2011年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学试卷.pdf

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1、绝密启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考试结束后, 考试注意 : 1答题前,考生在答题卡上务必将自己的准考证 号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致. 2.第 I 卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答

2、题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束后,监考员将试题卷、答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据(11, yx ) , (22, yx ) ,., (nnyx , ) 的线性相关系数 =niiniiniiiyyxxyyxxr12121)()()(其中 nxxxxn+=.21nyyyyn+=.21锥体的体积公式 13VSh= 其中 S 为底面积, h为高 第卷 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5 分 ,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若iiz21+= ,则复数z = ( ) A. i2 B. i+2 C. i2 D. i+2

3、 答案: C 解析: iiiiiiiz =+=+= 21222122(2) 若集合 02|,3121| =+=xxxBxxA ,则 BA = ( ) A. 01| +0,211120,012log21xxx(4) 若xxxxf ln42)(2= ,则 0)( xf 的解集为 ( ) A. (0, + ) B. (-1,0)(2, + ) C. (2, + ) D. (-1,0) 答案: C 解析:()()() 2,012,0,02,04222+=xxxxxxxxxxfQ(5) 已知数列 na 的前 n项和nS 满足:mnmnSSS+=+ ,且 11=a ,那么 =10a ( ) A. 1 B.

4、 9 C. 10 D. 55 答案: A 解析: 11,41,31,2104314321321212=+=+=+=aaSSSaSSSaSaaSLQQQ(6) 变 量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对 应的一组数据为(10,5),(11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1).1r 表示变量Y与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V与U 之间的线性相关系数,则 ( ) A. 0129,输出。 ( PS:此题实质是 2010 江苏理科卷第 7 题得翻版,同时在我们寒假题海

5、班,理科讲义的第 200 页的第 6 题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到,应该也是灰常熟悉的。并且框图本来就是你们的拿手菜,所以最对也不觉奇怪。 ) 14.若椭圆 12222=+byax的焦点在 x 轴上,过点 )21,1( 作圆 122=+ yx 的切线,切点分别为A, B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 . 答案: 14522=+yx解析:设过点( 1,21)的直线方程为:当斜率存在时,21)1( += xky , 根据直线与圆相切,圆心( 0,0)到直线的距离等于半径 1 可以得到 k=43 ,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标 (54,53) , 当斜率不存在

6、时, 直线方程为: x=1, 根据两点 A:( 1,0) , B:(54,53)可以得到直线: 2x+y-2=0,则与 y 轴的交点即为上顶点坐标( 2,0) 2=b ,与 x 轴的交点即为焦点 1=c ,根据公式 5,5222=+= acba ,即椭圆方程为: 14522=+yx( PS:此题可能算是填空题,比较纠结的一道,因为要理清思路,计算有些繁琐。但是,是不是就做不出来呢,不是的,在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型,也就在理科教材第 147页第 23 题。所以最纠结的一道高考题也不过如此,你们还怕什么?) 三 .选做题:请考生在下列两题中任选一题作答 .若两题都做,则按做的第

7、一题评阅计分 .本题共 5 分 . 15( 1).(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为 cos4sin2 += ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则改曲线的直角坐标方程为 . 答案: 02422=+ yxyx 。解析:做坐标系与参数方程的题,大家只需记住两点: 1、 sin,cos = yx , 2、222yx += 即可。根据已知 cos4sin2 += = ,4y2,42222yxxxy+=+=+ 化简可得: 所以解析式为: 02422=+ yxyx 15 (2).(不等式选择题)对于实数x,y,若 11 x , 12 y ,则 12 + yx 的最大值为 .

8、( 2)此题,看似很难,但其实不难,首先解出 x 的范围, 20 x ,再解出 y 的范围, 31 y ,最后综合解出 x-2y+1 的范围 1,5 ,那么绝对值最大,就去 5 ( PS: 此题作为最后一题,有失最后一题的分量,大家从解题步骤就可看出。所以高考注重的还是基础 +基础! ) 四 .本大题共 6 小题,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.(本小题满分 12 分) 某饮料公司招聘一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别 .公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品

9、尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 .若 4 杯都选对,则月工资定为 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元;否则月工资定为 2100 元 .令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数 .假设次人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 . ( 1)求 X 的分布列; ( 2)求此员工月工资的期望 . 解答: ( 1)选对 A 饮料的杯数分别为 0= , 1= , 2= , 3= , 4= , 其概率分布分别为: ()7010484404=CCCP , ()70161483414=CCCP , ()70362482424=CCCP ,()70163481434=CCC

10、P , ()7014484404=CCCP 。 ( 2) () 2280210070170167036280070163500701=+= 。 17.(本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 CBA , 的对边分别是 cba , ,已知2sin1cossinCCC =+ . ( 1)求 Csin 的值; ( 2)若 8)(422+=+ baba ,求边 c的值 . 解: ( 1)已知2sin1cossinCCC =+ 2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin22222CCCCCCC+=+ 整理即有: 012sin22cos22sin02sin2sin22cos2sin22=

11、+=+CCCCCCC又 C 为 ABC 中的角, 02sin C412sin2cos2cos2sin2412cos2sin212cos2sin222=+=CCCCCCCC43sin432cos2sin2 = CCC( 2) ()8422+=+ babaQ ( ) ( ) 2,2022044442222=+=+ babababa 又47sin1cos2= CCQ , 17cos222=+= Cabbac 18.(本小题满分 12 分) 已知两个等比数列 na , nb ,满足 3,2,1),0(3322111= abababaaa . ( 1)若 a =1,求数列 na 的通项公式; ( 2)若

12、数列 na 唯一,求 a的值 . .解: ( 1) 当 a=1 时,332213,2,21 ababab +=+=+= , 又 nnba ,Q 为等比数列, 不妨设 na公比为1q ,由等比数列性质知: ( )322312232)2( aabbb +=+= ,同时又有()( ) ( ) ( ) 22322322,121212112112113112=+=+=+= qqqqaqaqaaqaa 所以: ()1,221=nann( 2 ) na 要唯一, 当公比 01q 时,由332213,2,21 ababab +=+=+= 且=3122bbb ()()( ) 01343121212121=+=+

13、 aaqaqaqaaq , 0aQ , 0134121=+ aaqaq 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根) () ( ) ( )014013442+ aaaaa ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。 当公比 01=q 时,等比数列 na 首项为 a ,其余各项均为常数 0 ,唯一,此时由()()( ) 01343121212121=+=+ aaqaqaqaaq ,可推得31,013 = aa 符合 综上:31=a 。 19.(本小题满分 12 分) 设 .22131)(23axxxxf += ( 1)若 )(xf 在 ),32( + 上存在单调递增区间,求 a的取值范围; (

14、2)当 20 += aaf ( 2)已知 0=+= aaf ( ) ,012224164+=+= aaf , () 083408162164314 = babyax上一点, NM, 分别是双曲线 E的左、右定点,直线 PNPM, 的斜率之积为51. ( 1)求双曲线的离心率; ( 2)过双曲线 E的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 BA, 两点, O为坐标原点, C为双曲线上的一点,满足 OBOAOC += ,求 的值 . 解: ( 1)已知双曲线 E: ()0,012222= babyax, ( )00, yxP 在双曲线上, M, N 分别为双曲线E 的左右顶点,所以 ()0,aM ,

15、 ( )0,aN ,直线 PM , PN 斜率之积为1551220220220200000=+=ayaxaxyaxyaxyKKPNPM而 1220220=byax,比较得5305651222222=+=aceabacab ( 2)设过右焦点且斜率为 1 的直线 L: cxy = ,交双曲线 E 于 A, B 两点,则不妨设()()2211, yxByxA ,又 ( )2121, yyxxOBOAOC +=+= ,点 C 在双曲线 E 上: ()() ( ) ( )222222121212122221221510255 ayxyyxxyxayyxx =+=+ *( 1) 又 联立直线 L 和双曲

16、线 E 方程消去 y 得: 05104222=+ accxx 由韦达定理得:452221acxx+= , ()222222121212545ccaccxxcxxyy +=+= 代入 ( 1)式得: 4-027127222222=+ ,或aaaaa 21.(本小题满分 14 分) ( 1)如图,对于任一给定的四面体4321AAAA ,找出依 次排列的四个相互平行的平面 4321, ,使 得iiA ( i=1,2,3,4) ,且其中每相邻两个平面间 的距离都相等; ( 2)给定依次排列的四个相互平行的平面4321, ,其中每相邻两个平面间的距离为 1,若一个正四面体4321AAAA 的四个顶点满足

17、:iiA ( i=1,2,3,4) ,求该正四面体4321AAAA 的体积 . 解: ( 1) 将直线41AA 三等分, 其中另两个分点依次为32, AA ,连接3322, AAAA ,作平行于3322, AAAA 的平面,分别过3322, AAAA ,即为32, 。同理,过点41, AA 作平面41, 即可的出结论。 ( 2)现设正方体的棱长为 a,若 则有,11= MNMA ,211aMA = , aEADAED2521121111=+= ,由于 ,1111111EDMAEADA = 得, 5=a , 那么,正四面体的棱长为 102 = ad ,其体积为355313= aV (即一个棱长为 a 的正方体割去四个直角三棱锥后的体积)

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