1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 （江苏卷） 参考公式 ： n次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为： () (1 )kk nknnPk Cp p= 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。 1下列函数中，周期为2的是（ D） A sin2xy = B sin 2yx= C cos4xy = D cos 4yx= 2已知全集 UZ= ，2 1,0,1,2, | ABxx= = = ，则UACB 为（ A） A 1,2 B 1,0 C 0,1 D 1, 2 3在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原
2、点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为20xy=，则它的离心率为（ A） A 5 B52C 3 D 2 4已知两条直线 ,mn，两个平面 , ，给出下面四个命题： （ C） 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页，包含选择题（第 1 题第 10 题，共 10 题） 、填空题（第 11 题第16 题，共 6 题） 、解答题（第 17 题第 21 题，共 5 题）三部分。本次考试时间为 120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。 3、请认真核
3、对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 5、如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 / ,mnm n / , , /mn mn / , / /mnm n / , / ,mnm n 其中正确命题的序号是 A B C D 5函数 () sin 3cos( ,0)fx x xx = 的单调递增区间是（ B） A5, 6 B5,66 C ,03 D
4、,06 6 设函数 ()f x 定义在实数集上， 它的图像关于直线 1x = 对称， 且当 1x 时， () 3 1xfx=，则有（ B） A132() () ()323fff ，对于任意实数 x 都有() 0fx ，则(1)(0)ff的最小值为（ C） A 3 B52C 2 D3210在平面直角坐标系 xOy ，已知平面区域 ( , ) | 1,Axyxy= +且 0, 0xy，则平面区域 ( , ) | ( , ) B xyxy xy A=+ 的面积为（ A） A 2 B 1 C12D14二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答
5、题卡相应位置上。 11若13cos( ) ,cos( )55 += =， .则 tan tan = 1/2 . 12某校开设 9 门课程供学生选修，其中 ,A BC三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修 4 门，共有 75 种不同选修方案。 （用数值作答） 13已知函数3() 12 8f xx x= +在区间 3,3 上的最大值与最小值分别为 ,M m ，则M m= 32 . 14正三棱锥 P ABC 高为 2，侧棱与底面所成角为 45null，则点 A到侧面 PBC 的距离是 655. 15在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点 (4,0)A 和 (4,0)C ，顶
6、点 B 在椭圆22125 16xy+=上，则sin sinsinACB+= 5/4 . 16某时钟的秒针端点 A到中心点 O的距离为 5cm，秒针均匀地绕点 O旋转，当时间 0t =时，点 A与钟面上标 12的点 B 重合，将 ,AB两点的距离 ()dcm表示成 ()ts的函数，则 d = 10 sin 3t ，其中 0,60t 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分）某气象站天气预报的准确率为 80%，计算（结果保留到小数点后面第 2 位） （ 1） 5 次预报中恰有 2 次准确的概
7、率； （ 4 分） （ 2） 5 次预报中至少有 2 次准确的概率； （ 4 分） （ 3） 5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3次预报准确的概率； （ 4 分） 解： （ 1）232544 161110 0.55 5 25 125pC = （ 2）415441 1 1 0.0064 0.9955PC= = （ 3）31444410.02555PC= 18 （本小题满分 12 分）如图，已知111 1ABCD ABC D 是棱长为 3 的正方体，点 E 在1AA 上，点 F 在1CC 上，且11AE FC=， （ 1）求证：1,EBFD四点共面； （ 4 分） （ 2）若点 G 在 BC
8、 上，23BG = ，点 M 在1BB 上， GM BF ，垂足为 H ，求证： EM 面11BCC B ； （ 4 分） （ 3）用 表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求 tan 。 （ 4 分） 解： （ 1）证明：在 DD1上取一点 N 使得 DN=1，连接 CN， EN，显然四边形 CFD1N 是平行1D1AABCD1C1BMEFHG四边形，所以 D1F/CN，同理四边形 DNEA 是平行四边形，所以 EN/AD，且 EN=AD，又 BC/AD，且 AD=BC，所以 EN/BC， EN=BC，所以四边形 CNEB 是平行四边形，所以 CN/BE，所以 D1F/B
9、E，所以1,EBFD四点共面。 （ 2）因为 GM BF 所以 BCF MBG，所以MBBGBCCF= ，即2332MB= ，所以 MB=1，因为 AE=1，所以四边形 ABME 是矩形，所以 EM BB1又平面 ABB1A1平面 BCC1B1，且 EM 在平面 ABB1A1内，所以 EM 面11BCC B （ 3） EM 面11BCC B ，所以 EM BF， EM MH， GM BF ，所以 MHE 就是截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角的平面角， EMH= 90 ，所以 tanMEMH = ，ME=AB=3， BCF MHB， 所以 3： MH=BF： 1， BF=2223
10、 13+= ， 所以 MH=313，所以 tanMEMH = = 13 19、 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 (0, )Cc任作一直线，与抛物线2y x=相交于 AB 两点，一条垂直于 x轴的直线，分别与线段 AB和直线 :ly c= 交于 ,PQ， （ 1）若 2OA OB=nullnullnullnull nullnullnullnull，求 c的值； （ 5 分） （ 2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA为此抛物线的切线； （ 5 分） （ 3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由。 （ 4 分） 解： （ 1）设过 C
11、点的直线为 ykxc=+，所以( )20xkxcc= +，即20xkxc=，设A()()11 2 2, ,x yBxy， OAnullnullnullnull=()11,x y ，( )22,OB x y=nullnullnullnull，因为 2OA OB =nullnullnullnull nullnullnullnull，所以 12 122xx yy+=，即 ()( )12 1 22xx kx c kx c+ +=， ()2212 12 1 22xx k xx kc x x c+ += 所以222ckckckc + + =i ，即220,cc =所以( )21cc= =舍去 （ 2 ）设
12、过 Q 的切线为 ( )11 1yy kxx= ，/2y x= ，所以112kx= ，即221111122 2yxxxy xxx=+=，它与 y c= 的交点为 M11,22x ccx，又BAxyOCQlP21212,22 22xxyy kkPc+=+，所以 Q ,2kc，因为12x xc= ,所以21cxx=，所以 M12,22 2xx kcc+=,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。 （ 3） （ 2）的逆命题是成立，由（ 2）可知 Q ,2kc，因为 PQ x轴，所以 ,2PkPy因为1222xx k+= ，所以 P 为 AB 的中点。 20 （本小题满分 16
13、分）已知 na 是等差数列， nb 是公比为 q 的等比数列，112 2 1,ababa=，记nS 为数列 nb 的前 n项和， （ 1）若 (,kmbamk= 是大于 2 的正整数 ) ，求证：11(1)kSma= ； （ 4 分） （ 2）若3(ibai= 是某一正整数 ) ，求证： q是整数，且数列 nb 中每一项都是数列 na 中的项； （ 8 分） （ 3） 是否存在这样的正数 q， 使等比数列 nb 中有三项成等差数列？若存在， 写出一个 q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由； （ 4 分） 解：设 na 的公差为 d ，由112 2 1,ababa=，知 0, 1dq ， (
14、)11daq= （10a ） （ 1）因为kmba= ，所以( ) ( )111 111kaq a m a q=+ ， ()() ( )11112 1kqmq mmq=+ = + ， 所以() ()()()11 11 11 1111kkaq am m qSmqq = =（ 2）()( )231 1 1,11ibaqaa i aq=+，由3 iba= ， 所以 ()( )()( )22111, 1 20,qiqqiqi=+ + = 解得， 1q = 或 2qi=， 但 1q ，所以 2qi=，因为 i是正整数，所以 2i 是整数，即 q是整数，设数列 nb 中任意一项为 ()11nnbaqnN+
15、=，设数列 na 中的某一项ma( )mN+ = ( )( )1111amaq+ 现在只要证明存在正整数 m ，使得nmba= ，即在方程 ( )( )111 111naq a m a q= + 中 m有正整数解即可， ()()11 221111,1 11nn nqqmqm qqqq =+ = =+ +null ，所以 222nmqqq=+ +null ，若 1i = ，则 1q = ，那么21 1 1,2 2 2nnbbabba= =，当 3i 时，因为112 2,abab=，只要考虑 3n 的情况，因为3 iba= ，所以 3i ，因此 q 是正整数，所以 m 是正整数，因此数列 nb 中
16、任意一项为 ()11nnbaqnN+=与数列 na 的第222nqq q+ +null 项相等，从而结论成立。 （ 3）设数列 nb 中有三项( ), ,mnpbbbmn pmnp N+时， t=2cx cx+=21244cccx+，即函数 ( )2ht t ct c= +在4ct ，() 0ht 恒成立，又 ()22224ccht t ct c t c=+= +，所以 ()min04cht h=，即220,16 4ccc+所以1603c 恒成立，又 ()22224ccht t ct c t c=+= +，所以 ()min02cht h=， 24cc 0 ，而 0c ，所以24cc 0 ，所以 c不可能小于 0， （ c） 0,c = 则 0,b = 这时() 0fx=的根为一切实数，而 ( ) 0gfx =，所以 0,c = 符合要求。 所以1603c
