1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )复数 的模长为 ( ) A. B. C. D. 2 解析 ： 复数 ，所以 = = = . 答案： B. 2.(5 分 )已知集合 A=x|0 log4x 1， B=x|x2 ，则 AB= ( ) A. (0， 1) B. (0， 2 C. (1， 2) D. (1， 2 解析 ： 由 A 中的不等式变形得： log41 log4x log44， 解得： 1 x 4，即 A=(1， 4)， B=( -
2、 ， 2， AB=(1 ， 2. 答案： D 3.(5 分 )已知点 A(1， 3)， B(4， -1)，则与向量 同方向的单位向量为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 已知点 A(1， 3)， B(4， -1)， =(4， -1)-(1， 3)=(3， -4)， | |= =5， 则与向量 同方向的单位向量为 = ， 答案： A. 4.(5 分 )下列关于公差 d 0 的等差数列 an的四个命题： p1：数列 an是递增数列； p2：数列 nan是递增数列； p3：数列 是递增数列； p4：数列 an+3nd是递增数列； 其中真命题是 ( ) A. p1， p2 B. p3， p4
3、C. p2， p3 D. p1， p4 解析 ： 对于公差 d 0 的等差数列 an， an+1-an=d 0， 命题 p1：数列 an是递增数列成立，是真命题 . 对于数列数列 nan，第 n+1 项与第 n 项的差等于 (n+1)an+1-nan=(n+1)d+an，不一定是正实数，故 p2不正确，是假命题 . 对于数列 ，第 n+1项与第 n项的差等于 - = = ，不一定是正实数，故 p3不正确，是假命题 . 对于数列数列 an+3nd，第 n+1 项与第 n 项的差等于 an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d 0， 故命题 p4：数列 an+3nd是递增数列成立，是真命题 .
4、答案： D. 5.(5 分 )某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 20，40)， 40， 60)， 60， 80)， 80， 100).若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 ( ) A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 解析 ： 成绩低于 60 分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005， 0.01， 每组数据的组距为 20， 则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)20=0.3 ， 又 低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 =50. 答案： B. 6.(5 分 )在
5、 ABC ，内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c.asinBcosC+csinBcosA= b，且a b，则 B= ( ) A. B. C. D. 解析 ： 利用正弦定理化简已知等式得： sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB， sinB0 ， sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= ， a b， A B ，即 B 为锐角，则 B= . 答案： A 7.(5 分 )使得 (n N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析 ： 设 (n N+)的展开式的通项为 Tr+1，则：
6、Tr+1=3n-r x n-r=3n-r ， 令 n- r=0 得： n= r，又 n N+， 当 r=2 时， n 最小，即 nmin=5. 答案： B. 8.(5 分 )执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出的 S=( ) A. B. C. D. 解析 ： 输入 n 的值为 10，框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2， 判断 210 成立，执行 ， i=2+2=4； 判断 410 成立，执行 = ， i=4+2=6； 判断 610 成立，执行 ， i=6+2=8； 判断 810 成立，执行 ， i=8+2=10； 判断 1010 成立，执行 ， i=10+
7、2=12； 判断 1210 不成立，跳出循环，算法结束，输出 S 的值为 . 答案： A. 9.(5 分 )已知点 O(0， 0)， A(0， b)， B(a， a3)，若 OAB 为直角三角形，则必有 ( ) A. b=a3 B. C. D. 解析 ： =(a， a3-b)， ， =(a， a3)，且 ab0. 若 ，则 =ba3=0， a=0 或 b=0，但是 ab0 ，应舍去； 若 ，则 =b(a3-b)=0， b0 ， b=a 30 ； 若 ，则 =a2+a3(a3-b)=0，得 1+a4-ab=0，即 . 综上可知： OAB 为直角三角形，则必有 . 答案： C. 10.(5 分 )
8、已知三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3， AC=4， ABAC ，AA1=12，则球 O 的半径为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 因为三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3， AC=4， ABAC ， AA1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面 B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为 AB=3， AC=4， BC=5， BC1= ，所以球的半径为： . 答案： C. 11.(5分 )已知函数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2， g(x)=-x2+2(a-2)
9、x-a2+8.设 H1(x)=maxf(x)， g(x)，H2(x)=minf(x)， g(x)， (maxp， q)表示 p， q 中的较大值， minp， q表示 p， q 中的较小值 )，记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为 B，则 A-B=( ) A. 16 B. -16 C. -16a2-2a-16 D. 16a2+2a-16 解析 ： 令 h(x)=f(x)-g(x)=x2-2(a+2)x+a2-x2+2(a-2)x-a2+8=2x2-4ax+2a2-8=2(x-a)2-8. 由 2(x-a)2-8=0，解得 x=a2 ，此时 f(x)=g(x)； 由 h(x) 0
10、，解得 x a+2，或 x a-2，此时 f(x) g(x)； 由 h(x) 0，解得 a-2 x a+2，此时 f(x) g(x). 综上可知： (1)当 xa -2 时，则 H1(x)=maxf(x)， g(x)=f(x)=x-(a+2)2-4a-4， H2(x)=minf(x)， g(x)=g(x)=-x-(a-2)2-4a+12， (2)当 a-2xa+2 时， H1(x)=maxf(x)， g(x)=g(x)， H2(x)=minf(x)， g(x)=f(x)； (3)当 xa+2 时，则 H1(x)=maxf(x)， g(x)=f(x)， H2(x)=minf(x)， g(x)=g
11、(x)， 故 A=g(a+2)=-(a+2)-(a-2)2-4a+12=-4a-4， B=g(a-2)=-4a+12， A -B=-4a-4-(-4a+12)=-16. 答案： B. 12.(5 分 )设函数 f(x)满足 x2f (x)+2xf(x)= ， f(2)= ，则 x 0 时， f(x)( ) A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 解析 ： 函数 f(x)满足 ， ， x 0 时， dx， ， ， 令 g(x)= ，则 ， 令 g(x)=0 ，则 x=2， x (0， 2)时， g(x) 0，函数单调递减， x
12、(2， +) 时， g(x) 0，函数单调递增 ， g(x) 在 x=2 时取得最小值 ， f(2)= ， g(2)= =0， g(x)g(2)=0 ， 0 ， 即 x 0 时， f(x)单调递增 ， f(x) 既无极大值也无极小值 . 答案： D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分 . 13.(5 分 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 解析 ： 根据三视图可知，该几何体该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱， 圆柱是底面外径为 2，高为 4 的圆筒，四棱柱的底面是边长为 2 的正方形，高也为 4.故其体积为： 224 -224=16 -16， 答案： 16 -16. 1
13、4.(5 分 )已知等比数列 an是递增数列， Sn是 an的前 n 项和 .若 a1， a3是方程 x2-5x+4=0 的两个根，则 S6= . 解析 ： 解方程 x2-5x+4=0，得 x1=1， x2=4. 因为数列 an是递增数列，且 a1， a3是方程 x2-5x+4=0 的两个根，所以 a1=1， a3=4. 设等比数列 an的公比为 q，则 ，所以 q=2.则. 答案： 63. 15.(5分 )已知椭圆 的左焦点为 F， C与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF、 BF，若 |AB|=10， |AF|=6， cosABF= ，则 C 的离心率 e= . 解析 ： 设椭圆的
14、右焦点为 F，连接 AF、 BF AB 与 FF互相平分， 四边形 AFBF为平行四边形，可得 |AF|=|BF|=6 ABF 中， |AB|=10， |AF|=6， cosABF= ， 由余弦定理 |AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF ， 可得 62=102+|BF|2-210|BF| ，解之得 |BF|=8 由此可得， 2a=|BF|+|BF|=14，得 a=7 ABF 中， |AF|2+|BF|2=100=|AB|2 AFB=90 ，可得 |OF|= |AB|=5，即 c=5 因此 椭圆 C 的离心率 e= = 答案： 16.(5 分 )为了考察某校各班参加课
15、外小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 解析 ： 设样本数据为： x1， x2， x3， x4， x5，平均数 =(x1+x2+x3+x4+x5)5=7 ； 方差 s2=(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)25=4. 从而有 x1+x2+x3+x4+x5=35， (x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20. 若样本数据中的最大值为 11，不妨设 x5=11，则 式变为： (x1-7)2+
16、(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的； 若样本数据为 4， 6， 7， 8， 10，代入验证知 式均成立，此时样本数据中的最大值为 10. 答案： 10. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(12 分 )设向量 ， ， . (1)若 ，求 x 的值； (2)设函数 ，求 f(x)的最大值 . 解析 ： (1)由条件求得 ， 的值，再根据 以及 x 的范围，可的 sinx 的值，从而求得 x 的值 . (2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 sin(2x- )+ .结合 x 的范
17、围，利用正弦函数的定义域和值域求得 f(x)的最大值 . 答案： (1)由题意可得 = +sin2x=4sin2x， =cos2x+sin2x=1， 由 ，可得 4sin2x=1，即 sin2x= .x 0， ， sinx= ，即 x= . (2) 函数 =( sinx， sinx)(cosx ， sinx)= sinxcosx+sin2x= sin2x+=sin(2x- )+ . x 0， ， 2x - - ， ， 当 2x- = ， sin(2x- )+ 取得最大值为 1+ = . 18.(12 分 )如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面， C 是圆上的点 . ( )求证：平
18、面 PAC 平面 PBC； ( )若 AB=2， AC=1， PA=1，求证：二面角 C-PB-A 的余弦值 . 解析 ： () 要证平面 PAC 平面 PBC，只要证明平面 PBC 经过平面 PAC 的一条垂线 BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明 BC 平面 PAC； () 因为平面 PAB 和平面 ABC 垂直，只要在平面 ABC 内过 C作两面的郊县 AB的垂线，然后过垂足再作 PB 的垂线，连结 C 和后一个垂足即可得到二面角 C-PB-A 的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角 C-PB-A 的余弦值 . 答案： () 如图，由
19、AB 是圆的直径，得 ACBC. 由 PA 平面 ABC， BC 平面 ABC，得 PABC. 又 PAAC=A ， PA 平面 APC， AC 平面 PAC，所以 BC 平面 PAC. 因为 BC 平面 PBC，所以平面 PAC 平面 PBC； () 过 C 作 CMAB 于 M， 因为 PA 平面 ABC， CM 平面 ABC，所以 PACM ，故 CM 平面 PAB. 过 M 作 MNPB 于 N，连接 NC. 由三垂线定理得 CNPB. 所以 CNM 为二面角 C-PB-A 的平面角 . 在 RtABC 中，由 AB=2， AC=1，得 ， ， . 在 RtABP 中，由 AB=2，
20、AP=1，得 . 因为 RtBNMRtBAP ，所以 .故 MN= . 又在 RtCNM 中， .故 cos .所以二面角 C-PB-A 的余弦值为 . 19.(12 分 )现有 10 道题，其中 6 道甲类题， 4 道乙类题，张同学从中任取 3道题解答 . ( )求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； ( )已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题， 1 道乙类题 .设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立 .用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望 . 解析 ： (I)从 10 道试题中取出 3 个的所有可能结果数有 ，张同学至少取
21、到 1 道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解 (II)先判断随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 答案： (I)设事件 A=“ 张同学至少取到 1 道乙类题 ” ， 则 =张同学至少取到的全为甲类题 ， P(A)=1 -P( )=1- = . (II)X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， P (X=0)= = ， P(X=1)= = ， P(X=2)= + = ， P(X=3)= = ， X 的分布列为 EX= . 20.(12 分 )如图，抛物线 C1： x2=4y，
22、 C2： x2=-2py(p 0)，点 M(x0， y0)在抛物线 C2上，过 M作 C1的切线，切点为 A， B(M 为原点 O 时， A， B 重合于 O)，当 x0=1- 时，切线 MA 的斜率为 - . ( )求 P 的值； ( )当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N的轨迹方程 (A， B 重合于 O 时，中点为 O). 解析 ： () 利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由 M 在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出 p 值 . () 由题意，可先设出 A， B 两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点 N 的轨迹方程 . 答
23、案： () 因为抛物线 C1： x2=4y 上任意一点 (x， y)的切线斜率为 y= ，且切线 MA 的斜率为 - ，所以 A 点的坐标为 (-1， )，故切线 MA 的方程为 y=- (x+1)+ 因为点 M(1- ， y0)在切线 MA 及抛物线 C2上， 于是 y0=- (2- )+ =- ， y 0=- =- ， 解得 p=2， () 设 N(x， y)， A(x1， )， B(x2， )， x1x 2，由 N 为线段 AB 中点知 x= ，y= = ， 切线 MA， MB 的方程为 y= (x-x1)+ ， ； y= (x-x2)+ ， 由 得 MA， MB 的交点 M(x0， y
24、0)的坐标满足 x0= ， y0= ， 因为点 M(x0， y0)在 C2上，即 x02=-4y0，所以 x1x2=- ， 由 得 x2= y， x0 ， 当 x1=x2时， A， B 丙点重合于原点 O， A， B 中点 N为 O，坐标满足 x2= y， 因此中点 N 的轨迹方程为 x2= y. 21.(12 分 )已知函数 f(x)=(1+x)e-2x， g(x)=ax+ +1+2xcosx，当 x 0， 1时， (I)求证： ； (II)若 f(x)g (x)恒成立，求实数 a 的取值范围 . 解析 ： (I) 当 x 0， 1)时， (1+x)e-2x1 -x(1+x)e-x(1 -x
25、)ex，令 h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex，利用导数得到 h(x)的单调性即可证明； 当 x 0， 1)时， ex1+x ，令 u(x)=ex-1-x，利用导数得出 h(x)的单调性即可证明 . (II)利用 (I)的结论得到 f(x)1 -x，于是 G(x)=f(x)-g(x)= .再令 H(x)= ，通过多次求导得出其单调性即可求出 a 的取值范围 . 答案： (I) 当 x 0， 1)时， (1+x)e-2x1 -x(1+x)e-x(1 -x)ex， 令 h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex，则 h(x)=x(e x-e-x). 当 x 0， 1)时， h(x)0 ，
26、h(x) 在 0， 1)上是增函数， h(x)h(0)=0 ，即 f(x)1 -x. 当 x 0， 1)时， ex1+x ，令 u(x)=ex-1-x，则 u(x)=e x-1. 当 x 0， 1)时， u(x)0 ， u(x) 在 0， 1)单调递增， u(x)u(0)=0 ， f(x) . 综上可知： . (II)设 G(x)=f(x)-g(x)= = . 令 H(x)= ，则 H(x)=x -2sinx， 令 K(x)=x-2sinx，则 K(x)=1 -2cosx. 当 x 0， 1)时 ， K(x) 0， 可得 H(x) 是 0， 1)上的减函数， H(x)H(0)=0 ，故 H(x
27、)在 0， 1)单调递减， H(x)H(0)=2.a+1+H(x)a+3. 当 a -3 时， f(x)g(x) 在 0， 1)上恒成立 . 下面证明当 a -3 时， f(x)g(x) 在 0， 1)上不恒成立 . f(x)-g(x) = =-x . 令 v(x)= = ，则 v(x)= . 当 x 0， 1)时， v(x)0 ，故 v(x)在 0， 1)上是减函数， v(x) (a+1+2cos1， a+3. 当 a -3 时， a+3 0. 存在 x0 (0， 1)，使得 v(x0) 0，此时， f(x0) g(x0).即 f(x)g(x) 在 0， 1)不恒成立 . 综上实数 a 的取
28、值范围是 (- ， -3. 请考生在 21、 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.(10 分 )选修 4-1：几何证明选讲 如图， AB 为 O 直径，直线 CD 与 O 相切与 E， AD 垂直于 CD 于 D， BC 垂直于 CD 于 C， EF垂直于 F，连接 AE， BE.证明： (I)FEB=CEB ； (II)EF2=AD BC. 解析 ： (1)直线 CD 与 O 相切于 E，利用弦切角定理可得 CEB=EAB. 由 AB 为 O 的直径，可得 AEB=90. 又 EFAB ，利用互余角的关系可得 FEB=EAB ，从而得证 . (2)利用 (
29、1)的结论及 ECB=90=EFB 和 EB 公用可得 CEBFEB ，于是 CB=FB.同理可得ADEAFE ， AD=AF.在 RtAEB 中，由 EFAB ，利用射影定理可得 EF2=AFFB. 等量代换即可 . 答案： (1) 直线 CD 与 O 相切于 E， CEB=EAB. AB 为 O 的直径， AEB=90.EAB +EBA=90. EFAB ， FEB+EBF=90.FEB=EAB.CEB=EAB. (2)BCCD ， ECB=90=EFB ， 又 CEB=FEB ， EB 公用 .CEBFEB.CB=FB. 同理可得 ADEAFE ， AD=AF. 在 RtAEB 中， E
30、FAB ， EF 2=AFFB.EF 2=ADCB. 23.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系 .圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 =4sin ， cos ( )=2 . ( )求 C1与 C2交点的极坐标； ( )设 P 为 C1的圆心， Q为 C1与 C2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为(t R 为参数 )，求 a， b 的值 . 解析 ： (I)先将圆 C1，直线 C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可； (II)由 (I)得， P与 Q点的坐标分别为 (0， 2)， (1， 3)，从而直线 PQ
31、的直角坐标方程为 x-y+2=0，由参数方程可得 y= x- +1，从而构造关于 a， b 的方程组，解得 a， b 的值 . 答案： (I)圆 C1，直线 C2的直角坐标方程分别为 x2+(y-2)2=4， x+y-4=0， 解 得 或 ， C 1与 C2交点的极坐标为 (4， ).(2 ， ). (II)由 (I)得， P 与 Q 点的坐标分别为 (0， 2)， (1， 3)， 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0， 由参数方程可得 y= x- +1， ，解得 a=-1， b=2. 24.已知函数 f(x)=|x-a|，其中 a 1 (1)当 a=2 时，求不等式 f(x)4 -
32、|x-4|的解集； (2)已知关于 x 的不等式 |f(2x+a)-2f(x)|2 的解集 x|1x2 ，求 a 的值 . 解析 ： (1)当 a=2 时， f(x)4 -|x-4|可化为 |x-2|+|x-4|4 ，直接求出不等式 |x-2|+|x-4|4的解集即可 . (2)设 h(x)=f(2x+a)-2f(x)，则 h(x)= .由 |h(x)|2 解得，它与 1x2 等价，然后求出 a 的值 . 答案： (1)当 a=2 时， f(x)4 -|x-4|可化为 |x-2|+|x-4|4 ， 当 x2 时，得 -2x+64 ，解得 x1 ； 当 2 x 4 时，得 24 ，无解； 当 x4 时，得 2x-64 ，解得 x5 ；故不等式的解集为 x|x5 或 x1. (2)设 h(x)=f(2x+a)-2f(x)，则 h(x)= 由 |h(x)|2 得 ， 又已知关于 x 的不等式 |f(2x+a)-2f(x)|2 的解集 x|1x2 ，所以 ，故 a=3.
