1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (陕西卷 )数学文 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 (本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分 ) 1.(5分 )设全集为 R，函数 f(x)= 的定义域为 M，则RCM为 ( ) A. (- ， 1) B. (1， + ) C. (- ， 1 D. 1， + ) 解 析 ：由 1-x0 ，得 x1 ，即 M=(- ， 1， 又全集为 R，所以RCM=(1， + ). 答案： B. 2.(5 分 )已知向量 =(1， m)， =(m， 2)，若 ，则实数 m 等于 ( ) A. - B. C. - 或 D. 0 解
2、析 ： =(1， m)， =(m， 2)，且 ，所以 12=mm ，解得 m= 或 m= . 答案： C. 3.(5 分 )设 a， b， c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是 ( ) A. logablog cb=logca B. logablog ca=logcb C. logabc=logablog ac D. loga(b+c)=logab+logac 解 析 ： 对于 A， logablog cb=logca ，与换底公式矛盾，所以 A 不正确； 对于 B， logablog aa=logab， ，符合换底公式，所以正确； 对于 C， logabc=logablog
3、ac，不满足对数运算公式 loga(xy)=logax+logay(x、 y 0)，所以不正确； 对于 D， loga(b+c)=logab+logac，不满足 loga(xy)=logax+logay(x、 y 0)，所以不正确； 答案： B. 4.(5 分 )根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为 ( ) A. 25 B. 30 C. 31 D. 61 解 析 ： 分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出分段函数 y= 的函数值 . 当 x=60 时，则 y=25+0.6(60-50)=31， 答案： C. 5.(5
4、分 )对一批产品的长度 (单位： mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图 .根据标准，产品长度在区间 20， 25)上的为一等品，在区间 15， 20)和区间 25， 30)上的为二等品，在区间 10， 15)和 30， 35)上的为三等品 .用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为 ( ) A. 0.09 B. 0.20 C. 0.25 D. 0.45 解 析 ： 设长度在 25， 30)内的频率为 a， 根据频率分布直方图得： a+50.02+50.06+50.03=1 a=0.45. 则根据频率分布直方图估计从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率
5、为 0.45. 答案： D. 6.(5 分 )设 z 是复数，则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若 z20 ，则 z 是实数 B. 若 z2 0，则 z 是虚数 C. 若 z 是虚数，则 z20 D. 若 z 是纯虚数，则 z2 0 解 析 ： 设 z=a+bi， a， b R， z2=a2-b2+2abi， 对于 A， z20 ，则 b=0，所以 z 是实数，真命题； 对于 B， z2 0，则 a=0，且 b0 ， z 是虚数；所以 B 为真命题； 对于 C， z 是虚数，则 b0 ，所以 z20 是假命题 . 对于 D， z 是纯虚数，则 a=0， b0 ，所以 z2 0 是真命题；
6、答案： C. 7.(5 分 )若点 (x， y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域，则 2x-y 的最小值为 ( ) A. -6 B. -2 C. 0 D. 2 解 析 ： 画出可行域，如图所示 解得 A(-2， 2)，设 z=2x-y， 把 z=2x-y 变形为 y=2x-z，则直线经过点 A 时 z 取得最小值；所以 zmin=2 (-2)-2=-6， 答案： A. 8.(5 分 )已知点 M(a， b)在圆 O： x2+y2=1 外，则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是 ( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 解 析 ： M (a， b)在圆 x
7、2+y2=1 外， a 2+b2 1， 圆 O(0， 0)到直线 ax+by=1 的距离 d= 1=r， 则直线与圆的位置关系是相交 . 答案： B 9.(5 分 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC+ccosB=asinA，则 ABC的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 解 析 ： 因为 bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理可得： sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA， 所以 sin(B+C)=sin2A，即 sinA=sin2A， A 为三角形内角，所以 sinA=1，
8、 A= . 三角形是直角三角形 . 答案： A. 10.(5 分 )设 x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x， y，有 ( ) A. -x=-x B. x+ =x C. 2x=2x D. x+x+ =2x 解 析 ： 对 A，设 x=-1.8，则 -x=1， -x=2，所以 A 选项为假 . 对 B，设 x=1.8，则 x+ =2， x=1，所以 B 选项为假 . 对 C， x=-1.4，则 2x=-2.8=-3， 2x=-4，所以 C 选项为假 . 故 D 选项为真 . 答案： D. 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共25 分
9、 ) 11.(5 分 )双曲线 的离心率为 _. 解 析 ： 通过双曲线方程求出 a， b， c 的值然后求出离心率即可 . 答案 ： 因为双曲线 ，所以 a=4， b=3，所以 c= ， 所以双曲线的离心率为： e= . 故答案为： . 12.(5 分 )某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 _. 解 析 ：综合三视图可知，几何体是一个半径 r=1 的半个球体 .表面积是底面积与半球面积的和，其表面积 = . 答案 ： 3. 13.(5 分 )观察下列等式： (1+1)=21 (2+1)(2+2)=2213 (3+1)(3+2)(3+3)=23135 照此规律，第 n 个等式可为 _. 解
10、 析 ： 通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第 n 个等式 . 答案 ： 题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第 n 个等式的左边含有 n 项相乘，由括号内数的特点归纳第 n 个等式的左边应为： (n+1)(n+2)(n+3) (n+n)， 每个等式的右边都是 2 的几次幂乘以从 1 开始几个相邻奇数乘积的形式，且 2 的指数与奇数的个数等于左边的括号数， 由此可知第 n 个等式的右边为 2n135 (2n-1). 所以第 n 个等式可为 (n+1)(n+2)(n+3) (n+n)
11、=2n135 (2n-1). 故答案为 (n+1)(n+2)(n+3) (n+n)=2n135 (2n-1). 14.(5 分 )在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园 (阴影部分 )，则其边长 x 为 _(m). 解 析 ： 设矩形高为 y，由三角形相似得： = ，且 x 0， y 0， x 40， y 40， 40=x+y2 ，仅当 x=y=20m 时，矩形的面积 s=xy 取最大值 400m2. 答案 ： 20. 选做题： (考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ) 15.(5 分 )(不等式选做题 ) 设 a， b R， |a-b
12、| 2，则关于实数 x 的不等式 |x-a|+|x-b| 2 的解集是 _. 解 析 ： 函数 f(x)=|x-a|+|x-b|的值域为 (|a-b|， + )， 因此，当 x R 时， f(x)|a -b| 2， 所以不等式 |x-a|+|x-b| 2 的解集是 R. 答案 ： R. 16.(几何证明选做题 ) 如图， AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作 BC的平行线与 AD的延长线相交于点 P.已知 A=C ，PD=2DA=2，则 PE=_. 解 析 ： 利用已知条件判断 EPDAPE ，列出比例关系，即可求解 PE 的值 . 答案 ： 因为 BCPE ， BCD=PED ， 且在圆
13、中 BCD=BAD PED=BAD ， EPDAPE ， PD=2DA=2 PE2=PAPD=32=6 ， PE= . 故答案为： . 17.(坐标系与参数方程选做题 ) 圆锥曲线 (t 为参数 )的焦点坐标是 _. 解 析 ： 由方程 (t 为参数 )得 y2=4x，它表示焦点在 x 轴上的抛物线，其焦点坐标为 (1，0). 答案 ： (1， 0). 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤 (本大题共 6 小题，共 75分 ) 18.(12 分 )已知向量 =(cosx， - )， =( sinx， cos2x)， x R，设函数 f(x)= . ( ) 求 f(x)的最小正周期
14、 . ( ) 求 f(x)在 0， 上的最大值和最小值 . 解 析 ： ( )通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求 f (x)的最小正周期 . ( ) 通过 x 在 0， ，求出 f(x)的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值 . 答案 ： ( )函数 f(x)= =(cosx， - ) ( sinx， cos2x) = sinxcosx =sin(2x- ) 最小正周期为： T= =. ( )当 x 0， 时， 2x- ， 由正弦函数 y=sinx 在 的性质可知， sinx ， sin (2x-
15、) ， f (x) - ， 1， 所以函数 f (x)在 0， 上的最大值和最小值分别为： 1， - . 19.(12 分 )设 Sn表示数列 an的前 n 项和 . ( ) 若 an为等差数列，推导 Sn的计算公式； ( ) 若 a1=1， q0 ，且对所有正整数 n，有 Sn= .判断 an是否为等比数列，并证明你的结论 . 解 析 ： (I)设等差数列的公差为 d，则 an=a1+(n-1)d，可得 a1+an=a2+an-1= ，利用 “ 倒序相加 ”即可得出； (II)利用 an+1=Sn+1-Sn即可得出 an+1，进而得到 an，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列 . 答
16、案 ： ( )设等差数列的公差为 d，则 an=a1+(n-1)d，可得 a1+an=a2+an-1= ， 由 Sn=a1+a2+a n， Sn=an+an-1+a 1. 两等式相加可得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+ (an+a1)， . (II)a 1=1， q0 ，且对所有正整数 n，有 Sn= . a n+1=Sn+1-Sn= =qn. ，可得 (n N*)， 数列 an是以 a1=1 为首项， q1 为公比的等比数列 . 20.(12 分 )如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， A1O 平面 ABCD，AB=AA1= .
17、 ( ) 证明：平面 A1BD 平面 CD1B1； ( ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1的体积 . 解 析 ： ( )由四棱柱的性质可得四边形 BB1D1D 为平行四边形，故有 BD 和 B1D1平行且相等，可得 BD 平面 CB1D1.同理可证， A1B 平面 CB1D1.而 BD和 A1B是平面 A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面 A1BD 平面 CD1B1 . ( ) 由题意可得 A1O 为三棱柱 ABD-A1B1D1的高，由勾股定理可得 A1O= 的值，再根据三棱柱 ABD-A1B1D1的体积 V=SABD A 1O，运算求得结果 . 答案 ： ( ) 四棱
18、柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， A1O 平面 ABCD，AB=AA1= ， 由棱柱的性质可得 BB1 和 DD1平行且相等，故四边形 BB1D1D 为平行四边形，故有 BD 和 B1D1平行且相等 . 而 BD 不在平面 CB1D1内，而 B1D1在平面 CB1D1内， BD 平面 CB1D1. 同理可证， A1BCD1为平行四边形， A1B 平面 CB1D1. 而 BD 和 A1B 是平面 A1BD内的两条相交直线，故有平面 A1BD 平面 CD1B1 . ( ) 由题意可得 A1O 为三棱柱 ABD-A1B1D1的高 .三角形 A1AO 中，由
19、勾股定理可得A1O= = =1， 三棱柱 ABD-A1B1D1的体积 V=SABD A 1O= A 1O= 1=1. 21.(12 分 )有 7 位歌手 (1 至 7 号 )参加一场歌唱比赛，由 500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为 5 组，各组的人数如下： ( ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了 6 人 .请将其余各组抽取的人数填入下表 . ( ) 在 ( )中，若 A， B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率
20、 . 解 析 ： ( )利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数； ( )利用古典概型概率计算公式求出 A， B 两组被抽到的评委支持 1 号歌手的概率，因两组评委是否支持 1 号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人， 2 人都支持 1 号歌手的概率 . 答案 ： ( )按相同的比例从不同的组中抽取人数 . 从 B 组 100 人中抽取 6 人，即从 50人中抽取 3人，从 150人中抽取 6人，填表如下： ( )A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 好歌手，则从 3 人中任选 1 人，支持 1 号歌手的概率为. B
21、组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手，则从 6 人中任选 1 人，支持 1 号歌手的概率为 . 现 从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，则 2 人都支持 1 号歌手的概率 p= . 22.(13 分 )已知动点 M(x， y)到直线 l： x=4 的距离是它到点 N(1， 0)的距离的 2 倍 . ( ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程； ( ) 过点 P(0， 3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A， B 两点 .若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率 . 解 析 ： ( )直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点 M 的轨迹 C 的方程； ( )经分析当直线 m 的斜率不存
22、在时，不满足 A 是 PB 的中点，然后设出直线 m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出 x1+x2， x1x2，结合 2x1=x2得到关于 k 的方程，则直线 m 的斜率可求 . 答案 ： ( )点 M(x， y)到直线 x=4 的距离是它到点 N(1， 0)的距离的 2 倍，则 |x-4|=2 ，即 (x-4)2=4(x-1)2+y2， 整理得 . 所以，动点 M 的轨迹是椭圆，方程为 ； ( )P(0， 3)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 A 是 PB的中点，得 2x1=0+x2， 2y1=3+y2. 椭圆的上下顶点坐标分别是 和 ，经检验直线 m
23、 不经过这两点，即直线 m 的斜率 k 存在 . 设直线 m 的方程为： y=kx+3. 联立 ， 整理得： (3+4k2)x2+24kx+24=0. . 因为 2x1=x2. 则 ，得 ， 所以 . 即 ，解得 . 所以，直线 m 的斜率 . 23.(14 分 )已知函数 f(x)=ex， x R. ( ) 求 f(x)的反函数的图象上的点 (1， 0)处的切线方程； ( ) 证明：曲线 y=f(x)与曲线 y= 有唯一公共点 . ( ) 设 a b，比较 f( )与 的大小，并说明理由 . 解 析 ： (I)先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可； (II)令 h(x)=f(x)- =
24、 ，利用导数研究函数 h(x)的单调性即可得出； (III)设 b-a=t 0，通过作差 -f( )= ，构造函数 g(t)= (t 0)，可得 g (t)= = (t 0).令 h(x)=ex-x-1(x 0)，利用导数研究其单调性即可 . 答案 ： (I)函数 f(x)=ex的反函数为 g(x)=lnx， ， g (1)=1， f (x)的反函数的图象上的点 (1， 0)处的切线方程为 y-0=1 (x-1)，即 y=x-1； ( )令 h(x)=f(x)- = ， 则 h (x)=ex-x-1， h (x)=ex-1， 当 x 0 时， h (x) 0， h (x)单调递增；当 x 0
25、时， h (x) 0， h (x)单调递减， 故 h (x)在 x=0 取得极小值，即最小值， h (x)h (0)=0， 函数 y=h(x)在 R 上单调递增，最多有一个零点， 而 x=0 时，满足 h(0)=0，是 h(x)的一个零点 . 所以曲线 y=f(x) 与曲线 y= 有唯一公共点 (0， 1). ( ) 设 b-a=t 0，则-f( )= = =ea = ， 令 g(t)= (t 0)， 则 g (t)= = (t 0). 令 h(x)=ex-x-1(x 0)， 则 h (x)=ex-1 0， 函数 h(x)在 (0， + )单调递增， h (x) h(0)=0， 因此 g (t) 0， 函数 g(t)在 t 0 时单调递增， g (t) g(0)=0. f( ).
