1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 文科数学 一 选择题：在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设 ,ab是向量，命题“若 ab ，则 a= b”的逆命题是【D】 （A）若 ab ，则 a b （B）若 ab= ，则 a b （C）若 a b，则 a b （D）若 a= b，则 a= -b 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为 2x = ，则抛物线的方程是 【C】 （A）28y x= （B）28y x= (C) 24y x= (D) 24y x= 3.设 0 ab0, 则 f(f(-2)=_. 10x,x 0， 1
2、2. 如图，点（ x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动， 那么 2x-y 的最小值为 _. 13. 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为 _. 14. 设 nN,一元二次方程240x xn有整数根的充要条件是 n=_. 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）若不等式12x xa+ +对任意x R恒成立，则 a 的取值范围是 _。 B.（几何证明选做题）如图， 0,9B D AE BC ACD= =且 AB=6， AC+4， AD+12，则
3、 AE=_. C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xoy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建极坐标系， 设点 A,B 分别在曲线13cos:sinxCy=+=（为参数）和曲线2:1C =上，则AB的最小值为 _. 三解答题：接答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75分） P. （本小题满分 12 分） 如图，在ABC 中，ABC=45，BAC=90，AD 高，沿 AD 把是 BC 上的ABD折起，使BDC=90。 （）证明：平面 平面； （ ）设BD=1，求三棱锥D的表面积。 解（）折起前是边上的高， 当 折起后，AD，AD， 又DB ， 平面， A
4、D 平面 平面BDC. （）由（）知，DA DB ,DB DC ,DC DA , QDB=DA=DC=1， AB=BC=CA= 2 , 1111 ,22DAM DBC DCASSS=nullnullnull1322sin60ABCS = =null表面积：13333.222S+=+ =17.（本小题满分12分） 设椭圆C: ()222210xyabab+ =过点（0，4） ，离心率为35（）求C的方程； （）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标 解（）将（0，4）代入C的方程得2161b= b=4 又35cea= 得222925aba= 即216 9125a=， a=5 C
5、的方程为22125 16xy+= （ ）过点 ()3, 0 且斜率为45的直线方程为 ()435yx= ， 设直线与的交点为 ()11,x y ， ( )22,x y ， 将直线方程 ()435yx= 代入的方程，得 ()223125 25xx+=， 即2380xx=，解得 13412x= ，23412x+= ， AB的中点坐标12322xxx+=， ()121226625 5yyyxx+=+=， 即中点为36,25。 注： 用韦达定理正确求得结果，同样给分。 18.（本小题满分 12 分） 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
6、之积的两倍。或：在 ABC 中， a， b， c 为 A， B， C 的对边，有 2222cosabc bc A=+ ， 2222cosbca ca B=+ ， 2222coscab abC=+ . 证法一 如图， 2cBC=uuur ()()AC AB AC AB=uuur uuur uuur uuur222ACACABAB=+uuur uuur uuur uuur2cosACACABAAB= +uuur uuur uuur uuur222cosbbcAc= + 即 2222cosabc bc A=+ 同理可证 2222cosbca ca B=+ ， 2222coscab abC=+ 证法二
7、 已知 ABC 中 ,ABC所对边分别为 ,abc，以 A为原点， AB所在直线为 x轴建立直角坐标系，则 ( cos , sin ), ( ,0)Cb Ab A Bc ， 19.（本小题满分 12 分） 如图，从点1(0,0)P 做 x 轴的垂线交曲线xy e= 于点1(0,1),Q 曲线在1Q 点处的切线与 x轴交于点2P ，再从2P 做 x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：11 2 2, ; , .; , ,nnPQPQ PQ记kP 点的坐标为 ( ,0)( 1,2,., )kx kn= . （）试求1x 与1kx的关系 (2 )kn （ ）求11 2 2 33.
8、nnPQ PQ PQ PQ+ 解（）设11(,0)kkPx，由xy e= 得111(, )kxkkQxe点处切线方程为 111()kkxxkye e xx= 由 0y = 得11(2 )kkx xkn=。 （ ）110, 1kkxxx=，得 (1)kxk=， (1)kx kkkPQ e e = 11 2 2 3 3.nnnSPQPQPQ PQ=+ 112 (1)111 .11nnneeeee eee =+ + + + = =20.（本小题满分13分） 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： （）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率
9、; （ ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; （ ）现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径。 解（）由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， 用频率估计相应的概率为0.44. （ ）选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为： （ ）A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。 由（）知P(A1) =0.1
10、+0.2+0.3=0.6 P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1)P(A2) 甲应选择L1 P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8 P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）P（B1） ， 乙应选择L2. 21.（本小题满分14分） 设 () ln.() () ()f xxgxfxfx=+。 （）求 ()gx的单调区间和最小值； （）讨论 ()gx与1()gx的大小关系； （）求 a的取值范围，使得 () ()ga gx 1a对任意 x0成立。 解（）由题设知1() ln , () lnfx xgx xx=+， 21() ,xgxx = 令 ()gx =0得
11、x=1， 当 x（0，1）时， ()gx 0，故（0，1）是 ()gx的单调减区间。 当 x（1，+）时， ()gx 0，故（1，+）是 ()gx的单调递增区间，因此， x=1是 ()gx的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 (1) 1.g = (II)1()gInxxx= + 设11() () ( ) 1hx gx g Inx xx x=+，则22(1)()xhxx = ， 当 1x = 时， (1) 0h = 即1() ( )gx gx= ， 当 (0,1) (1, )x+时 (1) 0h = ， 因此， ()hx在 (0, )+ 内单调递减， 当 01x= 即1() ( ).gx gx，成立1() 1 ,gaa 即 1,Ina 从而得 0 ae。 B卷试题答案 1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.B 9.A 10.D
