1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试用时 120 分钟第卷 1 至 2 页第卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()
2、()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PAPB=ii 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1）已知集合 12Sx x= +R ， 21012T =， ， ， ，则 ST= （ ） A 2 B 12， C 012， ， D 1012 ， ， ， （ 2）设变量 x y， 满足约束条件142xyxyy +，则目标函数 24zxy= + 的最大值为（ ） 10 12 13 14 （ 3） “ 2a = ”是 “直线 20ax y+=平行于直线 1x y+ = ”的（ ）
3、A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 （ 4）设12log 3a = ，0.213b=，132c= ，则（ ） A abc的反函数是（ ） A 24( 2)xyx=+ B 24( 0)xyx= + C 24( 2)xyx= D 24( 0)xyx= （ 6）设 ab， 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A若 ab， 与 所成的角相等，则 ab B若 a ， b ， ，则 ab C若 a ， b ， ab ，则 D若 a ， b ， ，则 ab （ 7）设双曲线22221( 0 0)xyabab = ， 的离心率为 3 ，
4、且它的一条准线与抛物线24y x= 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） 22112 24xy= 22148 96xy = 222133xy= 22136xy = （ 8） 设等差数列 na 的公差 d 不为 0，19ad= 若ka 是1a 与2ka 的等比中项， 则 k =（ ） 2 4 6 8 （ 9）设函数 () sin ( )3fx x x=+R ，则 ()f x （ ） A在区间2736， 上是增函数 B在区间2 ， 上是减函数 C在区间84， 上是增函数 D在区间536 ， 上是减函数 （ 10）设 ()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x 时，2()f xx= ，若对任意
5、的 2xtt+， ，不等式 ()2()f xt fx+ 恒成立，则实数 t的取值范围是（ ） A)2+， B )2 +， C (02， D 21 20 ， 第卷 注意事项： 1答卷前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3本卷共 12 小题，共 100 分 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分把答案填在题中横线上 （ 11）从一堆苹果中任取了 20 只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 )90 100， )100 110， )110 120， )120 130， )130 140， )140 150，频数 1 2 3 10 1 则这
6、堆苹果中，质量不小于120 克的苹果数约占苹果总数的 （ 12）921xx+的二项展开式中常数项是 （用数字作答） （ 13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2 ，3，则此球的表面积为 （ 14）已知两圆2210xy+ = 和22(1)( 3) 20xy + =相交于 AB， 两点，则直线 AB 的方程是 （ 15）在 ABC 中， 2AB= ， 3AC = ， D是边 BC 的中点，则 AD BC =nullnullnullnull nullnullnullnulli （ 16）如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色
7、，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17） （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，已知 2AC = ， 3BC = ，4cos5A= （）求 sin B 的值； （）求 sin 26B+的值 （ 18） （本小题满分 12 分） 已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球， 乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球 现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球 （）求取出的 4 个球均为红球的概率； （）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概
8、率； （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， AB AD AC CD ， 60ABC= ， PA AB BC=， E 是 PC 的中点 （）求 PB和平面 PAD 所成的角的大小； （）证明 AE 平面 PCD； （）求二面角 APDC 的大小 ABC D PE （ 20） （本小题满分 12 分） 在数列 na 中，12a = ，1431nnaan+=+， n*N （）证明数列 nan 是等比数列； （）求数列 na 的前 n项和nS ； （）证明不等式14nnSS+ ，对任意 n*N 皆成立 （ 21） （本小题满分 14 分） 设函
9、数2() ( )f xxxa= （ xR ） ，其中 aR （）当 1a = 时，求曲线 ()yfx= 在点 (2 (2)f， 处的切线方程； （）当 0a 时，求函数 ()f x 的极大值和极小值； （）当 3a 时，证明存在 10k， ，使得不等式22(cos) ( cos)f kxfk x 对任意的 xR 恒成立 （ 22） （本小题满分 14 分） 设椭圆22221( 0)xyabab+=的左、右焦点分别为12FFA， 是椭圆上的一点，212AF FF ，原点 O到直线1AF 的距离为113OF （）证明 2ab= ； （）求 (0 )tb ， 使得下述命题成立：设圆222x yt+
10、= 上任意点00()M xy， 处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 （ 1） B （ 2） C （ 3） C （ 4） A （ 5） C （ 6） D （ 7） D （ 8） B （ 9） A （ 10） A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 （ 11） 70 （ 12） 84 （ 13） 14 （ 14） 30xy+= （ 15）52（ 16） 630 三、解答题 （ 17）本小题考查同角三角函
11、数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力满分 12 分 （）解：在 ABC 中，2243sin 1 cos 155AA= = =，由正弦定理， sin sinBCACA B= 所以23 2sin sin35 5ACBABC= （）解：因为4cos5A= ，所以角 A为钝角，从而角 B 为锐角，于是 22221cos 1 sin 155BB= = =， 221 17cos 2 2cos 1 2 1525BB=， 221421sin 2 2sin cos 255 15BBB= sin 2 sin 2 cos cos 2 sin666BB B+= +421 3 17
12、125 2 25 2=+ 12 7 1750+= （ 18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A， “从乙盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 B 由于事件 A B， 相互独立，且 2327C 1()C7PA=，2329C 5()C18PB=， 故取出的 4 个球均为红球的概率是 15 5( ) () ()7 18 126PAB PAPB=ii （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个红球为黑球”为事件 C ， “从甲
13、盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中， 1个是红球， 1 个是黑球”为事件 D由于事件 CD， 互斥，且 11 234 42279CC C 2()CC 21PC =i ，1125242275CCC 10()CC 63PD=i 故取出的 4 个红球中恰有 4 个红球的概率为 21016()()()21 63 63PC D PC PD+= + =+= （ 19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力满分 12 分 （） 解： 在四棱锥 P ABCD 中， 因 PA底面 ABCD， AB平面 ABCD， 故 PA A
14、B 又 AB AD ， PA AD A= ， 从而 AB 平面 PAD 故 PB在平面 PAD 内的射影为 PA，从而 APB 为 PB和平面 PAD 所成的角 在 Rt PAB 中， AB PA= ，故 45APB =null 所以 PB和平面 PAD 所成的角的大小为 45null （）证明：在四棱锥 P ABCD 中， 因 PA底面 ABCD， CD平面 ABCD，故 CD PA 由条件 CD PC ， PA AC A= ， CD 面 PAC 又 AE 面 PAC ， AECD 由 PA AB BC=i ， 60ABC =null ，可得 AC PA= E 是 PC 的中点， AEPC
15、， PC CD C = 综上得 AE 平面 PCD （）解：过点 E 作 EMPD ，垂足为 M ，连结 AM 由（）知， AE 平面 PCD，AM 在平面 PCD内的射影是 EM ，则 AMPD 因此 AME 是二面角 A PD C的平面角 由已知，可得 30CAD=null 设 AC a= ，可得 PA a= ，233AD a= ，213PD a= ，22AE a= 在 Rt ADP 中， AMPD ， AMPD PAAD =ii，则 ABC DPE M232737213aaPA ADAM aPDa=ii 在 Rt AEM 中，14sin4AEAMEAM= 所以二面角 APDC的大小14a
16、rcsin4 （ 20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力满分 12 分 （）证明：由题设1431nnaan+=+，得 1(1)4( )nnan an+= ， n*N 又111a =，所以数列 nan 是首项为 1，且公比为 4 的等比数列 （）解：由（）可知14nnan= ，于是数列 na 的通项公式为 14nnan=+ 所以数列 na 的前 n项和41 (1)32nnnnS +=+ （）证明：对任意的 n*N ， 1141(1)(2) 41(1)4432 32nnnnnn nnSS+
17、 += + +21(3 4) 02nn= + 所以不等式14nnSS+ ，对任意 n*N 皆成立 （ 21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分 14 分 （）解：当 1a = 时，232() ( 1) 2f xxx xxx= = + ，得 (2) 2f = ，且 2() 3 4 1f xxx = + ， (2) 5f = 所以，曲线2(1)yxx= 在点 (2 2)， 处的切线方程是 25(2)yx+ = ，整理得 580xy+= （）解：23 22() ( ) 2f xxxa xaxax=
18、 = + 22( ) 3 4 (3 )( )f xxaxa xaxa = + = 令 () 0fx = ，解得3ax= 或 x a= 由于 0a ，以下分两种情况讨论 （ 1）若 0a ，当 x变化时， ()f x 的正负如下表： x 3a， 3a3aa， a ()a +， ()f x 0 + 0 因此，函数 ()f x 在3ax= 处取得极小值3af，且 34327af a=； 函数 ()f x 在 x a= 处取得极大值 ()f a ，且 () 0fa= （ 2）若 0a ，得 13a ，当 10k， 时， cos 1kx ，22cos 1kx 由（）知， ()f x 在 (1， 上是减函
19、数，要使22(cos) ( cos)f kxfk x ， xR 只要22cos cos ( )kxk xR 即 22cos cos ( )xxkkxR 设2211() cos cos cos24gx x x x=，则函数 ()gx在 R 上的最大值为 2 要使式恒成立，必须22kk ，即 2k 或 1k 所以，在区间 10 ， 上存在 1k = ，使得22(cos) ( cos)f kxfk x 对任意的 xR 恒成立 （ 22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14分 （）证法
20、一：由题设212AF FF 及1(0)Fc ， ，2(0)Fc， ，不妨设点 ()A cy， ，其中 0y ，由于点 A在椭圆上，有22221cyab+ = ， 22 2221ab yab+=， 解得2bya= ，从而得到2bAca， ， 直线2AF 的方程为2()2by xcac=+，整理得 2220bx acy bc+= 由题设，原点 O到直线1AF 的距离为113OF ，即 242234cbcbac=+， 将222cab=代入原式并化简得222ab= ，即 2ab= 证法二：同证法一，得到点 A的坐标为2bca， ， 过点 O作1OB AF ，垂足为 H ，易知112FBC FFA ，故
21、 211BOFAOF F A= 由椭圆定义得122AF AF a+ = ，又113BOOF= ，所以 2212132FA FAFA a FA=， 解得22aFA= ，而22bFAa= ，得22baa= ，即 2ab= （）解法一：圆222x yt+=上的任意点00()M xy， 处的切线方程为200x xyyt+= 当 (0 )tb ， 时，圆222x yt+=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 A处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点11 1()Qx y， ，22 2()Qx y， 的坐标是方程组 20022222xx yy txyb +=+=的解当00y 时，由式得 200tx
22、xyy= 代入式，得222200txxx by+=，即 222 2 4 2200 0 0(2 ) 4 2 2 0xyx txxt by+=， 于是2012 220042txxxx y+=+，422012 2200222tbyxxx y=+2 201 121201txxtxxyyyy = i 42 2012 012201()txtxx xxxy=+24242 200002220000042122tx t bytxt xyxyx= +A O 1F2F H xy 4220220022tbxx y=+ 若12OQ OQ ，则 422422422200 0012 12 22 22 2200 00 0022 2 32( )0tbytbxtbxyxx yyxy xy xy += + = =+ 所以，42220032( )0tbxy+=由22200x yt+ = ，得42232 0tbt = 在区间 (0 )b， 内此方程的解为63tb= 当00y = 时，必有00x ，同理求得在区间 (0 )b， 内的解为63tb= 另一方面，当63tb= 时，可推出12 120xx yy+ = ，从而12OQ OQ 综上所述，6(0 )3tbb=， 使得所述命题成立
