1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 1在等差数列 na中，2
2、2a =，3104,aa=则 A12 B14 C16 D18 2设2,|20,URM xx x=，则UM = A0，2 B( )0, 2C()(),0 2, +D( ),0 2,+ 3曲线223y xx= +在点（1，2）处的切线方程为 A31yx= B35yx=+ C35yx=+ D2yx= 4从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在114.5,124.5)内的频率为 A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 5已知向量(1, ), (2, 2),akb aba= +且与共线，那么ab的
3、值为 A1 B2 C3 D4 6设11333124log , log , log , , ,23abc abc=则的大小关系是 Aabc在x a=处取最小值，则a = A12+ B13+ C3 D4 8若ABC的内角，,A BC满足6sin 4sin 3sinABC= =，则cos B = A154B34C31516D11169设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 A(0, 2) B(1, 2 ) C 2(,1)2D(2，)+ 10高为2的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上
4、，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 A102B232+C32D2 二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上 116(1 2 )x+的展开式中4x的系数是 12若3cos5a = ,且3(, )2a，则tana= 13过原点的直线与圆222440xy xy+=相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 14从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 15若实数, 2 2 2 ,2 2 2 2 ,a b ab a b c abcabc c+= +=满足则的最大值是 三、解答题，本大题共6小题，共25分，解答应写出文字说明，
5、证明过程或演算步骤. 16（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分） 设na是公比为正数的等比数列，12a =，324aa= +。 （）求na的通项公式； （）设nb是首项为1，公差为2的等差数列，求数列nnab+的前n项和ns。 17（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分） 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （I）没有人申请A片区房源的概率； （II）每个片区的房源都有人申请的概率。 18（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分） 设函数( ) sin
6、cos 3 cos( )cos ( ).f xxx xxR=+ （1）求()f x的最小正周期； （II）若函数()yfx=的图象按3,42b=平移后得到函数()ygx=的图象，求()ygx=在(0, 4上的最大值。 19（本小题满分12分，（）小题5分，（）小题7分） 设3. 2() 2 1f xxaxbx=+的导数为()f x，若函数()y fx=的图像关于直线12x=对称，且(1) 0f = （）求实数,ab的值 （）求函数()f x的极值 20（本小题满分12分，（）小问6分，（）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，,2,1AB BC AC AD BC
7、 CD= （）求四面体ABCD的体积； （）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。 21（本小题满分12分。（）小问4分，（）小问8分） 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=22，一条准线的方程是22x= （）求该椭圆的标准方程； （）设动点P满足：2OP OM ON=+uuuv uuuuvuuv，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为12，问：是否存在定点F，使得PF与点P到直线l：210x=的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。 题（21）图 参考答案 一、选择题 15 DAACD 610 BCDBA 二、填空题： 11240 12431320xy
8、= 147301522log3 三、解答题：满分75分 16（本题13分） 解：（I）设q为等比数列na的公比，则由21322, 4 2 2 4aaa qq= =+ =+得， 即220qq=，解得21qq=或（舍去），因此2.q = 所以na的通项为1*22 2( ).nnnanN= = （II）2(1 2 ) ( 1)12.12 2nnnnSn=+1222.nn+=+ 17（本题13分） 解：这是等可能性事件的概率计算问题。 （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。 记“没有人申请A片区房源”为事件A，则 44216() .813PA= 解法二
9、：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A片区房源”为事件A，则1() .3PA= 由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为 0044412 16(0) ( ) ( ) .33 81PC= （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 121 2334 2 43()CCC CC或种. 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有 121 2334 2 434436 4 4() ( () ).9933 3CCC CAPB PB= =或 18（本题13分） 解：（I）21() sin2 3cos2f
10、 xxx=+ 13sin 2 (1 cos 2 )2213 3sin 2 cos 222 23sin(2 ) .32x xxxx=+=+ +=+故()f x的最小正周期为 2.2T= （II）依题意3() ()42gx fx=+ 33sin2( ) 43 2 2sin(2 ) 3.6xx=+=+当0, ,2 , , ( )4663x xgx 时为增函数， 所以() 0, 4gx在上的最大值为33() .42g= 19（本题12分） 解：（I）因32 2() 2 1, () 6 2 .f x x ax bx f x x ax b= + =+故 从而22() 6( ) ,66aafx x b =+
11、 即()y fx=关于直线6ax =对称，从而由题设条件知1,3.62aa = =解得 又由于(1) 0, 6 2 0, 12.fabb =+= =即解得 （II）由（I）知32() 2 3 12 1,fx x x x=+ 2() 6 6 12fxxx =+ 6( 1)( 2).xx=+ 令12() 0, 6( 1)( 2) 0. 2, 1.fx x x x x =+= =即解得 当(,2),()0, ()(,2)xfxfx 时故在上为增函数； 当(2,1) , () 0, () (2,1)xfxfx +时故在上为增函数； 从而函数1() 2fx x=在处取得极大值2(2) 21, 1fx =
12、在处取得极小值(1) 6.f = 20（本题12分） 解法一：（I）如答（20）图1，过D作DFAC垂足为F， 故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点， 则由AC=AD，知AGCD，从而 22221152() .2211 15.22 4AG AC CGAG CDAC DF CD AG DFAC= = =由得由2213,3, .22ABCRt ABC AB AC BC S AB BC=中 故四面体ABCD的体积15.38ABCVSDF= = （II）如答（20）图1，过F作FEAB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF平面ABC。由
13、三垂线定理知DEAB，故DEF为二面角CABD的平面角。 在222 215 7,2(),44Rt AFD AF AD DF=中 在Rt ABC中，EF/BC，从而EF：BC=AF：AC，所以7.8AF BCEFAC= = 在RtDEF中，215tan .7DFDEFEF= 解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OHAC，交AB于H，过O作OMAC，交AD于M，由平面ABC平面ACD，知OHOM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，1，0），C（0，1，0）。 设点B的坐标为
14、11(, ,0), ,| |1Bx y AB BC BC =uuur uuur uuur由，有 2211221111111,(1)1,33,22().11,22xyxyxxyy +=+=解得舍去即点B的坐标为31(,0).22B 又设点D的坐标为22(0, , ), | | 1,| | 2,Dyz CD AD= =uuur uuur由有 222222222222(1) 1,(1) 4,33,44().15 15,44yzyzyyzz +=+=解得舍去即点D的坐标为315(0, , ).44D从而ACD边AC上的高为215| .4hz= 又2231|()(1) 3,|1.22AB BC=+= =
15、uuuruur故四面体ABCD的体积11 5| .32 8VABBCh= =uuur uuur（II）由（I）知33 7 15(,0), (0, ).22 4 4AB AD=uuur uuur设非零向量(, , )nlmn=是平面ABD的法向量，则由nABuuur有 330.22lm+= （1） 由nADuuur，有 7150.44mn+= （2） 取1m =，由（1），（2），可得715 7153, , ( 3, 1, ).15 15ln n= =即 显然向量(0,0,1)k =是平面ABC的法向量，从而 7157 10915cos , ,109493115491215109tan , ,7
16、7109nknk= =故即二面角CABD的平面角的正切值为215.721（本题12分） 解：（I）由22,22,2caeac= = 解得2222, 2, 2ac bac= =，故椭圆的标准方程为 221.42xy+= （II）设11 2 2(, ), ( , ), ( , )Pxy Mx y Nx y，则由 2OP OM ON=+uuuruuur uuur得 11 2 2 1 21 212 12(, ) ( , ) 2( , ) ( 2 , 2 ),2, 2.x yxy xy xxyyxx xyy y=+ =+=+ =+即因为点M，N在椭圆2224xy+=上，所以 22 2211 2224,2
17、4xy xy+=+=， 故2222 221212 1 122(44)2(44)x yxxxx yyy+=+ + + 22 2211 22 121212 12(2)4(2)4( 2)20 4( 2 ).x yxyxxyxx yy=+ + + + +=+ +设,OM ONkk分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 12121,2OM ONyykkxx= =因此12 1220,xx yy+ = 所以222 20.xy+= 所以P点是椭圆22221(2 5) ( 10)xy+=上的点，该椭圆的右焦点为(10,0)F，离心率2,:2102elx=直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点(10,0)F，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。
