1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页，时量 120 分钟，满分150分。 参考公式： （1）()()()PABPBAPA= ，其中 ,A B为两个事件，且 () 0PA ， （2）柱体体积公式 VSh= ，其中 S 为底面面积， h为高。 （3）球的体积公式343VR= ，其中 R为求的半径。 一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1.若 ,ab R ， i为虚数单位，且 ()aiibi+ =+，则（ ） A 1, 1ab= B 1,
2、 1ab= = C 1, 1ab= D 1, 1ab= = 答案： D 解析：因 ()1aii aibi+=+=+，根据复数相等的条件可知 1, 1ab= = 。 2.设 1, 2M = ，2Na= ，则“ 1a = ”是“ NM ”则（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 解析：因“ 1a = ” ，即 1N = ，满足“ NM ” ，反之“ NM ” ，则2=1Na= ，或2=2Na= ，不一定有“ 1a = ” 。 3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A9122 + B9182 + C 942 + D 36 18
3、 + 答案： B 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积343 9+3 3 2= 1832 2V =+（） 。 3 32正视图 侧视图 俯视图 图 1 4.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由22()()()()()nad bcKabcdacbd=+算得22110 (40 30 20 20)7.860 50 60 50K=附表： 2()PK k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的
4、正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案： C 解析：由27.8 6.635K ，而2( 6.635) 0.010PK =，故由独立性检验的意义可知选C. 5.设双曲线2221( 0)9xyaa=的渐近线方程为 32 0xy = ，则 a的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y xa= ，故可知 2a
5、 = 。 6. 由直线 ,033xxy = = = 与曲线 cosyx= 所围成的封闭图形的面积为（ ） A12B 1 C32D 3 答案： D 解析：由定积分知识可得333333cos sin | ( ) 322Sxdxx=，故选 D。 7. 设 1m ，在约束条件1y xy mxx y+下，目标函数 zxmy= + 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为（ ） A (1,1 2 )+ B (1 2 , )+ C (1, 3) D (3, )+ 答案： A 解析：画出可行域，可知 5zx y=+ 在点1(,)11mmm+取最大值，由21211mmm+ 不妨令2() lnhx x x= ，则1
6、( ) 2hx xx=，令( ) 0hx= 解得22x= ，因2(0, )2x 时， ( ) 0hx ，所以当22x= 时， |MN 达到最小。即22t = 。 二填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。 一、选做题（请考生在第 9、 10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.在直角坐标系 xoy中，曲线 C1的参数方程为cos ,1sinxy=+（ 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xoy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为 ( )cos sin
7、1 0 +=，则1C 与2C 的交点个数为 。 答案：2 解析：曲线221:(1)1Cx y+ =，2:10Cxy +=，由圆心到直线的距离|0 1 1|012d+= =从而 又 所以 则 （ II）由（ I）知3.4B A= 于是 3 sin cos( ) 3 sin cos( )43sin cos 2sin( ).63110, , , ,46 612 62 3AB A AAA AAA AA += =+=+，雨速沿 E 移动方向的分速度为 ()cc R 。 E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分： （ 1） P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 vc S 成正比，比例系
8、数为110； （ 2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记 y为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100 ，面积 S=32时。（）写出 y 的表达式 （）设 0 v 10,0 c 5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v，使总淋雨量 y 最少。 解析： （ I）由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为31|20 2vc + ， 故100 3 1 5( | | ) (3| | 10)20 2yvc vcvv=+=+. （ II）由 (I)知，当 0 vc的离心率为32，x轴被曲线22:Cyx b= 截得的线段长等于1C 的长半轴长。 （）求1C ，2C 的方程； （）设2C 与
9、y轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 l与2C 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与1C 相交与 D,E. （ i）证明： MDME ； (ii)记 MAB, MDE 的面积分别是12,SS.问：是否存在直线 l ,使得21SS=3217? 请说明理由。 解析： （ I）由题意知32cea= ，从而 2ab= ，又 2 ba= ，解得 2, 1ab=。 故1C，2C的方程分别为2221, 14xyyx+= =。 （ II） （ i） 由题意知，直线l的斜率存在，设为 k ，则直线l的方程为 ykx= . 由21ykxyx=得210xkx =， 设11 2 2(, ),(, )A xy
10、 Bxy，则12,x x 是上述方程的两个实根，于是12 12,1xxkxx+ =。 又点 M 的坐标为 (0, 1) ，所以 22212 1 2 12121 2 12 1211(1)(1) ( )1 111MA MByy kxkx kxkxx kkkkxx x x+ + + += = = = =故 MAMB ，即MDME。 （ ii）设直线的斜率为1k ，则直线的方程为11y kx= ，由1211ykxyx= = 解得01xy=或1211xkyk=，则点的坐标为211(, 1)kk 又直线 MB的斜率为11k ，同理可得点 B 的坐标为21111(, 1)kk . 于是22 1111211
11、111| 1 |1 | | .22 |kSMAMB kkkk k+=+= 由1221440ykxxy=+=得2211(1 4 ) 8 0kx kx+=， 解得01xy=或12121218144114kxkkyk=+=+， 则点 D的坐标为2112211841(,)14 14kkkk+； 又直线的斜率为11k ，同理可得点 E的坐标211221184(,)44kkkk+于是2112221132(1 ) | |1|2(4(4)kkSMDMEkk+=+因此21122111(4 17)64SkSk=+ 由题意知，21211117(4 17)64 32kk+=解得214k = 或2114k = 。 又由
12、点 ,A B的坐标可知，21 211111111kkkkkkk=+， 所以3.2k = 故满足条件的直线 l存在，且有两条，其方程分别为32yx= 和32y x= 。 22.（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) =3x ， g ( x)= x+ x 。 （）求函数 h ( x)= f ( x)-g ( x)的零点个数，并说明理由； （）设数列*( )nanN 满足1(0)aaa= ，1()()nnf aga+= ，证明：存在常数M,使得对于任意的*nN ，都有na M . 解析：（ I ）由3()hx x x x= 知， 0, )x + ， 而 (0) 0h = ，且(1) 1 0
13、, (2) 6 2 0hh= ， 则 0x= 为 ()hx的 一个零点，且 ()hx在 12（， ） 内有零点，因此 ()hx至少有两个零点 解法 1：1221( ) 3 12hx x x= ， 记1221() 3 12x xx= ，则321( ) 64x xx=+ 。 当 (0, )x+时， ( ) 0x ， 因此 ()x 在 (0, )+ 上单调递增，则 ()x 在 (0, )+ 内至多只有一个零点。又因为3(1) 0, ( ) 03=； 所以， 当1(0, )x x 时， ()hx单调递减，而 (0) 0h = ，则 ()hx在1(0, x 内无零点； 当1(, )xx+时， ()hx单
14、调递增，则 ()hx在1(, )x + 内至多只有一个零点； 从而 ()hx在 (0, )+ 内至多只有一个零点。综上所述， ()hx有且只有两个零点。 解法 2：122() ( 1 )hx xx x=， 记122() 1x xx= ，则321( ) 22x xx=+ 。 当 (0, )x+时， ( ) 0x ， 因此 ()x 在 (0, )+ 上单调递增，则 ()x 在 (0, )+ 内至多只有一个零点。因此 ()hx在 (0, )+ 内也至多只有一个零点， 综上所述， ()hx有且只有两个零点。 （ II）记 ()hx的正零点为0x ，即300 0x xx=+ 。 （ 1）当0ax 时，由
15、1aa= ，即10ax .而3321 10 00aaax xx= +=，因此20ax ，由此猜测：0nax 。下面用数学归纳法证明： 当 1n= 时，10ax 显然成立； 假设当 (1)nkk=时，有0kax 成立，则当 1nk= + 时，由 33100kkkaaaxxx+=+ + =知，10kax+ ，因此，当 1nk= + 时，10kax+ 成立。 故对任意的*nN ，0nax 成立。 （ 2）当0ax 时，由（ 1）知， ()hx在0(, )x + 上单调递增。则0() ( ) 0ha hx=，即3aaa+ 。从而3321 1aaaaaa=+ =+ ，即2aa ，由此猜测：naa 。下面用数学归纳法证明： 当 1n= 时，1aa 显然成立； 假设当 (1)nkk=时，有kaa 成立，则当 1nk= + 时，由 331kkkaaaaaa+=+ + 知，1kaa+ ，因此，当 1nk= + 时，1kaa+ 成立。 故对任意的*nN ，naa 成立。 综上所述，存在常数0max , M xa= ，使得对于任意的*nN ，都有naM .
