1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 数学（ 文史类 ） 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 M=-1,0,1， N=x|x2=x，则 M N= A.-1， 0， 1 B.0,1 C.1 D.0 【答案】 B 【解析】 0,1N M=-1,0,1 M N=0,1 【点评】本题考查了 集合的基本运算，较简单，易得分 .先求出 0,1N ，再利用交集定义得出 M N. 2.复数 z=i（ i+1）（ i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答
2、案】 A 【解析】由 z=i（ i+1） = 1i，及共轭复数定义得 1zi . 【点评 】本题考查 复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力 .先把 Z 化成标准的 ( , )a bi a b R形式，然后由 共轭复数定义得出 1zi . 3.命题“若 =4 ，则 tan =1”的逆否命题是 中 %国教 &*育出版 网 A.若 4 ，则 tan 1 B. 若 =4 ，则 tan 1 C. 若 tan 1，则 4 D. 若 tan 1，则 =4 【答案】 C 【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若 p ，则 q ”，所以 “若 =4 ，则 tan=1”的逆否命题是
3、“若 tan 1，则 4 ” . 【点评】本题考查了 “若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力 . 4.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图 不可能 是 【答案】 D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆柱 或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形 . 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力 .是近年来热点题型 . 5.设某大学的女生体重 y（单位： kg）与身高 x
4、（单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi， yi）（ i=1， 2， n），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中 不正确 的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（ x ， y ） C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某 女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg 【答案】 D 【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 ()y b x a
5、b x y b x a y b x ，所以回归直线过样本点的中心 （ x ， y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确 . 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错 . 6. 已知双曲线 C ： 22xa- 22yb=1 的焦距为 10 ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 A 220x - 25y =1 B. 25x - 220y =1 C. 280x - 220y =1 D. 220x - 280y =1w#ww.zz& 【答案】 A 【解析】设双曲线 C ： 22xa- 22yb=1 的半焦距
6、为 c ，则 2 10, 5cc. 又 C 的渐近线为 byxa ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线上， 12ba ，即 2ab . 又 2 2 2c a b， 2 5, 5ab ， C 的方程为 220x - 25y =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了 数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型 . 7 . 设 a b 1， 0c ，给出下列三个结论： www.z#zste&* ca cb ； ca cb ； lo g ( ) lo g ( )baa c b c ， 其中所有的正确结论的序号是 _ .中 *国教育 出 版网 # A B. C.
7、D. 【答案】 D 【解析】由不等式及 a b 1 知 11ab ，又 0c ，所以 ca cb ，正确 ;由指数函数的图像与性质知正确；由 a b 1， 0c 知 11a c b c c ，由对数函数的图像与性质知正确 . 【点评】本题考查 函数概念与基本初等函数中的 指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质， 不等关系，考查了数形结合的思想 .函数概念与基本初等函数 是 常考知识点 . 8 . 在 ABC 中， AC= 7 ， BC=2， B =60，则 BC 边上的高等于 A 32 B. 332 C. 362 D. 3 394 【答案】 B 【解析】设 AB c ，在 ABC 中，由余
8、弦定理知 2 2 2 2 c o sA C A B B C A B B C B ， 即 27 4 2 2 c o s 6 0cc ， 2 2 3 0 , ( - 3 ) ( 1 )c c c c 即 =0.又 0, 3.cc 设 BC 边上的高等于 h ，由三角形 面积公式 11s i n22ABCS A B B C B B C h，知 113 2 s in 6 0 222 h ，解得 332h . 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容 . 9. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2的偶函数， ()fx 是 f(x)的导函数，当 0,x
9、 时， 0 f(x) 1；当 x（ 0，） 且 x 2 时 ， ( ) ( ) 02x f x ，则函数 y=f(x)-sinx在 -2， 2 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】 【解析】由当 x（ 0，） 且 x 2 时 ， ( ) ( ) 02x f x ，知 0 , ( ) 0 , ( )2x f x f x 时 , 为 减 函 数 ；( ) 0 , ( )2x f x f x ， 时 , 为 增 函 数 又 0,x 时， 0 f(x) 1，在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2的偶函数，在同一坐标系中作出 sinyx 和 ()y f x 草图像如下，由
10、图知 y=f(x)-sinx 在 -2， 2 上的零点个数为 4个 . 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题 . 二、填空题，本大题共 7 小题，考生作答 6 小题 .每小题 5 分共 30 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 . （一）选做题，（请考生在第 10， ,1 两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.在极坐标系中，曲线 1C ： ( 2 c o s sin ) 1 与曲线 2C ： a ( 0)a 的一个交点在极轴上，则 a=_. 【答案】 22 【解析】曲线 1C 的直角坐标方程是 21xy，曲线 2C 的普通方程是直角坐标方程 2
11、 2 2x y a，因为曲线 C1： ( 2 c o s sin ) 1 与曲线 C2： a ( 0)a 的一个交点在极轴上，所以 1C 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等，由 20, 2yx，知 a 22 . 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中 .把曲线 1C 与曲线 2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与 x 轴交点，即得 . 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为 29xyo 2211sinyx()y f x 63 .精确度要求 1 .用分数法
12、进行优选时，能保证找到最佳 培养温度需要最少实验次数为_. 【答案】 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为 7. 【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力 . (二 )必做题（ 1216 题） 中 #国 教育 *出 %版网 12.不等式 x2-5x+6 0 的解集为 _. 【答案】 23xx 【解析】由 x2-5x+6 0，得 ( 3)( 2) 0xx ，从而的不等式 x2-5x+6 0 的解集为 23xx . 【点评】本题考查 一元二次不等式 的解法，考查简单的运算能力 . 13.图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 _
13、. 0 8 910 3 52图(注：方差 2 2 2 2121 ( ) ( ) ( )ns x x x x x xn ，其中 x 为 x1， x2， xn 的平均数 )来 【答案】 6.8 【解析】 1 ( 8 9 1 0 1 3 1 5 ) 1 15x ， 2 2 2 2 2 21 ( 8 1 1 ) ( 9 1 1 ) ( 1 0 1 1 ) ( 1 3 1 1 ) ( 1 5 1 1 )5s 6.8 . 【点评】本题考查 统计中的 茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力 . 14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 4.5x ,则输出的数 i = . 中国 %教 &育 *
14、出版 网 【答案】 4 【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得 0.5x ，输出 4i . 【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养 . 15.如图 4，在平行四边形 ABCD 中 ， AP BD，垂足为 P， 3AP 且 APAC = . 【答案】 18 【解析】设 AC BD O ，则 2( )AC AB BO， APAC = 2( )AP AB BO 22AP AB AP BO 22 2 ( ) 2A P A B A P A P P B A P 18 . 【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、 平 面向量的数量积运算，考查数形结合思想
15、、等价转化思想等数学思想方法 . 16.对于 Nn ，将 n表示为 1 1 01 1 02 2 2 2kkkkn a a a a ,当 ik 时 1ia ，当 01ik 时 ia 为 0 或 1，定义 nb 如下：在 n 的上述表示中，当 01,aa， a2， ak中等于1 的个数为奇数时， bn=1；否则 bn=0.中国教 #*育 &出版 网 （ 1） b2+b4+b6+b8=_； （ 2）记 cm为数列 bn中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数，则 cm的最大值是_. 【答案】（ 1） 3；（ 2） 2. 【解析】（ 1）观察知 00 0 11 2 , 1, 1a
16、 a b ； 10 1 0 22 1 2 0 2 , 1 , 0 , 1a a b ； 一次类推 10 33 1 2 1 2 , 0b ； 2 1 0 44 1 2 0 2 0 2 , 1b ； 2 1 0 55 1 2 0 2 1 2 , 0b ； 2 1 06 1 1 2 0 2 ， 6 0b ， 781, 1bb， b2+b4+b6+b8=；（ 2）由（ 1）知 cm的最大值为 . 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力 . 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、
17、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 12 分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分 钟 /人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55 . （ ）确定 x， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （ ）求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率 .（将频率视为概率） 【解析】（）由
18、已知得 2 5 1 0 5 5 , 3 5 , 1 5 , 2 0y x y x y ，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 : 1 1 5 1 . 5 3 0 2 2 5 2 . 5 2 0 3 1 0 1 . 9100 (分钟 ). （）记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， 1 2 3,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”， “该顾客一次购
19、物的结算时间为 2 分钟” .将频率视为概率，得 1 2 31 5 3 3 0 3 2 5 1( ) , ( ) , ( )1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 1 0 0 4P A P A P A . 1 2 3 1 2 3, , ,A A A A A A A 且是互斥事件， 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A P A P A P A 3 3 1 720 10 4 10 . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 710 . 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力 .第一问中根据统计表和 100位顾客中的
20、一次购物量超过 8件的顾客占 55，知 2 5 1 0 1 0 0 5 5 % , 3 5 ,y x y 从而解得 ,xy，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计 值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率 . 18.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) s i n ( ) ( , 0 , 0 2f x A x x R 的部分图像如图 5 所示 . （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）求函数 ( ) ( ) ( )1 2 1 2g x f x f x 的单调递增区间 . 【解析】（ ）由题设图像知，
21、周期 1 1 5 22 ( ) , 21 2 1 2T T . 因为点 5( ,0)12 在函数图像上，所以 55s i n ( 2 ) 0 , s i n ( ) 01 2 6A 即. 又 5 5 4 50 , , =2 6 6 3 6 从 而 ，即 = . 又点 0,1（ ） 在函数图像上，所以 sin 1, 26AA ，故函数 f （ x ）的解析式为( ) 2 sin (2 ).6f x x （ ） ( ) 2 s in 2 2 s in 21 2 6 1 2 6g x x x 2 s in 2 2 s in ( 2 )3xx 132 s i n 2 2 ( s i n 2 c o s
22、 2 )22x x x sin 2 3 cos 2xx 2sin(2 ),3x 由 2 2 2 ,2 3 2k x k 得 5 ,.1 2 1 2k x k k z ()gx 的单调递增区间是 5, , .1 2 1 2k k k z 【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质 . 第一问结合图形求得周期1 1 52 ( ) ,1 2 1 2T 从而求得 2 2T.再利用特殊点在图像上求出 ,A ，从而求出 f（ x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 sin( )y A x的单调性求得 . 19.（本小题满分 12 分） 如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD，
23、底面 ABCD 是等腰梯形， AD BC， AC BD. （）证明： BD PC； （）若 AD=4， BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积 . 中国 教 *育出 # 版 % 【解析】（）因为 , , .P A A B C D B D A B C D P A B D 平 面 平 面 所 以 又 ,AC BD PA AC 是平面 PAC 内的两条相较直线，所以 BD 平面 PAC， 而 PC 平面 PAC，所以 BD PC . （）设 AC 和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（）知， BD 平面 PAC， 所以 DPO 是直线 PD 和平面
24、PAC 所成的角，从而 DPO 30 . 由 BD 平面 PAC， PO 平面 PAC，知 BD PO . 在 Rt POD 中，由 DPO 30 ，得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形， AC BD ，所以 ,AOD BOC均为等腰直角三角形， 从而梯形 ABCD 的高为 1 1 1 ( 4 2 ) 3 ,2 2 2A D B C 于是梯形 ABCD 面积 1 ( 4 2 ) 3 9 .2S 在等腰三角形中， 2 , 2 2 ,2O D AD 所以 222 4 2 , 4 .P D O D P A P D A D 故四棱锥 P ABCD 的体积为 11 9 4 1 233V
25、S P A . 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算 .第一问只要证明 BD 平面 PAC 即可，第二问由（）知， BD 平面 PAC，所以 DPO 是直线 PD和平面 PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由 13V S PA 算得体积 . 20.（本小题满分 13 分） 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 .该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50 .预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 .公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产 .设第 n 年年底企
26、业上缴资金后的 剩余资金为 an万元 . （）用 d 表示 a1， a2，并写出 1na 与 an的关系式； （）若公司希望经过 m（ m 3）年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值（用 m表示） . 【解析】（）由题意得 1 2 0 0 0 (1 5 0 % ) 3 0 0 0a d d ， 2 1 13(1 5 0 % ) 2a a d a d ， 1 3(1 5 0 % ) 2n n na a d a d . （）由（）得132nna a d2 233()22na d d 233()22 na d d 1 2 213 3 3 3( ) 1 ( ) ( )2
27、 2 2 2nnad . 整理得 1133( ) ( 3 0 0 0 ) 2 ( ) 122nnna d d 13( ) (3 0 0 0 3 ) 22 n dd . 由题意， 134 0 0 0 , ( ) ( 3 0 0 0 3 ) 2 4 0 0 0 ,2 nna d d 解得 13( ) 2 1 0 0 01 0 0 0 ( 3 2 )23 32( ) 12nnnnnnd. 故该企业每年上缴资金 d 的值为缴 11000(3 2 )32nnnn 时，经过 ( 3)mm 年企业的剩余资金为元 . 【点评】本题考查 递推数列问题在实际问题中的应用 ，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问
28、题的能力 .第一问建立数学模型，得出 1na 与 an的关系式1 32nna a d ，第二问，只要把第一问中的1 32nna a d 迭代 ，即可以解决 . 21.（本小题满分 13 分） 在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 12 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C： x2+y2-4x+2=0的圆心 .中国教育出 %版网 *& （）求椭圆 E 的方程； （）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 12 的直线 l1， l2.当直线 l1， l2都与圆 C 相切时，求 P 的坐标 . 【解析】（）由 22 4 2 0x y x ，得 22( 2) 2xy .故圆的圆心
29、为点 (2,0), 从而可设椭圆的方程为 22 1( 0 ),xy abab 其焦距为 2c ，由题设知 2 2 212 , , 2 4 , 1 2 .2cc e a c b a ca 故椭圆的方程为： 221.16 12xy （）设点 p 的坐标为 00( , )xy ， 12,ll的斜分率分别为 12,.kk 则 12,ll的方程分别为1 0 1 0 2 0 2 0: ( ) , : ( ) ,l y y k x x l y y k x x 且 121.2kk 由 1l 与圆 22: ( 2) 2c x y 相切，得 1 0 1 0212 21k y k xk ， 即 2 2 20 1 0
30、 0 2 0( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2 0 .x k x y k y 同理可得 2 2 20 2 0 0 2 0( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2 0x k x y k y . 从而 12,kk是方程 0 2 20 0 0 0( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2 0x k x y k y 的两个实根，于是 202200( 2 ) 2 0 ,8 ( 2 ) 2 0 ,xxy 且 2012 22 2 2.( 2 ) 2ykk x 由220020201,16 122 1(2 ) 2 2xyyx 得 2005 8 36 0.xx 解得 0 2,x 或0 10.5x 由 0 2x 得 0 3;y
31、由0 185x得0 57,5y 它们满足式，故点的坐标为 ( 2,3) ，或 ( 2, 3) ，或 18 57( , )55，或 18 57( , )55 . 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法 .第一问根据条件设出椭圆方程，求出 ,cab 即得椭圆 E 的方程，第二问设出点 P 坐标，利用过 P 点的两条直线斜率之积为 12 ，得出关于点 P 坐标的一个方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点 P 坐标 . 22.（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=ex-ax，其中 a 0.#中国 教育出版
32、 &网 （ 1）若对一切 x R， f(x) 1 恒成立，求 a 的取值集合； z （ 2)在函数 f(x)的图像上去定点 A（ x1, f(x1)） ,B(x2, f(x2)(x1x2)，记直线 AB 的斜率为 k，证明：存在 x0（ x1,x2） ,使 0()f x k 恒成立 . 【解析】解： ( ) ,xf x e a 令 ( ) 0 lnf x x a 得 . 当 lnxa 时 ( ) 0, ( )f x f x 单调递减；当 lnxa 时 ( ) 0, ( )f x f x 单调递增，故当 lnxa时， ()fx取最小值 (ln ) ln .f a a a a 于是对一切 , (
33、) 1x R f x恒成立，当且仅当 ln 1a a a. 令 ( ) ln ,g t t t t 则 ( ) ln .g t t 当 01t 时， ( ) 0, ( )g t g t 单调递增；当 1t 时， ( ) 0, ( )g t g t 单调递减 . 故当 1t 时， ()gt 取最大值 (1) 1g .因此，当且仅当 1a 时，式成立 . 综上所述， a 的取值集合为 1 . （）由题意知， 21212 1 2 1( ) ( ) .xxf x f x eekax x x x 令 2121( ) ( ) ,xxx eex f x k e xx 则 1 211 2 121( ) ( )
34、 1 ,x xxex e x xxx 2 122 1 221( ) ( ) 1 .x xxex e x xxx 令 ( ) 1tF t e t ，则 ( ) 1tF t e . 当 0t 时， ( ) 0, ( )F t F t 单调递减；当 0t 时， ( ) 0, ( )F t F t 单调递增 . 故当 0t ， ( ) (0) 0,F t F即 1 0.tet 从而 21 21( ) 1 0xxe x x ， 12 12( ) 1 0 ,xxe x x 又 1210,xexx 2210,xexx所以 1( ) 0,x 2( ) 0.x 因为函数 ()yx 在区间 12,xx 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 0 1 2( , )x x x 使 0( ) 0,x 即 0()f x k 成立 . 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法 .第一问利用导函数法求出 ()fx取最小值(ln ) ln .f a a a a 对一切 x R， f(x) 1恒成立转化为 min( ) 1fx 从而得出求 a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断 .
