1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科） 本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处 ”。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉
2、原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂。答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体体积公式 V=13Sh,其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高。 线性回归方程 y bx a= + 中系数计算公式121(1 )(1 ),(1 )ninixxyybabxx= =样本数据 x1,x2,， xa 的标准差，211()2(2)()nx xxxxxn+ 其中 ,x y表示样本均值。 N是正整数，则12 21()( ab
3、 )nn nnnnab aba ab b = + + + 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设复数 z 满足 iz=1，其中 i 为虚数单位，则 A -i B i C -1 D 1 2已知集合 A= (, ) ,x yxy为实数，且221xy+ = ， B= (, ) ,xy xy为实数， 且 1x y+=则 AB的元素个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 3已知向量 a=（ 1,2） ， b=（ 1,0） ， c=（ 3,4） 。若 为实数， （ ()ab+ c ） ，则 = A 14B12C 1 D 2 4函数1
4、() lg(1 )1f xxx=+的定义域是 A (,1) B （ 1， +） C （ -1， 1）（ 1， +） D （ -， +） 5不等式 2x2-x-10 的解集是 A1(,1)2 B （ 1， +） C （ -， 1）（ 2， +） D1(, )(1,)2 + 6已知平面直角坐标系 xOy上的区域 D 由不等式yxxx2220给定，若 M（ x， y）为 D 上的动点，点 A 的坐标为 (2,1)，则 z=OM OA的最大值为 A 3 B 4 C 3 2 D 4 2 7正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A 20
5、B 15 C 12 D 10 8设圆 C 与圆 x2+（ y-3）2=1 外切，与直线 y =0 相切，则 C 的圆心轨迹为 A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆 9如图 1-3，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 A 34 B 4 C 32 D 2 10设 f（ x） ， g（ x） ， h（ x）是 R 上的任意实值函数，如下定义两个函数 ()()f gxo 和 ()()f xx ；对任意 x R ， （ fg） （ x） = ()f gx ； （ fg） （ x） = ()()f xgx则下列恒等式成立的是 A ( ) )() (
6、) ( )()f ghx fh ghx= oo B ( ) )() ( )( )()f ghx fhghx=ooo C ( ) )( ) ( ) ( )( )f ghx fh ghx=oo ooo D ( ) )() ( )( )()f ghx fh ghx = 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 11已知 na 是同等比数列， a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=_ 12设函数3() cos 1f xx x=+,若 () 11fa= ,则 f（ -a） =_ 13为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到5
7、 号每天打篮球时间 x（单位：小时）与当天投篮命中率 y 之间的关系： 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 0 4 0 5 0 6 0 6 0 4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 _;用线性回归分析的方法， 预测小李每月 6 号打篮球 6 小时的投篮命中率为 _ （二）选择题（ 14-15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为=sincos5y（ 0 0，数列 na 满足 a1=b,11(2)1nnnnbaanan=+ （ 1）求数列na 的通项公式； （ 2）证明：对于一切正整数 n， 2anbn1+1 21 （本小题满分 14 分） 在平
8、面直角坐标系 xOy 中，直线 :2lx= 交 x轴于点 A，设 P 是 l上一点， M 是线段 OP 的垂直平分线上一点，且满足 MPO= AOP （ 1）当点 P 在 l上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）已知 T（ 1， -1） ，设 H 是 E 上动点 ,求 HO + HT 的最小值，并给出此时点 H 的坐标； （ 3）过点 T（ 1， -1）且不平行与 y 轴的直线 l1与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线1l的斜率 k 的取值范围。 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分。 A 卷： 1 5DBCBA
9、6 10CADCB 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共 5 小题，每小题 5 分，满分 20分，其中 14 15 题是选做题，考生只能选做一题。 11 2 12 -9 13 0.5， 0.53 14251,515 7： 5 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16 （本小题满分 12 分） 解： （ 1） (0) 2sin6f=2sin 16= = ； （ 2）10 132sin3 2sin,13 2 3 2 6f =+= += Q 61(3 2 ) 2sin (3 2 ) 2sin 2cos ,536f =+= +=
10、 +=53sin ,cos ,13 5 = 22512cos 1 sin 1 ,13 13 = = =2234sin 1 cos 1 ,55= = =故5312463sin( ) sin cos cos sin .13 5 13 5 65 += + =+= 17 （本小题满分 13 分） 解： （ 1）611756nnxx=Q 5616 6 75 70 76 72 70 72 90,nnxxx= = =6222222111()(5135315)4966nnsxx= = + =， 7.s = / （ 2）从 5 位同学中随机选取 2 位同学，共有如下 10 种不同的取法： 1， 2， 1， 3，
11、 1， 4， 1， 5， 2， 3， 2， 4， 2， 5， 3， 4， 3， 5， 4， 5， 选出的 2 位同学中，恰有 1 位同学的成绩位于（ 68， 75）的取法共有如下 4 种取法： 1， 2， 2， 3， 2， 4， 2， 5， 故所求概率为2.518 （本小题满分 13 分） 证明： （ 1）null null,A ACDCDQ 分别为 中点， 11/OA OA 连接 BO2 Q直线 BO2是由直线 AO1平移得到 12/AO BO 12/OA BO 12, ,OAOB 共面。 （ 2）将 AO1延长至 H 使得 O1H=O1A，连接1,HO HB H H 由平移性质得12OO=
12、HB 21/BOHO 11,2AG HO HH AH OHH GAH =Q 1GA H O H H 12HO H GHA+= 1OH HG 2BOHG 12 2 12 22 2 22 2,OO BO OO OO BO OO O =Q 12 22OO BBOO 平面 12 2OO BO 2BOHB HB HG H =Q 2.BOHBG 平面 19 （本小题满分 14 分） 解：函数 ()f x 的定义域为 (0, ).+ 22(1) 2(1)1() ,aax axfxx+ = 当212(1)10+=时,方程2a(1-a)x 的判别式 112( 1) .3aa= 当10,0,()3afx时 有两个
13、零点， 12( 1)(3 1) ( 1)(3 1)110,22(1) 22(1)aa aaxxaaa aaa =+ 且当12 120 , () 0, () (0, ) ( , )xxxx fx fx x x +或时 在与 内为增函数； 当12 12,()0,()(,)x xx fx fx xx +时在内为增函数； 当1( 1)(3 1)11 , 0, 0,22(1)aaaxaaa = 时 2(1)(31)10, ( )22(1)aax fxaaa=+ 时在内为增函数；当1x x 时，1() 0, () ( , )fx fx x 1(0, )x 12(, )x x 2(, )x + (0, )+
14、 1(0, )x 1(, )x + （其中12( 1)(3 1) ( 1)(3 1)11,22(1) 22(1)aa aaxxaaa aaa = =+ ） 20 （本小题满分 14 分） 解： （ 1）由1110, 01nnnnbaab aan= = +知 111 1nnnnabba=+ 令11,nnnAAab= 当1112,nnnA Abb=+时 111111nnAb bb=+ +L 1111.nnb bb=+ +L 当11111,1(1)1nnnnbb bbAbbb= =时 当 1b = 时， .nAn= (1),111, 1nnnnb bbabb =（ 2）当12(1)1,( 2 1,1
15、nnnnnb bba bb+=时欲证 只需112(1)1nnnbnb bb+12211121(1) 11nnnnnnnbbbbbbbb+=+ +QLL 1111 1nn nnnbb b bbbb=+L (2 2 2)nb+L 2,nnb= 12(1)21.1nnnnnb babb+ =+ 综合可得， |HO|+|HT|的最小值为 3，且此时点 H 的坐标为3,1.4 （ 3）由图 3 知，直线1l 的斜率 k 不可能为零。 设1:1(1)(0).ly kx k+= 故11(1)1,x yEk=+代入 的方程得：24480.yykk += 因判别式2216 4 448 2280.kkk= + + = + + 所以1l 与 E 中的 E1有且仅有两个不同的交点。 又由 E2和1l 的方程可知，若1l 与 E2有交点， 则此交点的坐标为1211 1,0 , 1. 0 ,2kkklE+ 且即当 时与 有唯一交点1,0kk+，从而1l 表三个不同的交点。 因此，直线1lk斜率 的取值范围是1(, (0,).2 +
