1、 2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共 5页， 150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40分） 一 、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1）已知集合 | 3 2 0A x R x ， | ( 1 ) ( 3 ) 0 B x R x x ，则 AB （ A） ( , 1) （ B） 2( 1, )3 （ C） 2( ,3)3 （ D） (3, ) （ 2）在复平面内，复数 103ii 对应的点的
2、坐标为 （ A） (1,3) （ B） (3,1) （ C） ( 1,3) （ D） (3, 1) （ 3）设不等式组 0 2,02xy 表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是 （ A） 4 （ B） 22 （ C） 6 （ D） 44 （ 4）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 （ A） 2 （ B） 4 （ C） 8 （ D） 16 （ 5）函数 12 1( ) ( )2 xf x x的零点个数为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 6）已知 na 为等比数列，下面结论中正确的是 （ A） 1 3 22a a
3、 a （ B） 2 2 21 3 22a a a （ C）若 13aa ，则 12aa （ D）若 31aa ，则 42aa （ 7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （ A） 28 6 5 （ B） 30 6 5 （ C） 56 12 5 （ D） 60 12 5 （ 8）某棵果树前 n 年的总产量 nS 与 n 之间的关系如图所 示，从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高， m 的值为 （ A） 5 （ B） 7 （ C） 9 （ D） 11 第二部分 （非选择题 共 110分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 （ 9）直线 yx 被圆 22( 2)
4、4xy 截得的弦长为 _。 （ 10）已知 na 为等差数列， nS 为其前 n 项和，若1 12a， 23Sa ，则 2a _， nS _。 （ 11）在 ABC 中，若 3a ， 3b ， 3A ，则 C 的大小为 _。 （ 12）已知函数 ( ) lgf x x ，若 ( ) 1f ab ，则 22( ) ( )f a f b_。 （ 13）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DECB 的值为 _； DEDC的最大值为 _。 （ 14）已知 ( ) ( 2 ) ( 3 )f x m x m x m ， ( ) 2 2xgx。若 xR ， ( ) 0fx
5、或 ( ) 0gx ，则 m的取值范围是 _。 三、解答题共 6小题，共 80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15）（本小题共 13分） 已知函数 ( s i n c o s ) s i n 2() s i nx x xfx x 。 （ ）求 ()fx的定义域及最小正周期； （ ）求 ()fx的单调递减区间。 （ 16）（本小题共 14分） 如图 1，在 Rt ABC 中， 90C ， ,DE分别为,ACAB 的中点，点 F 为线段 CD上的一点，将 ADE 沿DE 折起到 1ADE 的位置，使 1AF CD ，如图 2。 （ ）求证： /DE 平面 1ACB ； （ ）求证
6、： 1AF BE ； （ ）线段 1AB上是否存在点 Q ，使 1AC 平面 DEQ ？说明理由。 （ 17）（本小题共 13分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃 圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 （）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （）试估计生活垃圾投放错误的概率； （）假设厨余垃圾在“厨余垃
7、圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 ,abc，其中 0a ， 600abc 。当数据 ,abc的方差 2s 最大时，写出 ,abc的值（结论不要求证明），并求此时 2s 的值。 （注： 2 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn ，其中 x 为数据 12, , , nx x x 的平均数） （ 18）（本小题共 13分） 已知函数 2( ) 1( 0 )f x ax a ， 3()g x x bx。 （ ）若曲线 ()y f x 与曲线 ()y gx 在它们的交点 (1,)c 处具有公共切线，求 ,ab的值； （ ）当 3, 9ab 时，若函
8、数 ( ) ( )f x g x 在区间 ,2k 上的最大值为 28 ，求 k 的取值范围。 图 2图 1FEBEDC B CDA 1AF （ 19） (本小题共 14 分 ) 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的一个顶点为 (2,0)A ，离心率为 22 ， 直线 ( 1)y k x与椭圆 C 交于不同的两点 ,MN。 （ ）求椭圆 C 的方程 （ ）当 AMN 的面积为 103 时，求 k 的值。 （ 20）（本小题共 13分） 设 A 是如下形式的 2行 3列的数表， a b c d e f 满足性质 : , , , , , 1,1 P a b c d e f ，且 0a b c d e f 。 记 ()irA为 A 的第 i 行各数之和 ( 1,2)i ， ()jcA为第 j 列各数之和 ( 1,2,3)j ；记 ()kA为1| ( )|rA ， 2| ( )|rA， 1| ( )|cA ， 2| ( )|cA， 3| ( )|cA中的最小值。 （ ）对如下数表 A ，求 ()kA的值 1 1 0.8 0.1 0.3 1 （ ）设数表 A 形如 1 1 12d d d 1 其中 10d 。求 ()kA的最大值； （）对所有满足性质 P 的 2行 3列的数表 A ，求 ()kA的最大值
