2011年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试卷(文科).pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学试题(文科) 选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给也的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ( 1)若 1,1Pxx Qxx=,则 A PQ B QP CRCP Q DRQCP ( 2)若复数 1zi=+, i为虚数单位,则 (1 )iz+ = A 13i+ B 33i+ C 3 i D 3 ( 3)若实数 x, y 满足不等式组250,270,0, 0,xyxyxy+ 则 3x+4y 的最小值是 A 13 B 15 C 20 D 28 ( 4)若直线 l不平行于平面 a

2、,且 la ,则 A a内的所有直线与异面 B a内不存在与 l平行的直线 C a内存在唯一的直线与 l平行 D a内的直线与 l都相交 ( 5)在 ABC 中,角 ,A BC所对的边分 ,abc若 cos sinaAbB= ,则2sin cos cosA AB+= A - 12B12C -1 D 1 ( 6)若 ,ab为实数,则 “0 ,02a ()求 )(xf 的单调区间; ()求所有实数 a,使2)(1 exfe 对 ,1 ex 恒成立 注: e为自然对数的底数 ( 22) (本小题满分 15 分)如图,设 P 是抛物线1C :2x y= 上的动点。过点 P 做圆2C 1)3(:22=+

3、 yx 的两条切线,交直线 l: 3y = 于,A B两点。 ()求2C 的圆心 M 到抛物线 1C 准线的距离。 ()是否存在点 P ,使线段 AB 被抛物线1C 在点 P 处得切线平分,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1 5CAABD 6 10DBDCD 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11 -1 12 1 13 600 14 5 155, 66 1623317 4 三、解答题:本大题共 5 小题,其 72 分。 ( 1)本题主要考查三角函数的图

4、象与性质、三角运算等基础知识。满分 14 分。 ()解:由题意得,26.3T= 因为 (, ) sin( )3PA y A x=+在 的图象上, 所以 sin( , ) 1.3+= 又因为 02=所以 ( 19)本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式,等比数列的求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分 14 分。 ()解:设等差数列 na 的公差为 d ,由题意可知2214111()aaa= 即2111()(3)ad aa d+= +,从而21ad d= 因为10, .ddaa=所以 故通项公式 .nana= ()解:记2222211 1,2nnnnTaaaa a=+

5、 =L因为 所以211(1 ( ) )11 1 1 1 1 122() ()12212nnnnTaaa=+= =L 从而,当 0a 时,11nTa时 ( 20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分 14 分。 ()证明:由 AB=AC, D 是 BC 中点,得 ADBC , 又 PO 平面 ABC, ,得 PO BC 因为 PO AD O=,所以 BC 平面 PAD,故 .BCPA ()解:如图,在平面 PAB 内作 BMPA 于 M,连 CM。 因为 ,BCPAPA得 平面 BMC,所以 APCM。 故 BMC 为二面角 B A

6、P C 的平面角。 在222,41,41Rt ADB AB AD BD AB=+=中得 在222Rt POD PO OD=+中,PD , 在 RtPDB 中,222PB PD BD=+, 所以222236, 6.PB PO OD BD PB=+= =得 在222,255Rt POA PA AO OP PA=+=中得 又222122cos , sin23 3PA PB ABBPA BPAPA PB+= = =从而 故 sin 4 2BM PB BPA= 同理 42.GM = 因为222BMMCBC+= 所以 90BMC= 即二面角 B AP C 的大小为 90 . ( 21)本题主要考查函数的单

7、调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力。满分 15 分。 ()解:因为22() ln . 0fx a x x ax x=+ 其中 所以2()(2)() 2axaxafx xaxx + =+= 由于 0a ,所以 ()f x 的增区间为 (0, )a ,减区间为 (, )a + ()证明:由题意得, (1) 1 1,f ac ac= 即 由()知 () 1,f xe在 内单调递增, 要使21() 1,efxexe 对 恒成立, 只要22 2(1) 1 1,()faef eaeaee=+解得 .ae= ( 22)本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、直线与圆的位

8、置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 ()解:因为抛物线 C1的准线方程为:14y = 所以圆心 M 到抛物线 C1准线的距离为:111|(3)|.44= ()解:设点 P 的坐标为200(, )x x ,抛物线 C1在点 P 处的切线交直线 l于点 D。 再设 A, B, D 的横坐标分别为 ,ABCx xx 过点200(, )Px x 的抛物线 C1的切线方程为: 200 02( )yx xxx= ( 1) 当01x = 时,过点 P( 1, 1)与圆 C2的切线 PA 为:151(1)8yx = 可得17,1, 1, 215ABDABDx xx xxx=

9、 = = + 当 10=x 时,过点 P( 1, 1)与圆 C2的切线 PA 为:151(1)8yx = 可得DBADBAxxxxxx 2,1,1517,1 += 17,1, 1, 215ABDABDx xx xxx= = = + 所以2010x 设切线 PA, PB 的斜率为12,kk,则 201 0:()PA y x k x x= ( 2) 202 0:()PB y x k x x= ( 3) 将 3y = 分别代入( 1) , ( 2) , ( 3)得 22200000 0 1201333(0); ; (,0)2DABxxxxxxxxx kxk+= = = 从而20012112(3)(

10、).ABxx x xkk+= + + 又201 021|3|11xk xk+=+即22 2 2201 0 010(1)2(3) (3)10xk xxkx+ += 同理,22 2 2202 0 020(1)2(3) (3)10xk xxkx+ += 所以12,kk是方程22 2 220000(1)2(3) (3)10xk xxkx+ +=的两个不相等的根,从而00 012 12222(3 ) (3 ) 1,.11xx xkk kk+= =因为02xxxBA=+ 所以22 00012 0 12 0311 11 12(3)( ) , .xxxkk x kk x+ + = + =即 从而20022002(3 ) 1(3)1xxxx+=+进而得4 4008, 8xx= 综上所述,存在点 P 满足题意,点 P 的坐标为4(8,22).

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