1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学试题（文科） 选择题部分（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）若 1,1Pxx Qxx=，则 A PQ B QP CRCP Q DRQCP （ 2）若复数 1zi=+， i为虚数单位，则 (1 )iz+ = A 13i+ B 33i+ C 3 i D 3 （ 3）若实数 x， y 满足不等式组250,270,0, 0,xyxyxy+ 则 3x+4y 的最小值是 A 13 B 15 C 20 D 28 （ 4）若直线 l不平行于平面 a
2、，且 la ，则 A a内的所有直线与异面 B a内不存在与 l平行的直线 C a内存在唯一的直线与 l平行 D a内的直线与 l都相交 （ 5）在 ABC 中，角 ,A BC所对的边分 ,abc若 cos sinaAbB= ，则2sin cos cosA AB+= A - 12B12C -1 D 1 （ 6）若 ,ab为实数，则 “0 ，02a （）求 )(xf 的单调区间； （）求所有实数 a，使2)(1 exfe 对 ,1 ex 恒成立 注： e为自然对数的底数 （ 22） （本小题满分 15 分）如图，设 P 是抛物线1C ：2x y= 上的动点。过点 P 做圆2C 1)3(:22=+
3、 yx 的两条切线，交直线 l： 3y = 于,A B两点。 （）求2C 的圆心 M 到抛物线 1C 准线的距离。 （）是否存在点 P ，使线段 AB 被抛物线1C 在点 P 处得切线平分，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 1 5CAABD 6 10DBDCD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 11 -1 12 1 13 600 14 5 155, 66 1623317 4 三、解答题：本大题共 5 小题，其 72 分。 （ 1）本题主要考查三角函数的图
4、象与性质、三角运算等基础知识。满分 14 分。 （）解：由题意得，26.3T= 因为 (, ) sin( )3PA y A x=+在 的图象上， 所以 sin( , ) 1.3+= 又因为 02=所以 （ 19）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分 14 分。 （）解：设等差数列 na 的公差为 d ，由题意可知2214111()aaa= 即2111()(3)ad aa d+= +，从而21ad d= 因为10, .ddaa=所以 故通项公式 .nana= （）解：记2222211 1,2nnnnTaaaa a=+
5、 =L因为 所以211(1 ( ) )11 1 1 1 1 122() ()12212nnnnTaaa=+= =L 从而，当 0a 时，11nTa时 （ 20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分 14 分。 （）证明：由 AB=AC， D 是 BC 中点，得 ADBC ， 又 PO 平面 ABC， ，得 PO BC 因为 PO AD O=，所以 BC 平面 PAD，故 .BCPA （）解：如图，在平面 PAB 内作 BMPA 于 M，连 CM。 因为 ,BCPAPA得 平面 BMC，所以 APCM。 故 BMC 为二面角 B A
6、P C 的平面角。 在222,41,41Rt ADB AB AD BD AB=+=中得 在222Rt POD PO OD=+中,PD ， 在 RtPDB 中，222PB PD BD=+， 所以222236, 6.PB PO OD BD PB=+= =得 在222,255Rt POA PA AO OP PA=+=中得 又222122cos , sin23 3PA PB ABBPA BPAPA PB+= = =从而 故 sin 4 2BM PB BPA= 同理 42.GM = 因为222BMMCBC+= 所以 90BMC= 即二面角 B AP C 的大小为 90 . （ 21）本题主要考查函数的单
7、调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分 15 分。 （）解：因为22() ln . 0fx a x x ax x=+ 其中 所以2()(2)() 2axaxafx xaxx + =+= 由于 0a ，所以 ()f x 的增区间为 (0, )a ，减区间为 (, )a + （）证明：由题意得， (1) 1 1,f ac ac= 即 由（）知 () 1,f xe在 内单调递增， 要使21() 1,efxexe 对 恒成立， 只要22 2(1) 1 1,()faef eaeaee=+解得 .ae= （ 22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位
8、置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 （）解：因为抛物线 C1的准线方程为：14y = 所以圆心 M 到抛物线 C1准线的距离为：111|(3)|.44= （）解：设点 P 的坐标为200(, )x x ，抛物线 C1在点 P 处的切线交直线 l于点 D。 再设 A， B， D 的横坐标分别为 ,ABCx xx 过点200(, )Px x 的抛物线 C1的切线方程为： 200 02( )yx xxx= （ 1） 当01x = 时，过点 P（ 1， 1）与圆 C2的切线 PA 为：151(1)8yx = 可得17,1, 1, 215ABDABDx xx xxx=
9、 = = + 当 10=x 时，过点 P（ 1， 1）与圆 C2的切线 PA 为：151(1)8yx = 可得DBADBAxxxxxx 2,1,1517,1 += 17,1, 1, 215ABDABDx xx xxx= = = + 所以2010x 设切线 PA， PB 的斜率为12,kk，则 201 0:()PA y x k x x= （ 2） 202 0:()PB y x k x x= （ 3） 将 3y = 分别代入（ 1） ， （ 2） ， （ 3）得 22200000 0 1201333(0); ; (,0)2DABxxxxxxxxx kxk+= = = 从而20012112(3)(
10、).ABxx x xkk+= + + 又201 021|3|11xk xk+=+即22 2 2201 0 010(1)2(3) (3)10xk xxkx+ += 同理，22 2 2202 0 020(1)2(3) (3)10xk xxkx+ += 所以12,kk是方程22 2 220000(1)2(3) (3)10xk xxkx+ +=的两个不相等的根，从而00 012 12222(3 ) (3 ) 1,.11xx xkk kk+= =因为02xxxBA=+ 所以22 00012 0 12 0311 11 12(3)( ) , .xxxkk x kk x+ + = + =即 从而20022002(3 ) 1(3)1xxxx+=+进而得4 4008, 8xx= 综上所述，存在点 P 满足题意，点 P 的坐标为4(8,22).
