1、 2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学 本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分,第 卷第 1 至 2 页,第 卷第 3至第 4页。满分 150分,考试时间 120分钟。 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第 I卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第 II卷用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答 题卡上书写作答,在试题卷上作答,答题无效。 3.考试结束,
2、务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式: 锥体体积公式 13V Sh ,其中 S 为底面积, h 为高。 第 卷 一选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、若集合 1,1A , 0,2B ,则集合 | , , z z x y x A y B 中的元素的个数为 A 5 B.4 C.3 D.2 2、下列函数中,与函数31y x定义域相同的函数为 A 1siny x B. lnxy x C. xy xe D. sinxy x 3、若函数 2 1, 1()lg , 1xxfx xx ,则 ( ( 0)ff A. lg101
3、B.2 C.1 D.0 4、若 1tan 4tan ,则 sin2 A. 15 B.14 C.13 D.12 5、下列命题中,假命题为 A存在四边相等 的四边形 不 是正方形 B 1 2 1 2,z z C z z为实数的充分必要条件是 12,zz互为共轭复数 C若 ,xy R ,且 2,xy 则 ,xy至少有一个大于 1 D对于任意 01, nn n nn N C C C 都是偶数 6、观察下列各式: 221, 3,a b a b 3 3 4 4 5 54 , 7 , 1 1 ,a b a b a b 则 10 10ab A 28 B 76 C 123 D 199 7、在直角三角形 ABC
4、中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则222| | | |PA PBPC A 2 B 4 C 5 D 10 8、某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50计,投入资金不超过 54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量 /亩 年种植成本 /亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 为使一年 的种植总利润(总利润 =总销售收入 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 A 50, 0 B 30, 20 C 20, 30 D 0, 50 9、样本( 12, , , nx x x )的平
5、均数为 x ,样本( 12,my y y )的平均数为 ()yx y ,若样本( 12, , , nx x x , 12,my y y )的平均数 (1 )z x y ,其中 10 2,则 ,nm的大小关系为 A nm B nm C nm D 不能确定 10、如右图,已知正四棱锥 S ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记(0 1),SE x x 截面下面部分的 体积为 (),Vx则函数 ()y Vx 的图像大致为 BDCASE 2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学 第 卷 注: 第卷共 2页
6、,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。 二。填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分。 11、计算定积分 1 21 ( sin )x x dx _。 12、设数列 , nnab都是等差数列,若 117ab, 3321ab,则 55ab_。 13、椭圆 22 1( 0)xy abab 的左、右顶点分别是 ,AB,左、右焦点分别是 12,FF。若1 1 2 1| |,| |,| |AF F F F B成等比数列,则此椭圆的离心率为 _. 14、下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 _. 是a = 0a = 1 k = k + 1 k 6 输出 T
7、 结束否是否开始三、选做题:请在下列两题中任选一题作答。若两题都做,则按第一题评阅计分。本题共 5分。 15.( 1)(坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 2220x y x ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,则曲 线 C 的极坐标方程为 _。 15.( 2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式 | 2 1 | | 2 1 | 6xx 的解集为 _。 四解答题:本大题共 6小题,共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12分) 已知数列 na 的前 n 项和 212nS n kn (其中 kN ),且 nS 的最大值为 8
8、。 ( 1)确定常数 k ,并求 na ; ( 2)求数列 922 nna的前 n 项和 nT 。 17、(本小题满分 12分) 在 ABC 中,角 ,ABC 的对边分别为 ,abc。已知 4A , s in ( ) s in ( )44b C c B a 。 ( 1)求证: 2BC ( 2)若 2a ,求 ABC 的面积。 18、(本题满分 12分) 如图,从 1(1,0,0)A , 2(2,0,0)A , 1(0,1,0)B , 2(0,2,0)B ,1(0,0,1)C , 2(0,0,2)C 这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体
9、”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 0V )。 ( 1)求 0V 的概率; ( 2)求 V 的分布列及数学期望 EV 。 19、(本题满分 12分) 在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中,已知 1 5AB AC AA ,4BC ,在 1A 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O 。 ( 1)证明在侧棱 1AA 上存在一点 E ,使得 OE 平面 11BBCC ,并求出 AE 的长; ( 2)求平面 11ABC 与平面 11BBCC 夹角的余 弦值。 20、(本题满分 13分) 已知三点 (0,0)O , ( 2,1)A , (2,1)
10、B ,曲线 C 上任意一点 ( , )Mxy 满足 | | ( ) 2M A M B O M O A O B 。 ( 1)求曲线 C 的方程; ( 2)动点 0 0 0( , )( 2 2)Q x y x 在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 。问:是否存在定点 (0, )( 0)P t t ,使得 l 与 ,PAPB 都相交,交点分别为 ,DE,且 QAB 与 PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。 zyxA 2A 1B 2B 1C 2C 1OB 1C 1OACBA 1 21、(本小题满分 14分) 若函数 ()hx满足 ( 1) (0) 1h ,
11、 (1) 0h ; ( 2)对任意 0,1a ,有 ( ( )h h a a ; ( 3)在 (0,1) 上单调递减。 则称 ()hx为补函数。已知函数 11( ) ( ) ( 1 , 0 )1 p ppxh x px 。 ( 1)判函数 ()hx是否为补函数,并证明你的结论; ( 2)若存在 0,1m ,使得 ()hm m , 称 m 是函数 ()hx的中介元。记 1 ()p n Nn时 ()hx的中介元为 nx ,且1()niiS x x,若对任意的 nN ,都有 12nS,求 的取值范围; ( 3)当 0 , (0,1)x 时,函数 ()y hx 的图像总在直线 1yx 的上方,求 p 的取值范围。