1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学 注意事项 : 1. 本试卷分为两部分 , 第一部分为选择题 , 第二部分为非选择题 . 2. 考生领到试卷后 , 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息 . 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内 . 考试结束后 , 将本试卷和答题卡一并交回 . 第一部分 (共 50 分 ) 一 、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1. 设全集为 R, 函数 的定义域为 M, 则 为 (A) 1,1 (B) ( 1,1) (
2、C) (D) 2. 根据下列算法语句 , 当输入 x 为 60 时 , 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 3. 设 a, b 为向量 , 则 “ ”是 “a/b”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4. 某单位有 840 名职工 , 现采用系统抽样方法 抽取 42 人做问卷调查 , 将 840 人按 1, 2, , 840 随机编号 , 则抽取的 42 人中 , 编号落入区间 481, 720的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 5. 如图 , 在矩形区域 A
3、BCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站 , 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源 , 基站工作正常 ). 若在该矩形区域内随机地选一地点 , 则该地点 无 信号的概率是 (A) (B) (C) (D) 6. 设 z1, z2 是复数 , 则下列命题中的 假 命题是 (A) 若 , 则 (B) 若 , 则 (C) 若 , 则 (D) 若 , 则 7. 设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 , 则 ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 2( ) 1f
4、x x CMR , 1 1, )( , 1) (1, )( | | | | |aab b1 4 122 2 412| | 0zz 12zz 12z z 12zz12z z 211 2 zz 12z z 2122zzc o s c o s s i nb C c B a A输入 x If x 50 Then y=0.5 * x Elsc y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y. 12DACBEF 8. 设函数 , 则当 x0 时 , 表达式的展开式中常数项为 (A) 20 (B) 20 (C) 15 (D) 15 9. 在如图所示的锐角三角形空地中 , 欲建一个面积不小于 300m
5、2 的内接矩形花园 (阴影部分 ), 则其边长 x(单位 :m)的取值范围是 (A) 15,20 (B) 12,25 (C) 10,30 (D) 20,30 10. 设 x表示不大于 x 的最大整数 , 则对任意实数 x, y, 有 (A) x x (B) 2x 2x (C) x yx y (D) x yx y 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分） 11. 双曲线 的离心率为 , 则 m 等于 . 12. 某几何体的三视图如图所示 , 则其体积为 . 13. 若点 (x, y)位于曲线 与 y 2 所围成的封闭区域 , 则 2x y
6、 的最小值为 . 14. 观察下列等式 : 照此规律 , 第 n 个等式可为 . 15. (考生请注意 :请在下列三题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题 评 分 ) A. (不等式选做题 ) 已知 a, b, m, n 均为正数 , 且 a b 1, mn 2, 则 (am bn)(bm an)的最小值为 . B. (几何证明选做题 ) 如图 , 弦 AB 与 CD 相交于 内一点E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 PD 2DA 2, 则PE . C. (坐标系与参数方程 选做题 ) 如图 , 以 过 原点 的直线的倾斜角 为参数 , 则圆
7、的参数方程为 . 三、解答题 : 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16. (本小题满分 12 分 ) 已知向量 , 设函数 . ( ) 求 f (x)的最小正周期 ； 61,00.,(),xxfx xxx ( )f f x22116xym 54| 1|yx21 1221 2 3 2 2 21 2 632 2 2 21 2 43 10 O22 0yxx 1( c o s , ) , ( 3 s i n , c o s 2 ) ,2x x x x ab R()fxab40mx 40m1121EDOP AB CPOyx ( ) 求 f (x) 在 上的最大
8、值和最小值 . 17. (本小题满分 12 分 ) 设 是公比为 q 的等比数列 . ( ) 推导 的前 n 项和公式 ; ( ) 设 q1, 证明数列 不是等比数列 . 18. (本小题满分 12 分 ) 如图 , 四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O平面 ABCD, . ( ) 证明 : A1C平面 BB1D1D; ( ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小 . 19. (本小题满分 12 分 ) 在一场娱乐晚会上 , 有 5 位民间歌手 (1 至 5 号 )登台演唱 , 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 .
9、 各位观众须彼此独立地在选票上选 3名 歌手 , 其中观众甲是 1号歌手的歌迷 , 他必选 1号 , 不选 2号 , 另在 3 至 5 号中随机选 2 名 . 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱 , 因此在 1至 5 号中随机选 3 名歌手 . ( ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率 ; ( ) X 表示 3 号歌手得到观众甲 、 乙、丙的票数之和 , 求 X 的分布列和数学期望 . 0,2nana 1na 1 2A B A A OD 1B 1C 1DACBA 1 20. (本小题满分 13 分 ) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的
10、长为 8. ( ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; ( ) 已知点 B( 1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 的角平分线 , 证明直线 l 过定点 . 21. (本小题满分 14 分 ) 已知函数 . ( ) 若直线 y kx 1 与 f (x)的反函数的图像相切 , 求实数 k 的值 ; ( ) 设 x0, 讨论曲线 y f (x) 与曲线 公共点的个数 . ( ) 设 a0,2222220444em y m xem y m xem y m x 若 ， 曲 线 y=(x) 与 没 有 公 共 点 ；若 时 ， 曲 线 y=(x)
11、与 有 一 个 公 共 点 ；若 时 ， 曲 线 y=(x) 与 有 两 个 公 共 点 .2( ) ( ) ( ) ( )I I I .2( ) ( ) ( ) ( )22212221 ( ) . ( * )2121 ( 0 ) ,21122 ( 1 )a b b ab a ab a b abaxxxf a f b f b f abaf a f b f b f a e e e eb a b ab a e e b a ee e e ebabaexxeee （ ） 解 法 一 ： 可 以 证 明 事 实 上 ，令 （ x ） =则 （ x ） = 2222( 1 ) 4 ( 1 ) 0 ( 0
12、) .2 ( 1 ) 2 ( 1 )x x xxxe e e xee 仅 当 时 等 号 成 立 0,0x （ x ） 在 上 单 调 递 增 ，时 ， （ x ） （ 0 ） =0.令 x=b-a, 即 得 （ * ） 式 ， 结 论 得 证 . ( ) ( ) ( ) ( )22222 ( )( ) ( ) 2 2 ,2 ( )( ) 2 2 ( 0 ) , ( ) 1 2 , 2 0 ( 0 )b a b ab a b a b aab a b axxx x xx x x x xf a f b f b f abae e e ebab e b e a e a e e ebaeb a e b a ebax x e x e xx e x e ex x x e e x e e x e x 解 法 二设 函 数则令 h = , 则 h = 仅 当 时 等 号 成 立 ， ( )0 ( ) ( 0 ) 0 , ( )0 ( ) ( 0 ) 0 ., ( ) ( ) 2 2 0 ,0,2( ) ( ) ( ) ( ),.2b a b ab a b axx x xxxx b a b a e b a ee e e ebaf a f b f b f aba 单 调 递 增 ，当 时 , 单 调 递 增 .当 时 ,令 则 得因 此
