1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学理科 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 第卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 如果事件 A， B 相互独立，那么 (
2、 ) () ()PA B PA PB=+U ( ) ()().PAB PAPB= 棱柱的体积公式 .VSh= 圆锥的体积公式1.3VSh= 其中 S 表示棱柱的底面面积 其中 S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h表示圆锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1 i是虚数单位，复数131ii= A 2 i+ B 2 i C 12i+ D 12i 2设 ,x yR 则“ 2x 且 2y ”是“224xy+ ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 i的值为 A 3 B 4
3、 C 5 D 6 4已知 na 为等差数列，其公差为 -2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，nS 为 na 的前 n项和，*nN ，则10S 的值为 A -110 B -90 C 90 D 110 5在622xx的二项展开式中，2x 的系数为 A154 B154C38 D386如图，在 ABC 中， D是边 AC 上的点，且 ,2 3 , 2ABCDAB BDBC BD= =，则 sinC的值为 A33B36C63D667已知324log 0.3log 3.4 log 3.615,5, ,5abc=则 A abc B bac C acb D cab 8 对实数 a 和 b ，定义运算“ ”
4、：,1,1.aa babba b=设函数()()22() 2 , .f xx xxxR= 若函数 ()yfxc= 的图像与 x轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是 A (3,2 1,2 B (3,2 1,4 C111, ,44 + D311, ,44 + 第II卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法 从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人 数为 _ 10一个几何体的三视图如右图所示（单位： m ） ，则该几何体的体积 为 _3m 11已知抛物线 C的参数方程为28,8.x
5、tyt =（ t为参数）若斜率为 1 的 直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆()2224(0)xyrr += 相切， 则 r =_. 12如图，已知圆中两条弦 AB与 CD相交于点 F ， E是 AB延长线上一 点，且 2, : : 4:2:1.DF CF AF FB BE= = 若 CE与圆相切，则 线段 CE的长为 _. 13已知集合1|3 49, |4 6,(0,)AxRx x BxRxt tt = + = =+ ，则集合AB =_. 14已知直角梯形 ABCD中， AD / BC ,090ADC=, 2, 1AD BC= = , P是腰 DC 上的动点，则 3PA PB+uuuruur
6、的最小值为 _. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 () tan(2 ),4fx x=+ （）求 ()f x 的定义域与最小正周期； （ II）设 0,4，若 () 2cos2,2f= 求 的大小 16 （本小题满分 13 分） 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱） （）求在 1 次游戏中， （ i）摸出
7、3 个白球的概率； （ ii）获奖的概率； （）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 ()EX . 17 （本小题满分 13 分）如图，在三棱柱111ABC ABC 中， H 是正方形11AAB B的中心，122AA = ，1CH平面11AAB B，且15.CH= （）求异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值； （）求二面角11 1AAC B 的正弦值； （）设 N 为棱11BC 的中点，点 M 在平面11AAB B内，且 MN 平面11ABC，求线段 BM 的 长 18 （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy中，点 (,)Pab (0)ab 为动点，12,FF分别
8、为椭圆22221xyab+=的左右焦点已知12FPF为等腰三角形 （）求椭圆的离心率 e； （）设直线2PF 与椭圆相交于 ,AB两点， M 是直线2PF 上的点，满足 2AM BM=uuuuruuuur，求点 M 的轨迹方程 19 （本小题满分 14 分） 已知 0a ，函数2() ln , 0.fx x axx= （ ()f x 的图像连续不断） （）求 ()f x 的单调区间； （）当18a = 时，证明：存在0(2, )x + ，使03() ()2fx f= ； （）若存在均属于区间 1, 3 的 , ，且 1 ，使 () ()ff = ，证明 ln 3 ln 2 ln 253a 20
9、 （本小题满分 14 分） 已知数列 na 与 nb 满足：1123(1)0,2nnn n n n nba a b a b+ + = = ， *nN ，且 122, 4aa= （）求345,aaa的值； （）设*21 21,nn nca a nN+=+ ，证明： nc 是等比数列； （ III）设*24 2,kkSaa akN= + + 证明：4*17()6nkkkSnNa=由题意，可得212| |,PF FF= 即22() 2.ac b c+= 整理得22( ) 1 0, 1cc caa a+= =得 （舍） ， 或1.2ca= 所以1.2e= （ II）解：由（ I）知 2, 3,acb
10、c= 可得椭圆方程为22 23412,x yc+= 直线 PF2方程为 3( ).yxc= A， B 两点的坐标满足方程组22 23412,3( ).x ycyxc +=消去 y 并整理，得2580.xcx= 解得1280, .5x xc= 得方程组的解21128,0,53, 3 3.5xcxycyc=不妨设833(, ),(0, 3)55Ac cB c 设点 M 的坐标为833(, ), ( , ), (, 3)55x yAMxcy cBMxy c= = +uuuur uuuur则 ， 由33( ), .3y xc cx y= =得 于是83 3 8 33(,),15 5 5 5AM y x
11、 y x=uuuur(, 3).BMxx=uuuur由 2,AM BM=uuuuruuuur即83 3 8 33()()3215 5 5 5yxx y x x+ =， 化简得218 16 3 15 0.xxy= 将2218 15 3 10 5,0.31616 3ycxycxx+=代入 得 所以 0.x 因此，点 M 的轨迹方程是218 16 3 15 0( 0).xxy x= 19本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法 .满分 14 分 . （ I）解：2112( ) 2 , (0,
12、)2axfx ax xx= = +， 令2( ) 0, .2afxa= 解得x= 当 x 变化时， ( ), ( )f xfx的变化情况如下表： x 2(0, )2aa22aa2(,)2aa+ ( )f x + 0 - ()f x 极大值 所以， ()f x 的单调递增区间是2(0, ), ( )2af xa的单调递减区间是2(,).2aa+ （ II）证明：当211,() ln .88afxxx=时 由（ I）知 ()f x 在（ 0， 2）内单调递增， 在 (2, )+ 内单调递减 . 令3() () ( ).2gx fx f= 由于 ()f x 在（ 0， 2）内单调递增， 故3(2)
13、( ),2ff 即g(2)0. 取234192,() 0.23exe gx= = 且 即可） （ III）证明：由 () ()ff = 及（ I）的结论知22aa ， 从而 () , fx 在 上的最小值为 ().f a 又由 1 ， ,1,3, 知 123. 故(2)()(1),ln24 ,(2)()(3).ln24ln39.fff aaf ff a a 即 从而ln 3 ln 2 ln 2.53a 20本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 .满分 14 分 . （ I）解：由*3(1),2nnbnN+=
14、可得1,nnb=为奇数2,n为偶数又1120,nn n n nba a b a+ = 12 3 1 2 3234 434 5 43;5;4.=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a当n=2时,2a +a +a =0,可得a当n=3时,a +a +2a =0,可得a（ II）证明：对任意*,nN 21 2 2120,nnnaaa+ = 2212220nn naa a+= 21 22 2320,nn naa a+ += ，得 223.nnaa+= 将代入，可得21 23 21 21()nn nnaa aa+ +=+ 即*1()nnccnN+= 又1131, 0,ncaa=
15、+= 故c 因此11, nnnccc+= 所以 是等比数列 . （ III）证明：由（ II）可得21 21(1)kkkaa+ = ， 于是，对任意*2kN k且 ，有 13355723 211,()1,1,(1)( ) 1.kkkaaaaaaaa+=+=+=+=M将以上各式相加，得121(1) ( 1),kkaak+ = 即121(1) ( 1)kkak+= + ， 此式当 k=1 时也成立 .由式得12(1) ( 3).kkak+= + 从而22468 424()()( ),kkSaaaa aa k=+ + =L 21 2 43.kkkSSak=+ 所以，对任意*,2nNn， 443 42
16、 41 41143 42 41 4()nnkmmmmkmkmmmmSSSSSaaaaa=+122212322222123nmmmm mmm m m=+=+123()2(2 1) (2 2)(2 2)nmmm m m=+225 323 2(2 1) (2 2)(2 3)nmmm n n=+ +215 33(1)(21)(22)(23)nmmm nn=+ + +15 11 11 1 1 3( ) ( ) ( )3 2 3 5 5 7 2 1 2 1 (2 2)(2 3)nn nn=+ + + + +L 155 1 33622 1(2 2)(2 3)7.6nnn=+ + +对于 n=1，不等式显然成立 . 所以，对任意*,nN 21 21212 212nnnnSSSSaa a a+ +L 321212 412 34 212()()( )nnnnSSSSS Saa aa a a=+ +L 22 211 1 2 1(1 ) (1 ) (1 )412 4 4 (4 1) 4 (4 1)nnn= + + L 22211 1 2 1()( )( )412 4 4(4 1) 4 4(4 1)nnnnn= + + +L 11 1() .412 3nn + =
