2013年湖北省荆州市中考真题数学.docx

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1、2013 年湖北省荆州市中考真题数学 一 .选择题: 1.(3 分 )下列等式成立的是 ( ) A. |-2|=2 B. ( -1)0=0 C. (- )-1=2 D. -(-2)=-2 解析: A、 |-2|=2,计算正确,故本选项正确; B、 ( -1)0=1,原式计算错误,故本选项错误; C、 (- )-1=-2,原式计算错误,故本选项错误; D、 -(-2)=2,原式计算错误,故本选项错误; 答案: A. 2.(3 分 )如图, ABCD , ABE=60 , D=50 ,则 E 的度数为 ( ) A. 30 B. 20 C. 10 D. 40 解析: ABCD , CFE=ABE=6

2、0 , D=50 , E=CFE -D=10. 答案: C. 3.(3 分 )解分式方程 时,去分母后可得到 ( ) A. x(2+x)-2(3+x)=1 B. x(2+x)-2=2+x C. x(2+x)-2(3+x)=(2+x)(3+x) D. x-2(3+x)=3+x 解析: 方程两边都乘以 (3+x)(2+x),则 x(2+x)-2(3+x)=(2+x)(3+x). 答案: C. 4.(3 分 )计算 的结果是 ( ) A. + B. C. D. - 解析: 原式 =4 +3 -2 = . 答案: B. 5.(3 分 )四川雅安发生地震灾害后,某中学九 (1)班学生积极捐款献爱心,如图

3、是该班 50 名学生的捐款情况统计,则他们捐款金额的众数和中位数分别是 ( ) A. 20, 10 B. 10, 20 C. 16, 15 D. 15, 16 解析: 10 出现了 16 次,出现的次数最多, 他们捐款金额的众数是 10; 共有 50 个数, 中位数是第 25、 26 个数的平均数, 中位数是 (20+20)2=20 ; 答案: B. 6.(3 分 )如图,在 ABC 中, BC AC,点 D 在 BC 上,且 DC=AC, ACB 的平分线 CE交 AD 于E,点 F 是 AB 的中点,则 SAEF : S 四边形 BDEF为 ( ) A. 3: 4 B. 1: 2 C. 2

4、: 3 D. 1: 3 解析: DC=AC , ADC 是等腰三角形, ACB 的平分线 CE 交 AD 于 E, E 为 AD 的中点 (三线合一 ), 又 点 F 是 AB 的中点, EF 为 ABD 的中位线, EF= BD, AFEABD , S AFE : SABD =1: 4, S AFE : S 四边形 BDEF=1: 3, 答案: D. 7.(3 分 )体育课上, 20 人一组进行足球比赛,每人射点球 5 次,已知某一组的进球总数为49 个,进球情况记录如下表,其中进 2 个球的有 x 人,进 3 个球的有 y 人,若 (x, y)恰好是两条直线的交点坐标,则这两条直线的解析式

5、是 ( ) A. y=x+9 与 y= x+ B. y=-x+9 与 y= x+ C. y=-x+9 与 y=- x+ D. y=x+9 与 y=- x+ 解析: 根据进球总数为 49 个得: 2x+3y=49-5-34 -25=22 ,整理得: y=- x+ , 20 人一组进行足球比赛, 1+5+x+y+3+2=20 ,整理得: y=-x+9. 答案: C. 8.(3分 )如图,将含 60 角的直角三角板 ABC绕顶点 A顺时针旋转 45 度后得到 ABC ,点 B 经过的路径为弧 BB ,若 BAC=60 , AC=1,则图中阴影部分的面积是 ( ) A. B. C. D. 解析: 如图

6、, 在 RtABC 中, ACB=90 , BAC=60 , AC=1, BC=ACtan60=1 = , AB=2S ABC = ACBC= . 根据旋转的性质知 ABCABC ,则 SABC =SABC , AB=AB. S 阴影 =S 扇形 ABB +SABC -SABC = = . 答案: A. 9.(3 分 )将一边长为 2 的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是 ( ) A. 1 B. C. D. 解析: 最小的一个面是等腰直角三角形,它的两条直角边都是 22=1 , 112= . 故三棱锥四个面中最小的面积是 . 答案

7、: C. 10.(3 分 )如图,在平面直角坐标系中,直线 y=-3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B两点,以AB 为边在第一象限作正方形 ABCD,点 D 在双曲线 (k0 )上 .将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度后,点 C 恰好落在该双曲线上,则 a 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析: 作 CEy 轴于点 E,交双曲线于点 G.作 DFx 轴于点 F. 在 y=-3x+3 中,令 x=0,解得: y=3,即 B 的坐标是 (0, 3). 令 y=0,解得: x=1,即 A 的坐标是 (1, 0).则 OB=3, OA=1. BAD=90

8、, BAO+DAF=90 , 又 直角 ABO 中, BAO+OBA=90 , DAF=OBA , 在 OAB 和 FDA 中, , OABFDA(AAS) , 同理, OABFDABEC , AF=OB=EC=3 , DF=OA=BE=1, 故 D 的坐标是 (4, 1), C 的坐标是 (3, 4).代入 y= 得: k=4,则函数的解析式是: y= .OE=4 , 则 C 的纵坐标是 4,把 y=4 代入 y= 得: x=1.即 G的坐标是 (1, 4), CG=2. 答案: B. 二 .填空题 11.(3 分 )分解因式: a3-ab2= . 解析: a3-ab2=a(a2-b2)=a

9、(a+b)(a-b). 答案: a(a+b)(a-b) 12.(3 分 )如图,在高度是 21 米的小山 A 处测得建筑物 CD 顶部 C 处的仰角为 30 ,底部 D处的俯角为 45 ,则这个建筑物的高度 CD= 米 (结果可保留根号 ) 解析: 作 AECD 于点 E. 在直角 ABD 中, ADB=45 , DE=AE=BD=AB=21( 米 ), 在直角 AEC 中, CE=AEtanCAE=21 =7 (米 ).则 CD=(21+7 )米 . 答案: 21+7 . 13.(3 分 )如图,是一个 44 的正方形网格,每个小正方形的边长为 1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形,通

10、过平移、对称或旋转变换,设计一个精美图案,使其满足: 既是轴对称图形,又是以点 O 为对称中心的中心对称图形; 所作图案用阴影标识,且阴影部分面积为 4. 答案: 如图所示:答案不唯一 . 14.(3 分 )如图, ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形,在 ABC 内作第 1 个内接正方形 A1B1D1E1(D1、 E1在 AB 上, A1、 B1分别在 AC、 BC 上 ),再在 A 1B1C 内接同样的方法作第 2个内接正方形 A2B2D2E2, 如此下去,操作 n 次,则第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长是 . 解析: A=B=45 , AE 1=A1E=A1B1

11、=B1D1=D1B, 第一个内接正方形的边长 = AB=1; 同理可得:第二个内接正方形的边长 = A1B1= AB= ; 第三个内接正方形的边长 = A2B2= AB= ; 故可推出第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长 = AB= . 答案: . 15.(3 分 )若根式 有意义,则双曲线 y= 与抛物线 y=x2+2x+2-2k 的交点在第 象限 . 解析: 根据题意得, 2-2k 0, 2k -2 0, 反比例函数 y= 的图象位于第二、四象限, 抛物线 y=x2+2x+2-2k 的对称轴为直线 x=- =-1, 与 y 轴的交点为 (0, 2-2k),在 y 轴正半轴, 抛物线

12、 y=x2+2x+2-2k 的图象不经过第四象限, 双曲线 y= 与抛物线 y=x2+2x+2-2k 的交点在第二象限 . 答案: 二 . 16.(3 分 )如图,在实数范围内规定新运算 “” ,其规则是: ab=2a -b.已知不等式 xk1的解集在数轴上,则 k 的值是 . 解析: 根据图示知,已知不等式的解集是 x -1.则 2x-1 -3, xk=2x -k1 , k2x -1 -3, k= -3. 答案: k=-3. 17.(3 分 )如图, ACE 是以 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形,点 C 与点 E 关于 x 轴对称 .若 E 点的坐标是 (7, -3 ),则 D

13、点的坐标是 . 解析: 点 C 与点 E 关于 x 轴对称, E 点的坐标是 (7, -3 ), C 的坐标为 (7, 3 ), CH=3 , CE=6 , ACE 是以 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形, AC=6 , AH=9 , OH=7 , AO=DH=2 , OD=5 , D 点的坐标是 (5, 0), 答案: (5, 0). 18.(3 分 )如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把 ACD 沿 CA 方向平移得到 A 1C1D1,连结 AD1、 BC1.若 ACB=30 , AB=1, CC1=x, ACD 与 A 1C1D1重叠部分的面积为 s,则下列结论:

14、 A 1AD1CC 1B; 当 x=1 时,四边形 ABC1D1是菱形; 当 x=2 时, BDD 1为等边三角形; s= (x-2)2 (0 x 2); 其中正确的是 (填序号 ). 解析: 四边形 ABCD 为矩形, BC=AD , BCAD , DAC=ACB , 把 ACD 沿 CA 方向平移得到 A 1C1D1, A 1=DAC , A1D1=AD, AA1=CC1, 在 A 1AD1与 CC 1B 中, , A 1AD1CC 1B(SAS),故 正确; ACB=30 , CAB=60 , AB=1 , AC=2 , x=1 , AC 1=1, AC 1B 是等边三角形, AB=D

15、1C1, 又 ABBC 1, 四边形 ABC1D1是菱形,故 正确; 如图所示: 则可得 BD=DD1=BD1=2, BDD 1为等边三角形,故 正确 . 易得 AC 1FACD , =( )2,解得: SAC1F = (x-2)2 (0 x 2);故 正确; 综上可得正确的是 . 答案: . 三 .解答题 19.用代入消元法解方程组 . 解析: 把第一个方程整理为 y=x-2,然后利用代入消元法求解即可 . 答案: , 由 得, y=x-2 , 代入 得, 3x+5(x-2)=14,解得 x=3, 把 x=3 代入 得, y=3-2=1, 所以,方程组的解是 . 20.如图, ABC 与 C

16、DE 均是等腰直角三角形, ACB=DCE=90 , D 在 AB 上,连结 BE.请找出一对全等三角形,并说明理由 . 解析: 分析 根据等角的余角相等可得出 ACD=BCE ,结合 CA=CB, CD=CE,可证明ACDBCE. 答案: ACDBCE. 证明如下 ACB=DCE=90 , ACB -DCB=DCE -DCB ,即 ACD=BCE. ABC 与 CDE 均是等腰直角三角形, ACB=DCE=90 , CA=CB , CD=CE, 在 ACD 和 BCE 中, , ACDBCE. 21.(100 分 )我市某中学为备战省运会,在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔,并将参加选拔

17、学生的综合成绩分成四组,绘成了如下尚不完整的统计图表 . 根据图表信息,回答下列问题: (1)参加活动选拔的学生共有 人;表中 m= , n= ; (2)若将各组的组中值视为该组的平均值,请你估算参加选拔学生的平均成绩; (3)将第一组中的 4 名学生记为 A、 B、 C、 D,由于这 4 名学生的体育综合水平相差不大,现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛,试通过画树形图或列表的方法求恰好选中 A 和 B的概率 . 解析: (1)根据频数分布表可知第一组有 4人,根据扇形统计图可知第一组所占百分比为 8%,由此得出参加活动选拔的学生总数,再用学生总数乘以第三组所占百分比求出 n,用学生总数减

18、去第一、三、四组的频数之和所得的差即为 m 的值; (2)利用组中值求出总数即可得出平均数; (3)根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中 A 和 B 的概率 . 答案: (1) 第一组有 4 人,所占百分比为 8%, 学生总数为: 48%=50 ; n=5030%=15 , m=50-4-15-21=10.故答案为 50, 10, 15; (2) = =74.4; (3)将第一组中的 4 名学生记为 A、 B、 C、 D,现随机挑选其中两名学生代表学校参赛,所有可能的结果如下表: 由上表可知,总共有 12 种结果,且每种结果出现的可能性相同 .恰好选中 A和 B 的结果有 2种,其概率为 =

19、 = . 22.已知:关于 x 的方程 kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0 (1)求证:无论 k 为任何实数,方程总有实数根; (2)若此方程有两个实数根 x1, x2,且 |x1-x2|=2,求 k 的值 . 解析: (1)确定判别式的范围即可得出结论; (2)根据根与系数的关系表示出 x1+x2, x1x2,继而根据题意得出方程,解出即可 . 答案: (1) 当 k=0 时,方程是一元一次方程,有实数根; 当 k0 时,方程是一元二次方程, =(3k -1)2-4k2(k -1)=(k+1)20 , 无论 k 为任何实数,方程总有实数根 . (2) 此方程有两个实数根 x1, x2,

20、 x 1+x2= , x1x2= , |x 1-x2|=2, (x 1-x2)2=4, (x 1+x2)2-4x1x2=4,即 -4 =4,解得: =2 ,即 k=1 或 k=- . 23.如图, AB 为 O 的直径,弦 CD 与 AB 相交于 E, DE=EC,过点 B 的切线与 AD 的延长线交于 F,过 E 作 EGBC 于 G,延长 GE交 AD于 H. (1)求证: AH=HD; (2)若 cosC= , DF=9,求 O 的半径 . 解析: (1)由 AB 为 O 的直径, DE=EC,根据垂径定理的推论,可证得 ABCD ,又由 EGBC ,易证得 CDA=DEH ,即可得 H

21、D=EH,继而可证得 AH=EH,则可证得结论; (2)由 AB 为 O 的直径,可得 BDF=90 ,由 BF 是切线,可得 DBF=C ,然后由三角函数的性质,求得 BD 的长,继而求得答案 . 答案: (1)AB 为 O 的直径, DE=EC, ABCD , C+CBE=90 , EGBC , C+CEG=90 , CBE=CEG , CBE=CDA , CEG=DEH , CDA=DEH , HD=EH , A+ADC=90 , AEH+DEH=90 , AH=EH , AH=HD ; (2)AB 为 O 的直径, ADB=90 , BDF=90 , BF 是 O 的切线, DBF=C

22、 , cosC= , DF=9, tanDBF= , BD= =12, A=C , sinA= , AB= =20, O 的半径为 10. 24.如图,某个体户购进一批时令水果, 20 天销售完毕 .他将本次销售情况进行了跟踪记录,根据所记录的数据可绘制的函数图象,其中日销售量 y(千克 )与销售时间 x(天 )之间的函数关系如图甲所示,销售单价 p(元 /千克 )与销售时间 x(天 )之间的函数关系如图乙所示 . (1)直接写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)分别求出第 10 天和第 15 天的销售金额; (3)若日销售量不低于 24 千克的时间段为 “ 最佳销售期 ” ,则此次销售

23、过程中 “ 最佳销售期 ”共有多少天?在此期间销售单价最高为多少元? 解析: (1)分两种情况进行讨论: 0x15 ; 15 x20 ,针对每一种情况,都可以先设出函数的解析式,再将已知点的坐标代入,利用待定系数法求解; (2)日销售金额 =日销售单价 日销售量 .由于第 10 天和第 15 天在第 10 天和第 20天之间,当 10x20 时,设销售单价 p(元 /千克 )与销售时间 x(天 )之间的函数关系式为 p=mx+n,由点 (10, 10), (20, 8)在 p=mx+n 的图象上,利用待定系数法求得 p 与 x 的函数解析式,继而求得 10 天与第 15 天的销售金额; (3)

24、日销售量不低于 24 千克,即 y24. 先解不等式 2x24 ,得 x12 ,再解不等式-6x+12024 ,得 x16 ,则求出 “ 最佳销售期 ” 共有 5天;然后根据 p=- x+12(10x20) ,利用一次函数的性质,即可求出在此期间销售时单价的最高值 . 答案: (1)分两种情况: 当 0x15 时,设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析式为 y=k1x, 直线 y=k1x 过点 (15, 30), 15k1=30,解得 k1=2, y=2x(0x15) ; 当 15 x20 时,设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析式为 y=k2x+b, 点 (15, 30), (20

25、, 0)在 y=k2x+b 的图象上, ,解得: , y= -6x+120(15 x20) ; 综上,可知 y 与 x 之间的函数关系式为: y= ; (2) 第 10 天和第 15 天在第 10 天和第 20天之间, 当 10x20 时,设销售单价 p(元 /千克 )与销售时间 x(天 )之间的函数解析式为 p=mx+n, 点 (10, 10), (20, 8)在 p=mx+n 的图象上, ,解得: , p= - x+12(10x20) , 当 x=10 时, p=10, y=210=20 ,销售金额为: 1020=200( 元 ), 当 x=15 时, p=- 15+12=9 , y=30

26、,销售金额为: 930=270( 元 ). 故第 10 天和第 15 天的销售金额分别为 200 元, 270 元; (3)若日销售量不低于 24 千克,则 y24. 当 0x15 时, y=2x,解不等式: 2x24 ,得 x12 ; 当 15 x20 时, y=-6x+120,解不等式: -6x+12024 ,得 x16 , 12x16 , “ 最佳销售 期 ” 共有: 16-12+1=5(天 ); p= - x+12(10x20) , - 0, p 随 x 的增大而减小, 当 12x16 时, x 取 12 时, p 有最大值,此时 p=- 12+12=9.6( 元 /千克 ). 答:此

27、次销售过程中 “ 最佳销售期 ” 共有 5 天,在此期间销售单价最高为 9.6 元 . 25.(2013 荆州 )如图,已知:如图 ,直线 y=- x+ 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点,两动点 D、 E 分别从 A、 B 两点同时出发向 O 点运动 (运动到 O 点停止 );对称轴过点 A 且顶点为 M 的抛物线 y=a(x-k)2+h(a 0)始终经过点 E,过 E作 EGOA 交抛物线于点 G,交 AB 于点F,连结 DE、 DF、 AG、 BG.设 D、 E 的运动速度分别是 1 个单位长度 /秒和 个单位长度 /秒,运动时间为 t 秒 . (1)用含 t 代数式分别表示

28、BF、 EF、 AF 的长; (2)当 t 为何值时,四边形 ADEF 是菱形?判断此时 AFG 与 AGB 是否相似,并说明理由; (3)当 ADF 是直角三角形,且抛物线的顶点 M 恰好在 BG 上时,求抛物线的解析式 . 解析: (1)首先求出一次函数 y=- x+ 与坐标轴交点 A、 B 的坐标,然后解直角三角形求出 BF、 EF、 AF 的长; (2)由 EFAD ,且 EF=AD=t,则四边形 ADEF 为平行四边形,若 ADEF 是菱形,则 DE=AD=t.由 DE=2OD,列方程求出 t 的值; 如答图 1 所示,推出 BAG=GAF , ABG=AGF=30 ,证明 AFG

29、与 AGB 相似 . (3)当 ADF 是直角三角形时,有两种情形,需要分类讨论: 若 ADF=90 ,如答图 2 所示 .首先求出此时 t 的值;其次求出点 G 的坐标,利用待定系数法求出直线 BG 的解析式,得到点 M 的坐标;最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式; 若 AFD=90 ,如答图 3 所示 .解 题思路与 相同 . 答案: (1)在直线解析式 y=- x+ 中,令 x=0,得 y= ;令 y=0,得 x=1. A(1 , 0), B(0, ), OA=1, OB= .tanOAB= , OAB=60 , AB=2OA=2. EGOA , EFB=OAB=60.EF=

30、= =t, BF=2EF=2t, AF=AB -BF=2-2t. (2)EFAD ,且 EF=AD=t, 四边形 ADEF 为平行四边形 . 若 ADEF 是菱形,则 DE=AD=t. 由 DE=2OD,即: t=2(1-t),解得 t= .t= 时,四边形 ADEF 是菱形 . 此时 AFG 与 AGB 相似 .理由如下: 如答图 1 所示,连接 AE, 四边形 ADEF 是菱形, DEF=DAF=60 , AEF=30. 由抛物线的对称性可知, AG=AE, AGF=AEF=30. 在 RtBEG 中, BE= , EG=2, tanEBG= = , EBG=60 , ABG=EBG -E

31、BF=30. 在 AFG 与 AGB 中, BAG=GAF , ABG=AGF=30 , AFGAGB. (3)当 ADF 是直角三角形时, 若 ADF=90 ,如答图 2 所示: 此时 AF=2DA,即 2-2t=2t,解得 t= .BE= t= , OE=OB-BE= , E(0 , ), G(2, ). 设直线 BG 的解析式为 y=kx+b,将 B(0, ), G(2, )代入得: ,解得 k= ,b= , y= x+ . 令 x=1,得 y= , M(1 , ). 设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+ ,点 E(0, )在抛物线上, =a+ ,解得 a= .y= (x-1)2+ = x2+ x+ . 若 AFD=90 ,如答图 3 所示: 此时 AD=2AF,即: t=2(2-2t),解得: t= . BE= t= , OE=OB-BE= , E(0 , ), G(2, ). 设直线 BG的解析式为 y=kx+b,将 B(0, ), G(2, )代入得: ,解得 k= ,b= , y= x+ . 令 x=1,得 y= , M(1 , ). 设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+ ,点 E(0, )在抛物线上, =a+ ,解得 a= .y= (x-1)2+ = x2+ x+ . 综上所述,符合条件的抛物线的解析式为: y= x2+ x+ 或 y= x2+ x+.

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