1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷 （非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式： 如果事
2、件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=ii 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 343VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 012 )kk nknnPk Cp p n n=null， ， ， 一、选择题 （ 1）设 210Sxx=+， 350Txx= 1523xx ，表示的平面区域内的点是（ ） (0 2)， (20) ， (0 2)， (2
3、0)， （ 7）如图，正四棱柱111 1ABCD A B C D 中，12AA AB= ，则异面直线1AB与1AD 所成角的余弦值为（ ） 15253545（ 8）设 1a ，函数 () logaf xx= 在区间 2aa， 上的最大值与最小值之差为12，则 a =（ ） 2 2 22 4 （ 9） ()f x ， ()gx是定义在 R 上的函数， () () ()hx f x gx= + ，则“ ()f x ， ()gx均为偶函数”是“ ()hx为偶函数”的（ ） 充要条件 充分而不必要的条件 必要而不充分的条件 既不充分也不必要的条件 （ 10）函数22cosy x= 的一个单调增区间是（
4、 ） 44， 02， 344， 2， （ 11）曲线313y xx=+在点413， 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 19291323（ 12）抛物线24y x= 的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ， AKl ，垂足为 K ，则 AKF 的面积是（ ） 4 33 43 8 1A1D1C 1BDBC A 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔
5、在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 3本卷共 10 题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上 （ 13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 20 袋，测得各袋的质量分别为（单位： g ） ： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g501.5g 之间的概率约为 _ （ 14）函数 ()yfx= 的图像与函数3log ( 0)yx
6、x= 的图像关于直线 yx= 对称，则()f x =_ （ 15）正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S， A， B， C， D 都在同一个球面上，则该球的体积为 _ （ 16）等比数列 na 的前 n 项和为nS ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则 na 的公比为_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17） （本小题满分 10 分） 设锐角三角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 2sinabA= （）求 B 的大小； （）若 33a = ， 5c = ，求 b （ 18）
7、（本小题满分 12 分） 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元 （）求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率； （）求 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650 元的概率 （ 19） （本小题满分 12 分） 四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 底面 ABCD，已知45ABC=， 2AB = ， 22BC = ， 3SA SB= （）证明： SA
8、 BC ； （）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小 S C D A B （ 20） （本小题满分 12 分） 设函数32() 2 3 3 8f x x ax bx c=+ +在 1x = 及 2x = 时取得极值 （）求 a、 b 的值； （）若对于任意的 0 3x ， ，都有2()f xc ； 当 (1 2)x ， 时， () 0fx 所以，当 1x = 时， ()f x 取得极大值 (1) 5 8f c= + ，又 (0) 8f c= ， (3) 9 8f c=+ 则当 03x ， 时， ()f x 的最大值为 (3) 9 8f c= + 因为对于任意的 03x ， ，有2()f
9、xc ， 因此 c 的取值范围为 (1)(9) +， 21解： （）设 na 的公差为 d ， nb 的公比为 q ，则依题意有 0q 且4212 2114 13dqdq +=+=，解得 2d = ， 2q = 所以 1( 1) 2 1nandn=+ = ， 112nnnbq= （）1212nnna nb= 12 2 135 2321122 2 2nnnS=+ + + + +null ， 3252321223222nnnS=+ + +null ， 得22122 2 212222 2 2nnnnS=+ + + null ， 22111 1 2122 122 2 2nnn=+ + + null 1
10、111212221212nnn=+ 12362nn+= 22证明 （）椭圆的半焦距 321c =， 由 AC BD 知点 P 在以线段12FF 为直径的圆上， 故22001xy+=， 所以，22 2200 001132 222xy xy+= （） （）当 BD 的斜率 k 存在且 0k 时， BD 的方程为 (1)ykx= + ，代入椭圆方程22132xy+=，并化简得2222(3 2) 6 3 6 0kxkxk+= 设11()B xy， ，22()Dx y， ，则 212 2632kxxk+=+，212 23632kxxk=+， 222212 22 12 243( 1)1(1)()432kBD k x x k x x x xk+=+ = + + =+ii ； B1F O 2F P D A y xC 因为 AC 与 BC 相交于点 p ，且 AC 的斜率为1k 所以，2222143 143( 1)12332kkACkk+=+ 四边形 ABCD 的面积 22 22222221 24( 1) ( 1) 962(32(3 5(3 2) (2 3)2kkSBDACkkkk+24+= =+ +ii 当21k = 时，上式取等号 （）当 BD的斜率 0k = 或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积 4S = 综上，四边形 ABCD 的面积的最小值为9625
