 1时， F(x)0 ，即 sinx x3 记 H(x)=sinx-x，则当 x (0， 1)时， H(x)= cosx-1 0，所以 H(x)在 0， 1上是减函数；则 H(x)H(0)=0 ，即 sinxx. 综上， xsinxx . (2) 当 x 0， 1时， ax+x2+ +2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+ -4(x+2) (a+2)x+x 2+-4(x+2) =(a+2)x， 当 a -2 时，不等式 ax+x2+ +2(x+2)cosx4 对 x 0， 1恒成立， 9 下面证明，当 a -2 时，不等式 ax+x2+ +2(x+2)cosx4 对 x 0， 1不恒成
24、立 . 当 x 0， 1时， ax+x2+ +2(x+2)cosx-4 =(a+2)x+x2+ -4(x+2) (a+2)x+x 2+ -4(x+2) =(a+2)x-x2- (a+2)x - x2 =- xx- (a+2). 所以存在 x0 (0， 1)(例如 x0取 和 中的较小值 )满足 ax0+ + +2(x0+2)cosx0-4 0， 即当 a -2 时，不等式 ax+x2+ +2(x+2)cosx4 对 x 0， 1不恒成立 . 综上，实数 a 的取值范围是 (- ， -2. 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.(10 分 )(
25、选修 4-1 几何证明选讲 ) 如图， AB 为 O 的直径，直线 CD 与 O 相切于 E， AD 垂直 CD 于 D， BC 垂直 CD 于 C， EF 垂直于 AB 于 F，连接 AE， BE，证明： (1)FEB=CEB ； (2)EF2=AD BC. 解析 ： (1)直线 CD 与 O 相切于 E，利用弦切角定理可得 CEB=EAB. 由 AB 为 O 的直径，可得 AEB=90. 又 EFAB ，利用互余角的关系可得 FEB=EAB ，从而得证 . (2)利用 (1)的结论及 ECB=90=EFB 和 EB 公用可得 CEBFEB ，于是 CB=FB.同理可得ADEAFE ， AD
26、=AF.在 RtAEB 中，由 EFAB ，利用射影定理可得 EF2=AFFB. 等量代换即可 . 答案： (1) 直线 CD 与 O 相切于 E， CEB=EAB. AB 为 O 的直径， AEB=90.EAB+EBA=90. EFAB ， FEB+EBF=90.FEB=EAB.CEB=EAB. (2)BCCD ， ECB=90=EFB ，又 CEB= FEB， EB 公用 .CEBFEB.CB=FB. 同理可得 ADEAFE ， AD=AF. 在 RtAEB 中， EFAB ， EF 2=AFFB.EF 2=ADCB. 23.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立
27、坐标系 .圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 =4sin ， cos ( )=2 . ( )求 C1与 C2交点的极坐标； ( )设 P 为 C1的圆心， Q为 C1与 C2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为(t R 为参数 )，求 a， b 的值 . 解析 ： (I)先将圆 C1，直线 C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可； (II)由 (I)得， P与 Q点的坐标分别为 (0， 2)， (1， 3)，从而直线 PQ的直角坐标方程为 x-y+2=0，由参数方程可得 y= x- +1，从而构造关于 a， b 的方程组，解得 a， b 的值
28、. 答案： (I)圆 C1，直线 C2的直角坐标方程分别为 x2+(y-2)2=4， x+y-4=0， 解 得 或 ， C 1与 C2交点的极坐标为 (4， ).(2 ， ). (II)由 (I)得， P 与 Q 点的坐标分别为 (0， 2)， (1， 3)，故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0， 由参数方程可得 y= x- +1， ，解得 a=-1， b=2. 24.已知函数 f(x)=|x-a|，其中 a 1 (1)当 a=2 时，求不等式 f(x)4 -|x-4|的解集； (2)已知关于 x 的不等式 |f(2x+a)-2f(x)|2 的解集 x|1x2 ，求 a 的值 . 解
29、析 ： (1)当 a=2 时， f(x)4 -|x-4|可化为 |x-2|+|x-4|4 ，直接求出不等式 |x-2|+|x-4|4的解集即可 . (2)设 h(x)=f(2x+a)-2f(x)，则 h(x)= .由 |h(x)|2 解得，它与 1x2 等价，然后求出 a 的值 . 答案： (1)当 a=2 时， f(x)4 -|x-4|可化为 |x-2|+|x-4|4 ， 当 x2 时，得 -2x+64 ，解得 x1 ； 当 2 x 4 时，得 24 ，无解； 当 x4 时，得 2x-64 ，解得 x5 ；故不等式的解集为 x|x5 或 x1. (2)设 h(x)=f(2x+a)-2f(x)，则 h(x)= ， 由 |h(x)|2 得， 又已知关于 x 的不等式 |f(2x+a)-2f(x)|2 的解集 x|1x2 ，所以 ， 故 a=3.
