1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学文 一 .选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分 .在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )已知全集 U=1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， B=2， 3，则 CU(AB )=( ) A. 1， 3， 4 B. 3， 4 C. 3 D. 4 解析 ： A=1 ， 2， B=2， 3， AB=1 ， 2， 3， 全集 U=1， 2， 3， 4， CU(AB)=4. 答案： D 2.(5 分 )命题 “ 对任意 x R，都有 x20” 的否定为 ( ) A. 存在 x0 R，使得
2、x02 0 B. 对任意 x R，使得 x2 0 C. 存在 x0 R，都有 D. 不存在 x R，使得 x2 0 解析 ： 根据全称命题的否定是特称命题可得： 命题 “ 对任意 x R，都有 x20” 的否定为 “ x0 R，使得 ”. 答案： A. 3.(5 分 )函数 的定义域为 ( ) A. (- ， 2) B. (2， +) C. (2， 3)(3 ， +) D. (2， 4)(4 ， +) 解析 ： 要使原函数有意义，则 ，解得： 2 x 3，或 x 3， 所以原函数的定义域为 (2， 3)(3 ， +). 答案： C. 4.(5 分 )设 P 是圆 (x-3)2+(y+1)2=4
3、 上的动点， Q 是直线 x=-3 上的动点，则 |PQ|的最小值为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析 ： 过圆心 A 作 AQ 直线 x=-3，与圆交于点 P，此时 |PQ|最小， 由圆的方程得到 A(3， -1)，半径 r=2，则 |PQ|=|AQ|-r=6-2=4. 答案： B 5.(5 分 )执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： s=1+(1-1)2=1，不满足判断框中的条件， k=2， s=1+(2-1)2=2，不满足判断框中的条件， k=3， s=2+(3-1)2=6，不满足判断框中的条件， k=4
4、， s=6+(4-1)2=15，不满足判断框中的条件， k=5， s=15+(5-1)2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输出 的结果为 k=5 答案： C 6.(5 分 )如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量 (单位：台 )的茎叶图，则数据落在区间 22， 30)内的概率为 ( ) A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 解析 ： 由茎叶图 10 个原始数据，数据落在区间 22， 30)内的共有 4 个， 则数据落在区间 22， 30)内的概率为 =0.4. 答案： B. 7.(5 分 )关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2 0(a 0)的解集为 (x1，
5、x2)，且： x2-x1=15，则 a=( ) A. B. C. D. 解析 ： 因为关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2 0(a 0)的解集为 (x1， x2)， 所以 x1+x2=2a ， x1x 2=-8a2 ，又 x2-x1=15 ， 2-4 可得 (x2-x1)2=36a2，代入 可得， 152=36a2，解得 a= = ， 因为 a 0，所以 a= . 答案： A. 8.(5 分 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A. 180 B. 200 C. 220 D. 240 解析 ： 由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为 10； 其底面是一个等腰梯
6、形，上下边分别为 2， 8，高为 4. S 表面积 =2 (2+8)4+2510+210+810=240. 答案： D. 9.(5 分 )已知函数 f(x)=ax3+bsinx+4(a， b R)， f(lg(log210)=5，则 f(lg(lg2)=( ) A. -5 B. -1 C. 3 D. 4 解析 ： lg(log 210)+lg(lg2)=lg1=0， lg(log 210)与 lg(lg2)互为相反数 则设 lg(log210)=m，那么 lg(lg2)=-m 令 f(x)=g(x)+4，即 g(x)=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故 g(-m)=-g(m)， f(m
7、)=g(m)+4=5 ， g(m)=1， f( -m)=g(-m)+4=-g(m)+4=3. 答案： C. 10.(5 分 )设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成的角为 60 的直线A1B1和 A2B2，使 |A1B1|=|A2B2|，其中 A1、 B1和 A2、 B2分别是这对直线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在 x 轴的情形 . 因为有且只有一对相交于点 O、所成的角为 60 的直线 A1B1和 A2B2， 所以直线 A1B1和 A2B2，关
8、于 x 轴对称，并且直线 A1B1和 A2B2，与 x 轴的夹角为 30 ，双曲线的渐近线与 x 轴的夹角大于 30 且小于等于 60 ，否则不满足题意 . 可得 ，即 ， ，所以 e . 同样地，当 ，即 ，所以 e2. 所以双曲线的离心率的范围是. 答案： A. 二 .填空题：本大题共 5 小题，考生作答 5小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11.(5 分 )已知复数 z=1+2i(i 是虚数单位 )，则 |z|= . 解析 ： 复数 z=1+2i(i 是虚数单位 )，则 |z|= = . 答案： . 12.(5 分 )若 2、 a、 b、 c、 9 成等差数列，则 c-a= . 解
9、析 ： 由等差数列的性质可得 2b=2+9，解得 b= ， 又可得 2a=2+b=2+ = ，解之可得 a= ， 同理可得 2c=9+ = ，解得 c= ，故 c-a= - = = 答案： 13.(5 分 )若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 . 解析 ： 记甲、乙两人相邻而站为事件 A， 甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有 =6， 则甲、乙两人相邻而站的战法有 =4 种站法 ， = . 答案： 14.(5 分 )OA 为边， OB 为对角线的矩形中， ， ，则实数k= . 解析 ： 由于 OA 为边， OB 为对角线的矩形中， OAAB ， =0， 即 = =
10、(-3， 1)( -2， k)-10=6+k-10=0，解得 k=4， 答案： 4. 15.(5 分 )设 0 ，不等式 8x2-(8sin )x+cos20 对 x R 恒成立，则 的取值范围为 . 解析 ： 由题意可得， =64sin 2 -32cos20 ， 得 2sin2 -(1-2sin2)0 ， sin 2 ， - sin ， 0 ， 0， ， . 答案： 0， ， . 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.(12 分 )如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率 ，过左焦点 F1作 x轴的垂线交椭圆于 A、
11、A 两点， |AA|=4 . ( )求该椭圆的标准方程； ( )取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P、 P ，过 P、 P 作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外 .求 PPQ 的面积 S 的最大值，并写出对应的圆 Q 的标准方程 . 解析 ： () 设椭圆方程为 ，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得 y=，则 ，又 ， a2=b2+c2 ，联立 可求得 a， b； () 设 Q(t， 0)(t 0)，圆的半径为 r，直线 PP 方程为： x=m(m t)，则圆 Q 的方程为：(x-t)2+y2=r2，联立圆与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程，则 =0 ，易求 P点坐标
12、，代入圆的方程得等式 ，由 消掉 r得 m=2t，则 ，变为关于 t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时 t值，由对称性可得圆心 Q在 y轴左侧的情况； 答案： () 设椭圆方程为 ， 左焦点 F1(-c， 0)，将横坐标 -c 代入椭圆方程，得 y= ， 所以 ， ， a2=b2+c2 ，联立 解得 a=4， ， 所以椭圆方程为： ； () 设 Q(t， 0)(t 0)，圆的半径为 r，直线 PP 方程为： x=m(m t)， 则圆 Q 的方程为： (x-t)2+y2=r2，由 得 x2-4tx+2t2+16-2r2=0， 由 =0 ，即 16t2-4(2t2+16-2r2)=0，得 t
13、2+r2=8， 把 x=m 代入 ，得 ， 所以点 P 坐标为 (m， )，代入 (x-t)2+y2=r2，得 ， 由 消掉 r2得 4t2-4mt+m2=0，即 m=2t， = (m -t)= t= =2 ， 当且仅当 4-t2=t2即 t= 时取等号， 此时 t+r= + 4，椭圆上除 P、 P 外的点在圆 Q 外， 所以 PPQ 的面积 S 的最大值为 ，圆 Q 的标准方程为： . 当圆心 Q、直线 PP 在 y轴左侧时，由对称性可得圆 Q的方程为 ， PPQ的面积 S 的最大值仍为为 . 17.(13 分 )设数列 an满足： a1=1， an+1=3an， n N+. ( )求 an
14、的通项公式及前 n 项和 Sn； ( )已知 bn是等差数列， Tn为前 n 项和，且 b1=a2， b3=a1+a2+a3，求 T20. 解析 ： () 可得数列 an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案； () 可得 b1=3， b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案 . 答案： () 由题意可得数列 an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，故可得 an=13 n-1=3n-1， 由求和公式可得 Sn= = ； () 由题意可知 b1=a2=3， b3=a1+a2+a3=1+3+9=13， 设数列 bn的公差为 d，可得 b3-b1=10=2d，
15、解得 d=5， 故 T20=203+ =1010. 18.(13 分 )从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位：千元 )与月储蓄 yi(单位：千元 )的数据资料，算得 ， ， ，. ( )求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a； ( )判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； ( )若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄 . 附：线性回归方程 y=bx+a 中， ， ，其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为 . 解析 ： () 由题意可知 n， ， ，进而可得 ， ，代入可得 b值，进而可得 a 值，可得方程
16、； () 由回归方程 x 的系数 b 的正负可判； () 把 x=7 代入回归方程求其函数值即可 . 答案： () 由题意可知 n=10， = = =8， = = =2， 故 =720-108 2=80， =184-1082=24 ， 故可得 b= = =0.3， a= =2-0.38= -0.4， 故所求的回归方程为： y=0.3x-0.4； () 由 () 可知 b=0.3 0，即变量 y 随 x 的增加而增加，故 x 与 y 之间是正相关； () 把 x=7 代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为 y=0.37 -0.4=1.7(千元 ) 19.(13 分 )在 ABC 中，内角 A、 B、
17、 C 的对边分别是 a、 b、 c，且 a2=b2+c2+ bc. ( )求 A； ( )设 a= ， S 为 ABC 的面积，求 S+3cosBcosC 的最大值，并指出此时 B 的最值 . 解析 ： () 由余弦定理表示出 cosA，将依照等式变形后代入求出 cosA 的值，由 A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数； () 由 () 求出 sinA 的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出 S，代入已知等式中提取 3 变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出 S+3cosBcosC 的最大值，以及此时 B
18、 的值 . 答案： () 由余弦定理得： cosA= = =- ， A 为三角形的内角， A= ； () 由 () 得 sinA= ，由正弦定理得： b= ， csinA=asinC 及 a= 得： S= bcsinA= asinC=3sinBsinC ， 则 S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C)， 则当 B-C=0，即 B=C= = 时， S+3cosBcosC 取最大值 3. 20.(12 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA 底面 ABCD， PA=2 ， BC=CD=2， ACB=ACD= . ( )求证： BD 平面 PAC；
19、( )若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC，求三棱锥 P-BDF 的体积 . 解析 ： () 由等腰三角形的性质可得 BDAC ，再由 PA 底面 ABCD，可得 PABD. 再利用直线和平面垂直的判定定理证明 BD 平面 PAC. () 由侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC，可得三棱锥 F-BCD 的高是三棱锥 P-BCD 的高的 .求出 BCD 的面积 SBCD ，再根据三棱锥 P-BDF 的体积 V=VP-BCD-VF-BCD= -，运算求得结果 . 答案： ()BC=CD=2 ， BCD 为等腰三角形，再由 ， BDAC. 再由 PA 底面 ABCD，可得 PABD.
20、而 PAAC=A ，故 BD 平面 PAC. () 侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC， 三棱锥 F-BCD 的高是三棱锥 P-BCD 的高的 . BCD 的面积 SBCD = BCCDsinBCD= = . 三棱锥 P-BDF 的体积 V=VP-BCD-VF-BCD= - = = = . 21.(12 分 )某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 ).设该蓄水池的底面半径为 r米，高为 h 米，体积为 V 立方米 .假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为 100元 /平方米，底面的建造成本为 160 元 /平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000 元 ( 为圆周率
21、). ( )将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； ( )讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 . 解析 ： (I)由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为 12000 元，构造方程整理后，可将 V 表示成 r 的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域； () 根据 (I)中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点 . 答案： () 蓄水池的侧面积的建造成本为 200rh 元， 底面积成本为 160r 2元， 蓄水池的总建造
22、成本为 200rh+160r 2元 ， 即 200rh+160r 2=12000 ， h= (300-4r2)， V(r)=r 2h=r 2 (300-4r2)= (300r-4r3)， 又由 r 0， h 0 可得 0 r 5 ， 故函数 V(r)的定义域为 (0， 5 ). () 由 () 中 V(r)= (300r-4r3)， (0 r 5 )， 可得 V(r)= (300-12r2)， (0 r 5 )， 令 V(r)= (300-12r2)=0，则 r=5， 当 r (0， 5)时， V(r) 0，函数 V(r)为增函数 ， 当 r (5， 5 )时， V(r) 0，函数 V(r)为减函数 ， 且当 r=5， h=8 时该蓄水池的体积最大 .
