1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷 ) 文科数学 第卷 (共 60 分 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . (1)若复数 z 满足 (2 ) 11 7i(izi 为虚数单位 )，则 z 为 (A)3+5i (B)3 5i (C) 3+5i (D) 3 5i (2)已知全集 0,1,2,3,4U ，集合 1,2,3A ， 2,4B ，则 ()UAB 为 (A)1,2,4 (B)2,3,4 (C)0,2,4 (D)0,2,3,4 (3)函数 21( ) 4ln ( 1)f x xx 的定义域为
2、 (A) 2,0) (0,2 (B) ( 1,0) (0,2 (C)2,2 (D)(1,2 (4)在某次测量中得到的 A 样本数据如下： 82， 84， 84， 86， 86， 86， 88， 88， 88， 88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据，则 A， B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 (5)设命题 p： 函数 sin2yx 的最小正周期为2；命题 q：函数 cosyx 的图象关于直线2x 对称 .则下列判断正确的是 (A)p 为真 (B) q 为假 (C) pq 为假 (D)pq 为真 (6)设变量 ,x
3、y满足约束条件 2 2,2 4,4 1,xyxyxy 则目标函数 3z x y的取值范围是 (A) 3 ,62(B) 3 , 12(C)1,6 (D) 36, 2(7)执行右面的程序框图，如果输入 a 4，那么输出的 n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (8)函数 2 sin (0 9 )63xyx 的最大值与最小值之和为 (A)23 (B)0 (C) 1 (D) 13 (9)圆 22( 2) 4xy 与圆 22( 2) ( 1) 9xy 的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 (10)函数 cos622xxxy 的图象大致为 (11)已知双曲线 1C ：
4、 22 1( 0, 0)xy abab 的离心率为 2.若抛物线 22 : 2 ( 0)C x py p的焦点到双曲线 1C 的渐近线的距离为 2，则抛物线 2C 的方程为 (A) 2 833xy(B) 2 16 33xy(C) 2 8xy (D) 2 16xy (12)设函数 1()fxx， 2()g x x bx .若 ()y f x 的图象与 ()y gx 的图象有且仅有两个不同的公共点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则下列判断正确的是 (A) 1 2 1 20, 0x x y y (B) 1 2 1 20, 0x x y y (C) 1 2 1 20,
5、0x x y y (D) 1 2 1 20, 0x x y y 第卷 (共 90 分 ) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16分 . (13)如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1， E 为线段 1BC上的一点，则三棱锥 1A DED 的体积为 . (14)右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温 (单位： )数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是 20.5，26.5，样本数据的分组为 20.5,21.5) ， 21.5,22.5) ， 22.5,23.5) ，23.5,24.5) ， 24.5,25.5) ， 25.5,26.5 .已
6、知样本中平均气温低于 22.5的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25.5的城市个数为 . (15)若函数 ( ) ( 0, 1)xf x a a a 在 1， 2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 ( ) (1 4 )g x m x 在 0, ) 上是增函数，则 a . (16)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0， 1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0， 0)，圆在 x 轴上沿正向滚动 . 当圆滚动到圆心位于 (2， 1)时， OP 的坐标为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 . (17)(本小题满分 12分 ) 在 ABC 中，
7、内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，已知 s in (ta n ta n ) ta n ta nB A C A C. ( )求证： ,abc成等比数列； ( )若 1, 2ac，求 ABC 的面积 S. (18)(本小题满分 12 分 ) 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1， 2， 3；蓝色卡片两张，标号分别为1， 2. ( )从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； ( )现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标 号之和小于 4 的概率 . (19) (本小题满分 12 分 ) 如图，几何体
8、 E ABCD 是四棱锥， ABD 为正三角形，,CB CD EC BD. ( )求证： BE DE ； ( )若 120BCD， M 为线段 AE 的中点， 求证： DM 平面 BEC . (20) (本小题满分 12分 ) 已知等差数列 na 的前 5 项和为 105，且 20 52aa . ( )求数列 na 的通项公式； ( )对任意 *mN ，将数列 na 中不大于 27m 的项的个数记为 mb .求数列 mb 的前 m 项 和 mS . (21) (本小题满分 13 分 ) 如图，椭圆 22: 1( 0 )xyM a bab 的离心率为 32，直线 xa 和 yb 所围成的矩形AB
9、CD 的面积为 8. ( )求椭圆 M 的标 准方程； ( ) 设直线 : ( )l y x m m R与椭圆 M 有两个不同的交点,PQl 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 ,ST.求 |PQST 的最大值及取得最大值时 m 的值 . (22) (本小题满分 13 分 ) 已知函数 ln( ) (exxkf x k为常数， e=2.71828是自然对数的底数 )，曲线 ()y f x 在点(1, (1)f 处的切线与 x 轴平行 . ( )求 k 的值； ( )求 ()fx的单调区间； ( )设 ( ) ( )g x xf x ，其中 ()fx 为 ()fx的导函数 .证明：对任意 20,
10、 ( ) 1 ex g x . 参考答案： 一、选择题： (1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B (12)解：设 32( ) 1F x x bx ，则方程 ( ) 0Fx 与 ( ) ( )f x g x 同解，故其有且仅有两个不同零点 12,xx.由 ( ) 0Fx 得 0x 或 23xb.这样，必须且只须 (0) 0F 或 2( ) 03Fb，因为(0) 1F ，故必有 2( ) 03Fb 由此得 33 22b .不妨设 12xx ，则 32 2 23xb .所以231( ) ( )( )F x x x
11、x ，比较系数得 31 41x，故 31 1 22x . 3121 202xx ，由此知12121 2 1 211 0xxyy x x x x ，故答案为 B. 二、填空题 (13)16以 1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为 1，故 1 1 11113 2 6V . (14)9 最左边两个矩形面积之和为 0.10 1+0.12 1 0.22，总城市数为 11 0.22 50，最右面矩形面积为 0.18 1 0.18， 50 0.18 9. (15)14当 1a 时，有 214,a a m，此时 12,2am，此时 ()g x x 为减函数，不合题意 .若 01a，则 124,a a m ，故
12、 11,4 16am，检验知符合题意 . (16) (2 sin 2,1 cos2) 三、解答题 (17)(I)由已知得： s in ( s in c o s c o s s in ) s in s inB A C A C A C， sin sin ( ) sin sinB A C A C， 2sin sin sinB A C ， 再由正弦定理可得： 2b ac ， 所以 ,abc成等比数列 . (II)若 1, 2ac，则 2 2b ac， 2 2 2 3cos24a c bB ac， 2 7sin 1 cos 4CC ， ABC 的面积 1 1 7 7s in 1 22 2 4 4S a
13、c B . (18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种 ：红 1红 2，红 1红 3，红 1蓝 1，红 1蓝 2，红 2红 3，红 2蓝 1，红 2蓝 2，红 3蓝 1，红 3蓝 2，蓝 1蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况，故所求的概率为 310P. (II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的 10 种情况外，多出 5 种情况：红 1绿 0，红 2绿 0，红 3绿 0，蓝 1绿 0，蓝 2绿 0，即共有 15 种情况，其中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况，所以概率为 815P. (19)(I)设
14、BD 中点为 O，连接 OC， OE，则由 BC CD 知 ， CO BD ， 又已知 CE BD ，所以 BD 平面 OCE. 所以 BD OE ，即 OE 是 BD 的垂直平分线， 所以 BE DE . (II)取 AB 中点 N， 连接 ,MNDN ， M 是 AE 的中点， MN BE ， ABD 是等边三角形， DN AB . 由 BCD 120知， CBD 30，所以 ABC 60 +30 90，即 BC AB ， 所以 ND BC， 所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC. (20)(I)由已知得： 1115 10 105,9 2( 4 ),ada d a d 解得
15、1 7, 7ad, 所以通项公式为 7 ( 1) 7 7na n n . (II)由 277mnan ，得 217mn ， 即 217mmb . 211217 497mkmkbb， mb 是公比为 49 的等比数列， 7( 1 4 9 ) 7 (4 9 1)1 4 9 4 8m mmS . (21)(I) 2223324c a be aa 矩形 ABCD 面积为 8，即 2 2 8ab 由解得： 2, 1ab， 椭圆 M 的标准方程是 2 2 14x y. (II) 22 224 4 , 5 8 4 4 0,xy x m x my x m ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x
16、y Q x y，则 21 2 1 28 4 4,55mx x m x x ， 由 226 4 2 0 (4 4 ) 0mm 得 55m . 2 2 28 4 4 4 2| | 2 4 55 5 5mP Q m m . 当 l 过 A 点时， 1m ，当 l 过 C 点时， 1m . 当 51m 时，有 ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , | | 2 ( 3 )S m T m S T m ， 222| | 4 5 4 4 6 1| | 5 ( 3 ) 5P Q mS T m t t ， 其中 3tm，由此知当 134t，即 45, ( 5 , 1)33tm 时， |PQST取得最大值
17、 255. 由对称性，可知若 15m ，则当 53m时， |PQST取得最大值 255. 当 11m 时， | | 2 2ST ， 2| | 2 5| | 5PQ mST ， 由此知，当 0m 时， |PQST取得最大值 255. 综上可知，当 53m和 0 时， |PQST取得最大值 255. (22)(I) 1 ln() exxkxfx ， 由已知， 1(1) 0ekf ， 1k . (II)由 (I)知， 1 ln 1() exxxfx . 设 1( ) ln 1k x xx ，则211( ) 0kx xx ，即 ()kx在 (0, ) 上是减函数， 由 (1) 0k 知，当 01x时
18、( ) 0kx ，从而 ( ) 0fx ， 当 1x 时 ( ) 0kx ，从而 ( ) 0fx . 综上可知， ()fx的单调递增区间是 (0,1) ，单调递减区间是 (1, ) . (III)由 (II)可知，当 1x 时， ( ) ( )g x xf x 0 1+ 2e ，故只需证明 2( ) 1 egx 在 01x时成立 . 当 01x时， ex 1，且 ( ) 0gx ， 1 ln( ) 1 lne xx x xg x x x x . 设 ( ) 1 lnF x x x x ， (0,1)x ，则 ( ) (ln 2)F x x ， 当 2(0,e )x 时， ( ) 0Fx ，当 2(e ,1)x 时， ( ) 0Fx ， 所以当 2ex 时， ()Fx取得最大值 22( ) 1 eFe . 所以 2( ) ( ) 1 eg x F x . 综上，对任意 0x ， 2( ) 1 egx .
