1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （辽宁卷） 数 学 （ 供理科考生使用 ） 注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。 第 I卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
2、的 . （ 1）复数的 的 模为 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 2）已知集合 A B C D （ 3）已知点 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 4）下面是关于公差 的等差数列 的四个命题： 其中的真命题为 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为 若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 11Z i 12 22 2 2 4| 0 l o g 1 , | 2A x x B x x A B ， 则 01， 02， 1,2 12， 1 , 3 , 4 , 1 ,A B A B 则 与
3、 向 量 同 方 向 的 单 位 向 量 为3455， -4355， -3455，4355，0d na 1 : npa数 列 是 递 增 数 列 ； 2 : np n a数 列 是 递 增 数 列 ；3 : nap n数 列 是 递 增 数 列 ； 4 :3np a n d数 列 是 递 增 数 列 ；12,pp 34,pp 23,pp 14,pp 2 0 , 4 0 , 4 0 , 6 0 , 6 0 , 8 0 , 8 0 , 1 0 0 . （ A） （ B） （ C） （ D） （ 6） 在 ， 内 角 所对的边长分别为 A B C D （ 7）使得 A B C D （ 8） 执行如图
4、所示的程序框图， 若 输入 A B C D （ 9）已知点 A B C D 45 5055 60ABC ,ABC , , .abc 1s i n c o s s i n c o s ,2a B C c B A b,a b B 且 则6 3 23 56 13 nx n N nxx 的 展 开 式 中 含 有 常 数 项 的 最 小 的 为4 5 6 71 0 ,nS则 输 出 的511 1011 3655 7255 30 , 0 , 0 , , , . ,O A b B a a O A B若 为 直 角 三 角 形 则 必 有3ba 3 1baa 33 1 0b a b a a 33 1 0b
5、a b a a （ 10）已知三棱柱 A B C D （ 11）已知函数 设表示 中的较大值， 表示 中的较小值，记 得最小值为 得最小值为 ,则 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 12）设函数 （ A） 有极大值，无极小值 （ B） 有极小值，无极大值 （ C） 既有极大值又有极小值 （ D） 既无极大值也无极小值 第 II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题 -第 22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22题 -第 24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分 . （ 13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 1 1
6、 1 6 . 3 4A B C A B C O A B A C 的 个 顶 点 都 在 球 的 球 面 上 若 ， ，,AB AC 1 12A A O ， 则 球 的 半 径 为3 172 2 10 132 3 10 2 2 2 22 2 , 2 2 8 .f x x a x a g x x a x a 12m a x , , m i n , , m a x ,H x f x g x H x f x g x p q,pq min ,pq ,pq 1Hx ,A 2Hx BAB16 162 2 16aa 2 2 16aa 22 2 , 2 , 0 ,8xeef x x f x x f x f x
7、f xx 满 足 则 时 ， （ 14）已知等比数列 . （ 15） 已知椭圆 的左焦点为 . （ 16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据 .已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 . 三、解答题 ： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分 12 分） 设向量 （ I） 若 （ II） 设函数 18（本小题满分 12 分） 如图， （ I） 求证： （ II） 19（本小题满分 12 分） 现有 10 道题，其中 6 道甲类题， 4道乙类题，张同学从中任取
8、 3道题解答 . （ I） 求张同学至少取到 1道乙类题的概率； （ II） 已知所取的 3道题中有 2道甲类题， 1道乙类题 .设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是 ， 且各题答对与否相互独立 .用 表示张同学答对题的个数，求 的分布列和数学期望 . 20（本小题满分 12 分） 如图，抛物线 13n n na S a n a a是 递 增 数 列 , 是 的 前 项 和 . 若 ， 是 方 程2 65 4 0x x S 的 两 个 根 ， 则22: 1 ( 0 )xyC a bab ,FC 与 过 原 点 的 直 线 相 交 于,AB两 点 ， 4, . 1 0 , 6
9、, c o s A B F ,5A F B F A B A F C e 连 接 若 则 的 离 心 率 = 3 s i n , s i n , c o s , s i n x , 0 , .2a x x b x x .a b x 求 的 值 ； ,.f x a b f x 求 的 最 大 值.A B P A C是 圆 的 直 径 ， 垂 直 圆 所 在 的 平 面 ， 是 圆 上 的 点P A C P B C平 面 平 面 ；2.A B A C P A C P B A 若 ， 1 ， 1 ， 求 证 ： 二 面 角 的 余 弦 值35 45 XX 221 2 0 0 2: 4 , : 2 0
10、. ,C x y C x p y p M x y C 点 在 抛 物 线 上 ， （ I） ； （ II） 21（本小题满分 12 分） 已知函数 （ I） 求证： （ II） 若 取值范围 . 请考生在第 22、 23、 24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22（本小题满分 10 分） 选修 4-1：几何证明选讲 如图， （ I） （ II） 23（本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中以 为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系 .圆 ，直线 的极坐标方程分别为 . （ I） （
11、 II）24（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （ I） （ II） 1MC过 作 0, , . 1 2A B M O A B O x 的 切 线 ， 切 点 为 为 原 点 时 ， 重 合 于 当 时 ，1-.2MA切 线 的 斜 率 为P求 的 值2M C A B N当 在 上 运 动 时 ， 求 线 段 中 点 的 轨 迹 方 程 , , .A B O O重 合 于 时 中 点 为 321 , 1 2 c o s . 0 , 12x xf x x e g x a x x x x 当 时 ， 11 - ;1x f x x f x g x 恒 成 立 ，a求 实 数
12、 的.A B O C D O E A D C D D为 直 径 ， 直 线 与 相 切 于 垂 直 于 于 ，BC垂 直 于,.C D C E F F A E B E于 ， 垂 直 于 ， 连 接 证 明 ：;F E B C E B 2 .E F A D B Cxoy O x 1C 2C4 s i n , c o s 2 24 12CC求 与 交 点 的 极 坐 标 ；1 1 2P C Q C C P Q设 为 的 圆 心 ， 为 与 交 点 连 线 的 中 点 ， 已 知 直 线 的 参 数 方 程 为 33 , , .12x t at R a bbyt 为 参 数 求 的 值 , 1 .f
13、 x x a a 其 中 = 2 4 4 ;a f x x 当 时 ， 求 不 等 式 的 解 集 2 2 2 | 1 2 ,x f x a f x x x 已 知 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为.a求 的 值 参考答案 评分说明： 1. 本解答给出了一中或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分参考制定相应的评分细则 . 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影像的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答应的分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不在给分 . 3. 解答右端所注
14、分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 . 4. 只给整数分数 . 一、 选择题 （ 1） B (2)D (3) A (4) D (5) B (6) A (7) B (8)A (9) C (10) C (11) B (4) D 二、 填空题 （ 13） 16 -16 （ 14） 63 （ 15） （ 16） 10 三、解答题 （ 17）解： （ I）由 ， ， 及 又 ，所以 . （ II） = . 当 572 2 2 2( 3 s i n ) ( s i n ) 4 s i na x x x 2 22( c o s ) ( s i n ) 1b x x 2, 4 s i n 1a b x
15、得1 0 , , s i n22xx从 而6x 2( ) 3 s i n c o s s i nf x a b x x x 3 1 1 1s i n 2 c o s 2 s i n ( 2 )2 2 2 6 2x x x 0 . s i n 2 - 1 .3 2 6xx 时 ， （ ） 取 最 大 值 所以 （ 18）解： （ I） 由 AB 式圆的直径，得 ACBC、 由 PA平面 ABC、 BC平面 ABC、得 PABC. 又 PAAC=A,PA平面 PAC， AC平面 PAC， 所以 BC平面 PAC. 因为 BC平面 PBC. 所以平面 PBC平面 PAC. （ II）（解法一） 过
16、C 作 CM/AP,则 CM平面 ABC. 如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 CB、 CA、 CM 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角标系 因为 AB=2、 AC=1、所以 A(0、 1、 0）、 B（ 、 P（ 0、 1、 1） 故 = . 设平面 BCP 的法向量为 . 不妨令 y=1.则 n =（ 0、 1、 -1） . 因为 3( ) .2fx的 最 大 值 为3 0 0、 、 ）CP 3 0 0 = 0 1 1CP、 、 ） ， （ 、 、 ）1 =)x y z （ 、 、110,0,C B nC B n 则3 0 .0.xyz 所 以1( 0 0 1 = 3 - 1
17、0A P A B 、 、 ） 、 （ ， 、 ） 设平面 ABP 的法向量为 . 则 ,所以 不妨令 x=1、则 . 于是 cos= , 所以由题意可知二面角 C-PB-A 的余弦值为 . 过 C 作 CMAB 于 M、 因为 PA平面 ABC、 CM平面 ABC. 所以 PACM. 故 CM平面 PAB. 过 M 作 MNPB 于 N，链接 NC. 由三垂线定理得 CNPB. 所以 CNM 为二面角 C-PB-A 的平面角 . 在 Rt ABC 中，由 AB=2、 AC=1、得 在 Rt PAB 中 ,由 AB=2、 PA=1、得 PB= . 因为 Rt BNM Rt BAP,所以 又在 R
18、t CNM 中， CN= ，故 cos CNM= . 所以二面角 C-PB-A 的余弦值为 . （ 19） 解： （ I)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题，则有 =”张同学所取的 3 道题都是甲类题“ . ，所以 . 2 =nx（ 、 y、 z）220,0,AP nAB n 0.3 0 .zxy2 (1 3 0n 、 、 ）12nn、 3642264333 , = .22B C C M B M、53352 .1 1 05MN ， 故 MN=305 6464A3103101()6CPAC因 为5( ) 1 ( ) 6P A P A (II)X 所有的可能取值为 0、 1、
19、 2、 3. ; ; ; . 所以 E（ X)=0 +1 +2 . (20)解： （ 1） 因为抛物线 上任意一点（ x,y)的切线斜率为 ，且切线 MA 的斜率为 - ，所以 A 点坐标为（ -1， ）。故切线 MA 的方程为 . 因为点 M 在切线 MA 及抛物线 上，于是 ， . 由得 p=2. （ II）设 N（ x,y),A 由 N 为线 AB 中点知 . 切线 MA、 MB 的方程为 0 0 22 3 2 1 4( 0 ) ( ) ( )5 5 5 1 2 5P X C 1 1 1 0 0 2223 2 1 3 2 4 2 8( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5
20、 5 5 1 2 5P X C C 2 2 0 1 1 1223 2 1 3 2 1 4 5 7( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5 5 5 1 2 5P X C C 2 2 02 3 2 4 3 6( 3 ) ( ) ( )5 5 5 1 2 5P X C 4125 28125 5 7 1 3 6321 2 5 1 2 5 21 4C x y： 1 2xy 12 1411( 1 )24yx 0(1 2, )y 2C01 1 3 2 2( 2 2 )2 4 4y 20( 1 2 ) 3 2 222y pp 22121 2 1 2( ) , ( ) , ,44xxx B x
21、x x、12.2xxx 22128xxy X 0 1 2 3 P 14125 28125 57125 36125 由得 MA， MB 的交点 M 的坐标为 . 原 M（ . 由得 当 时， A,B 重合与原点 O,AB 中点 N 为 O，坐标满足 . 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 . （ 21） (I)证明： 要证 x 0,1时， 1- ,需证明 . 当 x（ 0,1）时 (x)0,因此 h(x)在【 0,1】上市增函数，故 h(x) h(0)=0.所以 记 0，因此 K（ x）在 0,1上试增函数，故 K（ x） K(0)=0.所以 . 综上， . （ II）（解法一） 2111()2
22、4xxy x x 2222()24xxy x x 00( , )xy1 2 1 200,24x x x xxy20 0 2 0 0, ) 4 ,x y C x y在 上 ， 即 所 以221212 6xxxx 2 4 , 0 .3x y x12xx 2 43xy2 43xy 2(1 ) xxe x (1 ) xxe (1 ) xxe1( ) ( 1 ) ( 1 ) , ( ) ( )x x x xh x x e x e h x x e e 记 则 ，1h( ) 1 , 0 , 1 f x x x -2 1 0 , 1 1 .1xxx e e xx 要 证 时 ， (1+x) ， 只 需 证 明
23、11( ) 1 , ( ) 1 , ( 0 , 1 ) ( )xxK x e x K x e x K x 则 当 时 ，1( ) , 0 , 1 1f x xx11 ( ) , 0 , 1 1x f x xx ， . 记 H（ x） =x-2sin x,则 H （ x） =1-2cos x,当 x -3 时， 在 0,1上不恒成立 . -3 时， a+30,所以存在 ，使得 0，此时 0，于是 在 0,1上试增函数，因此当 x(0,1)时， G(x)G(0)=0,从而 F(x)在 0,1上是增函数，因此 F(x)F(0)=0,所以 当 x0,1时， 同理可证，当 所以 x . 因为当 x0,1
24、时， . 所以当 a-3 时， 在 0,1上不恒成立 .因为 所以存在 （例如 中的较小值）满足 g ，即在 0,1上不恒成立 . 综上，实数 a 的取值范围是（ -， . 证明： （ I） 由直线 CD 与 O 相切，得 211( ) c o s 1 , ( ) s i n2F x x x F x x x 记 则11( ) s i n , ( ) c o s 1 , ( 0 , 1 ) ( )G x x x G x x x G x 则 当 时 ，()Gx211 c o s2 xx21 0 , 1 c o s 1 4x x x 时 ，2211 0 , 1 , 1 c o s 124x x x
25、时32( ) ( ) ( 1 ) ( 1 2 c o s )2x xf x g x x e a x x x 3 21( 1 ) 1 2 ( 1 )24xx a x x x ( 3)ax ( ) ( )f x g x32( ) ( ) ( 1 ) ( 1 2 c o s )2x xf x g x x e a x x x 3 2111 2 ( 1 )1 2 2xa x x xx 22 ( 3 )12xx axx 32 ( 3 ) 23x x a 0 (0,1)x 0 3132ax 取 和 0()fx 0()x( ) ( )f x g x3.C EB EAB 故 FEB= CEB. (II) （ I
26、） 圆 C 的直角坐标方程为 直线 C 的直角坐标方程为 x+y-4=0. 解 所以 交点的极坐标为 ， 注：极坐标系下点的表示不唯一 . （ II） 由（ I）可得， P 点与 Q 点的直角坐标分别为（ 0,2），（ 1,3） . 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 y= . 所以 解得 , (24)解： （ I）当 a=2 时， 当 . , + =2, , = .2A B O A E E B E A B E B FE F A B F E B E B F F E B E A B 由 为 的 直 径 ， 得 从 而 ；又 得 从 而 , , ,B C C E E
27、F A B F E B C E B B E 由 是 公 共 边 ，,.,R t B C E R t B F E B C B FR t A D E R t A F E A D A F 得 所 以类 似 可 证 得22, = ,.R t A E B E F A B E F A F B FE F A D B C 又 在 中 ， 故 所 以1 22( 2 ) 4 ,xy 222( 2 ) 440xyxy 110,4,xy得 222.2.xy12CC与 4 2（ ， ） (2 2, ).4122b abx 1,21 2,2bab 1, 2ab 2 6 , 2 ,( ) 4 2 , 2 4 ,2 6 ,
28、4 .xxf x x xxx 2 ( ) 4 4 - 2 x + 6 4 , x 1 ;x f x x 时 ， 由 得 解 得2 x 4 ( ) 4 44 , ( ) 4 4 2 6 4 , 5 ;f x xx f x x x x 当 时 ， 无 解 ；当 时 由 得 解 得( ) 4 4f x x 所 以 的 解 集 为 15x x x或 (II)记 于是 a=3 2 , 0 ,( ) ( 2 ) 2 ( ) , ( ) 4 2 , 0 ,2 , .axh x f x a f x h x x a aa x a 则 x 11( ) 2 , .22( ) 2 1 2 ,aah x xh x x x 由 解 得又 已 知 的 解 集 为1 1,21 2,2aa 所 以
