1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页，满分 150 分。考试用时 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉
2、原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按能上能下要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 柱体的体积公式： VSh= ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高。 圆柱的侧面积公式： Scl= ，其中 c 是圆柱的底面周长， l是圆柱的母线长。 球的体积公式：343VR= ，其中 R 是球的半径。 球的表面积公式：24SR= ， 其中 R 是球的半径。 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241,niiinixy nxybaybxxnx= =， 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（
3、A） +P（ B） 第卷 （共 60 分） 一、选择题：本大题共l0小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1设集合 M =x|（ x+3） （ x-2） 0）在区间 0,3 上单调递增，在区间 ,32 上单调递减，则 = A23B32C 2 D 3 7设变量 x， y 满足约束条件250200xyxyx+，则目标函数 231zxy= +的最大值为 A 11 B 10 C 9 D 8 5 8某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程ybxa=+中
4、的b为 9 4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A 63 6 万元 B 65 5 万元 C 67 7 万元 D 72 0 万元 9设 M（0x ，0y ）为抛物线 C：28x y= 上一点， F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则0y 的取值范围是 A （ 0， 2） B 0， 2 C （ 2， +） D 2， +） 10函数 2sin2xyx= 的图象大致是 11下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如下图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如
5、下图其中真命 题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 12设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13 12AAAA=uuuuv uuuuv（ R） ，14 12A AAA=uuuuv uuuuv（ R） ，且112+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点 C（ c， o） ,D（ d， O） （ c， dR）调和分割点 A（ 0， 0） ， B（ 1， 0） ，则下面说法正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C， D 可能同时在线段 AB 上 D C， D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 第II卷
6、（共 90 分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、 150、 400、 300 名学生， 为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽 取 40 名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 14执行右图所示的程序框图，输入 l=2， m=3， n=5，则输出的 y 的值 是 15已知双曲线22221( 0 b 0)xyaab=， 和椭圆22xy=116 9+ 有相同的 焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程 为 16已知函数 fx（） =log ( 0 a 1).axxba+ ，且 当 2 a 3
7、 b 4 时，函数 fx（） 的零点*0(, 1), , n=xnn nN+则 三、解答题：本大题共6小题，共74分 17 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知cosA-2cosC 2c-a=cosB b （ I）求sinsinCA的值； （ II）若 cosB=14， 5bABCnull 的周长为 ，求 的长. 18 （本小题满分 12 分） 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 （ I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率；
8、 （ II）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱台111 1ABCD ABC D 中，1DD平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形， AB=2AD ，11AD=A B ， BAD= 60 （）证明：1AA BD ； （）证明：11CC A BD平面 20 （本小题满分 12 分） 等比数列 na 中，123,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,aaa中的任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8
9、 18 （）求数列 na 的通项公式； （）若数列 nb 满足： (1)lnnnn nba a=+ ，求数列 nb 的前 2n项和2nS 21 （本小题满分 12 分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且 2lr 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 (3)cc 设该容器的建造费用为 y 千元 （）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （）求该容器的建造费用最小时的 r 22 （本小题满分 14 分）
10、 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆22:13xCy+ = 如图所示，斜率为 (0)kk 且不过原点的直线 l交椭圆 C于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 E ，射线 OE 交椭圆 C于点 G，交直线 3x= 于点 (3, )Dm （）求22mk+ 的最小值； （）若2OG OD= OE ， （ i）求证：直线 l过定点； （ ii）试问点 B ， G能否关于 x轴对称？若能，求出此时 ABGnull 的外接圆方程；若不能， 请说明理由 参考答案 一、选择题 ADDCABBBCCAD 二、填空题 13 16 14 68 1522143xy= 16 2 三、解答题 17解： （ I）由正
11、弦定理，设 ,sin sin sinabckABC= 则2 2 sin sin 2sin sin,sin sinca k Ck A C AbkB B = 所以cos 2cos 2sin sin.cos sinA CCABB= 即 (cos 2cos )sin (2sin sin )cosA CB C AB=， 化简可得 sin( ) 2sin( ).A BBC+= + 又 ABC+=， 所以 sin 2sinCA= 因此sin2.sinCA= （ II）由sin2sinCA= 得 2.ca= 由余弦定得及1cos4B = 得 22222222cos14444.bac acBaaaa=+=+ =
12、所以 2.ba= 又 5,abc+= 从而 1,a = 因此 b=2。 18解： （ I）甲校两男教师分别用 A、 B 表示，女教师用 C 表示； 乙校男教师用 D 表示，两女教师分别用 E、 F 表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为： （ A， D） （ A， E） ， （ A， F） ， （ B， D） ， （ B， E） ， （ B， F） ， （ C， D） ， （ C， E） ， （ C， F）共 9种。 从中选出两名教师性别相同的结果有： （ A， D） ， （ B， D） ， （ C， E） ， （ C， F）共 4 种， 选出的两名教师性别相同的概率为
13、4.9P = （ II）从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为： （ A， B） ， （ A， C） ， （ A， D） ， （ A， E） ， （ A， F） ， （ B， C） ， （ B， D） ， （ B， E） ， （ B， F） ， （ C， D） ， （ C， E） ， （ C， F） ， （ D， E） ， （ D， F） ， （ E， F）共 15 种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （ A， B） ， （ A， C） ， （ B， C） ， （ D， E） ， （ D， F） ， （ E， F）共 6 种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为62.
14、15 5P = = 19 （ I）证法一： 因为1DD平面 ABCD，且 BD平面 ABCD， 所以1DD BD ， 又因为 AB=2AD， 60BAD=， 在 ABD 中，由余弦定理得 222 22 cos60 3BDADAB ADAB AD=+ = ， 所以222AD BD AB+=， 因此 ADBD ， 又1,AD D D D=I 所以11.BDADA平面 又1AA 平面 ADD1A1， 故1.AA BD 证法二： 因为1DD平面 ABCD，且 BD平面 ABCD， 所以1.BDDD 取 AB 的中点 G，连接 DG， 在 ABD 中，由 AB=2AD 得 AG=AD， 又 60BAD=
15、，所以 ADG 为等边三角形。 因此 GD=GB， 故 DBG GDB=， 又 60AGD= 1,DD =I所以 GDB=30 ,故 ADB= ADG+ GDB=60 +30 =90 ,所以BD AD.又AD D所以 BD平面 ADD1A1， 又1AA 平面 ADD1A1， 故1.AA BD （ II）连接 AC， A1C1， 设 AC BD E=I ，连接 EA1因为四边形 ABCD 为平行四边形， 所以1.2ECAC= 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1知 A1C1/EC 且 A1C1=EC， 所以边四形 A1ECC1为平行四边形， 因此 CC1/EA1， 又因为 EA1平面 A1BD
16、，1CC 平面 A1BD， 所以 CC1/平面 A1BD。 20解： （ I）当13a = 时，不合题意； 当12a = 时，当且仅当236, 18aa=时，符合题意； 当110a = 时，不合题意。 因此1232, 6, 18,aaa= 所以公式 q=3， 故123 .nna= （ II）因为 (1)lnnnn nba a=+ 111123 (1)(23 )23 (1)ln2 ( 1)ln32 3 ( 1) (ln 2 ln3) ( 1) ln3,nnnnnnn nnn= + = + + = + +所以 212 221 22(1 3 3 ) 111 (1) (ln2 ln3)nnnnSbb
17、b=+=+ + LLL2| 1 2 3 ( 1) 2 ln3nn+ +L 22132ln3133ln31.nnnn= +=+ 21解： （ I）设容器的容积为 V， 由题意知23480,33Vrl rV=+ =又 故322 2480 4 4 203()333Vrlrrrr r= 由于 2lr 因此 02.r所以 当3320 200, .22rrcc= =时 令320,2mc=则 所以2228( 2) ( )( ).cyrmrmr =+ （ 1）当9022mc即 时， 当r=m时,y=0;当r (0,m)时,y0.所以 rm= 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。 （ 2）当 2m 即932c
18、 时，建造费用最小时320.2rc=22 （ I）解：设直线 (0)lykxtk=+ 的方程为 ， 由题意， 0.t 由方程组22,1,3y kx txy=+=得 22 2(3 1) 6 3 3 0kxktxt+=， 由题意 0 ， 所以2231.kt+ 设11 2 2(, ),(, )Ax y Bx y ， 由韦达定理得12 26,31ktxxk+=+所以12 22.31tyyk+=+由于 E 为线段 AB 的中点， 因此223,31 31EEkt txykk=+此时1.3EOEEykx k= 所以 OE 所在直线方程为1,3yxk= 又由题设知 D（ -3， m） ， 令 x=-3，得1m
19、k= ， 即 mk=1， 所以2222,mk mk+ = 当且仅当 m=k=1 时上式等号成立， 此时 由 0 得 02,t 解得2231(,)3131kGkk+又2231(,),(3,)3131ktEDkk k+， 由距离公式及 0t 得 2222222222222223191|( )( ) ,3131 31191|(3)() ,391|( )( ) ,31 31 31OGkkkkODkkkt t t kOEkk+= + =+=+ =+= + =+由2| ,OG OD OE t k= =得 因此，直线 l的方程为 (1).ykx=+ 所以，直线 (1,0).l 恒过定点 （ ii）由（ i）
20、得2231(,)3131kGkk+若 B， G 关于 x 轴对称， 则2231(,).31 31kBkk+代入22(1) 3 1 3 1,ykx k kk=+ = +整理得 即426710kk+=， 解得216k = （舍去）或21,k = 所以 k=1， 此时31 31(,),(,)22 22BG 关于 x 轴对称。 又由（ I）得110, 1,xy=所以 A（ 0， 1） 。 由于 ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上，可设 ABG 的外接圆的圆心为（ d， 0） ， 因此2231 11( ) , ,24 2dd d+= + + =解得 故 ABG 的外接圆的半径为2512rd=+=， 所以 ABG 的外接圆方程为2215() .24xy+=
