1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科） 第卷（选择题 共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）复数 z 满足 iiiz 2)( ，则 z = （ A） i1 （ B） i1 （ C） i31 （ D） i21 【解析】选 B 2( ) 2 1iz i i i z i ii （ 2）设集合 A= 3123| xx ，集合 B 为函数 )1lg( xy 的定义域， 则 A B= （ A） （ 1， 2） （ B） 1， 2 （ C） 1， 2） （ D）（ 1， 2
2、【解析】选 D 3 2 1 3 1 , 2 A x x ， (1, ) (1, 2 B A B （ 3）（ 2l og 9 ）（ 3l og 4） = （ A） 14 （ B） 12 （ C） 2 （ D） 4 【解析】选 D 23 l g 9 l g 4 2 l g 3 2 l g 2l o g 9 l o g 4 4l g 2 l g 3 l g 2 l g 3 （ 4）命题“存在实数 x ，使 x 1”的否定是 （ A） 对任意实数 x , 都有 x 1 （ B）不存在实 数 x ，使 x 1 （ C） 对任意实数 x , 都有 x 1 （ D）存在实数 x ，使 x 1 【解析】选 C
3、 存在 -任意， 1x - 1x （ 5）公比为 2 的等比数列 na 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则 5a = （ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8 【解析】选 A 223 1 1 7 7 5 51 6 1 6 4 2 1a a a a a a （ 6 ） 如 图 所 示 ， 程 序 框 图 （ 算 法 流 程 图 ） 的 输 出 结 果 是 （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 8 【解析】选 B x 1 2 4 8 y 1 2 3 4 （ 7）要得到函数 )12cos( xy 的图象，只要将函数 xy 2cos 的图象 （ A） 向左平移 1
4、 个单位 （ B） 向右平移 1 个单位 （ C） 向左平移 12 个单位 （ D） 向右平移 12 个单位 【解析】选 C c o s 2 c o s ( 2 1 )y x y x 左 +1，平移 12 （ 8）若 x ， y 满足约束条件 02323xxyxy，则 yxz 的最小值是 来源 :学科网 Z X X K （ A） -3 （ B） 0 （ C） 32 （ D） 3 【解析】选 A 【解析】 xy 的取值范围为 _ 3,0 约束条件对应 ABC 边际及内的区域： 3(0 , 3), (0 , ), (1,1)2A B C 则 3, 0t x y （ 9）若直线 01yx 与圆 2)
5、( 22 yax 有公 共点，则实数 a 取值范围是 （ A） -3 ， -1 （ B） -1 ， 3 （ C） -3 ， 1 （ D）（ - ， -3 U 1 ， + ） 【解析】选 C 圆 22( ) 2x a y 的圆心 ( ,0)Ca 到直线 10xy 的距离为 d 则 12 2 1 2 3 12ad r a a （ 10）袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （ A） 15 （ B） 25 （ C） 35 （ D） 45 【解析】选 B 1 个红球， 2 个白球和 3 个黑球记为 1 1
6、2 1 2 3, , , , ,a b b c c c 从袋中任取两球共有 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3, ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; ,a b a b a c a c a c b b b c b c b cb c b c b c c c c c c c15 种； 满足 两球颜色为一白一黑有 6 种，概率等于 62155 2012 年普通高等学校招 生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科） 第 卷（非选择题 共 100 分） 考生注事项：
7、 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔 在答题卡上 作答， 在试题卷上答题无效 。 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置。 （ 11） 设向量 ( 1 , 2 ) , ( 1 ,1 ) , ( 2 , ) .a m b m c m a c 若 （ ） b ,则 |a |=_.来源 :网 ZXXK 【解析】 a _ 2 1( 3 , 3 ) , ( ) 3 ( 1 ) 3 0 22a c m a c b m m m a （ 12 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 _. 【解析】表面积是 _ 56 该几何体是底面是直角梯形，高为 4 的直
8、四棱柱 几何体的的体积是 1 ( 2 5 ) 4 4 5 62V (13)若函数 ( ) | 2 |f x x a的单调递 增区间是 ),3 ，则 a =_. 【解析】 _a 6 由对称性： 362a a (14)过抛物线 2 4yx 的焦点 F 的直线交该抛物线于 ,AB两点，若| | 3AF ，则 |BF =_。 【解析】 |BF _ 32 设 (0 )AFx 及 BF m ；则点 A 到准线 :1lx 的距离为 3 得： 13 2 3 c o s c o s 3 又 232 c o s ( ) 1 c o s 2m m m (15)若四面体 ABCD 的三组对棱分别 相等，即 AB CD
9、 ， AC BD ， AD BC ，则_(写出所有正确结论编号 )。 四 面体 ABCD 每组对棱相互垂直 四面体 ABCD 每个面的面积相等 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90。 而小于 180。 连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 来源 :Z*xx*k.Com 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【解析】正确的是 _ 四面体 ABCD 每个面是全等三角形，面积相等 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180 连接 四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分 从四面体 ABCD 每
10、个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内。 （ 16）（本小题满分 12 分） 设 ABC 的内角 CBA , 所对边的长分别为 , cba ，且有 CACAAB si nc o sc o ssi nc o ssi n2 。 （）求角 A 的大小； 来源 :学 .科 .网 Z.X.X .K （ ) 若 2b ， 1c ， D 为 BC 的中点，求 AD 的长。 【解析】 （） , , ( 0 , ) s i n ( ) s i n 0A C B A B A C B 2 s i
11、 n c o s s i n c o s c o s s i n s i n ( ) s i nB A A C A C A C B 1c o s 23AA （ II） 2 2 2 2 2 22 c o s 3 2a b c b c A a b a c B 在 Rt ABD 中， 2 2 2 2371 ( )22A D A B B D （ 17）（本小题满分 12 分） 设定义 在（ 0， + ）上的函数 1( ) ( 0 )f x ax b aax （）求 ()fx的最小值； （）若曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 32yx ，求 ,ab的值。 【解析】（ I） 1
12、1( ) 2 2f x a x b a x b ba x a x 当且仅当 11( )ax x a时， ()fx的最小值为 2b （ II）由题意得： 3 1 3(1) 22f a ba 21 1 3( ) ( 1 ) 2f x a f aa x a 由 得： 2, 1ab （ 18）（本小题满分 13 分） 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值 不超过 1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格 品。计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差（单位： mm） , 将所得数据分组，得
13、到如下频率分布表： 分组 频数 频率 -3, -2) 0.10 -2, -1) 8 （ 1,2 0.50 （ 2,3 10 （ 3,4 合计 50 1.00 （）将上面表格中缺少的数据填在 答题卡 的相应位置； （）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间 （ 1,3内的概率； （）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 20 件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件 数。 【解析】（ I） 分组 频数 频率 -3, -2) 5 0.1 -2, -1) 8 0.16 （ 1,2 25 0.5 （ 2,3 10 0.2 （ 3,4 2 0.4 合计 50 1 （）
14、不合格品的直径长与标准值的差落在区间 （ 1,3内的概率为 0.5 0.2 0.7 （）合格品的件数为 50002 0 2 0 1 9 8 050 （件） 答： （）不合格品的直径长与标准值的差落在区间 （ 1,3内的概率为 0.7 （）合格品的件数为 1980（件） （ 19）（本小题 满分 12 分） 如图，长方体 1111 DCBAABCD 中，底面 1111 DCBA 是正方形， O 是 BD 的中点， E 是棱 1AA 上任意一点。 （）证明： BD 1EC ； （） 如果 AB =2， AE = 2 ， 1ECOE ,，求 1AA 的长。 【解析】 （ I） 连接 AC ， 11/
15、 / , , ,AE C C E A C C 共面 长方体 1111 DCBAABCD 中 ， 底面 1111 DCBA 是正方形 ,A C B D E A B D A C E A A B D 面 1EACC 1BD EC （） 在矩形 11ACCA 中 ， 1 1 1O E E C O A E E A C 得 ： 1 1 111 22 322 2 2A C A AAE AAA O E A 20.（本小题满分 13 分） 如图， 21,FF 分别是椭圆 C ：22ax +22by =1（ 0ba ）的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 2AF 与椭圆 C 的另一个交点， 1F
16、A 2F =60 . （）求椭圆 C 的离心率； （） 已知 A BF1 的面积为 40 3 ，求 a, b 的值 . 【解析】（ I）12 16 0 2 2cF A F a c e a （） 设 2BF m ；则 1 2BF a m 在 12BFF 中， 2 2 21 2 1 2 2 1 22 c o s 1 2 0B F B F F F B F F F 2 2 2 3( 2 ) 5a m m a a m m a 1AFB 面积 211 1 3 3s in 6 0 ( ) 4 0 32 2 5 21 0 , 5 , 5 3S F F A B a a aa c b （ 21）（本小题满分 13
17、 分） 设函数 ）（ xf =2x + xsin 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 nx . （）求数列 nx 的通项公式； （） 设 nx 的前 n 项和为 nS ，求 nSsin 。 【解析】（ I） 12( ) s i n ( ) c o s 0 2 ( )2 2 3xf x x f x x x k k Z 22( ) 0 2 2 ( )33f x k x k k Z 24( ) 0 2 2 ( )33f x k x k k Z 得：当 22 ( )3x k k Z 时， ()fx取极小值 得 ： 22 3nxn（ II） 由 （ I） 得 ： 22 3nxn1 2 3 222 ( 1 2 3 ) ( 1 )33nn nnS x x x x n n n 当 *3 ( )n k k N时， sin sin ( 2 ) 0nSk 当 *3 1( )n k k N 时， 23sin sin 32nS 当 *3 2( )n k k N 时， 43s in s in 32nS 得： 当 *3 ( )n k k N时， sin 0nS 当 *3 1( )n k k N 时， 3sin 2nS 当 *3 2( )n k k N 时， 3sin 2nS
