1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 （山东卷） 文科数学 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项 1复数43i1+2i+的实部是（ ） A 2 B 2 C 3 D 4 2已知集合1111 | 2 42xMNx x+= = ， D对任意的3210xRx x +， 8某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二 组，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；第六组， 成绩大于等于
2、 18 秒且小于等于 19 秒右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于 17 秒 的学生人数占全班人数的百分比为 x ，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方 图中可以分析出 x 和 y 分别为（ ） A 0.9 35， B 0.9 45， C 0.1 35， D 0.1 45， 9设 O 是坐标原点， F 是抛物线22( 0)ypxp= 的焦点， A 是抛物线上的一点， FAnullnullnullnull与 x轴正向的夹角为 60null，则 OAnullnullnullnull为（ ） A214pB212pC136p D1336p 10阅
3、读右边的程序框，若输入的 n 是 100，则输出的 变量 S 和 T 的值依次是（ ） A 2550， 2500 B 2550， 2550 C 2500， 2500 D 2500， 2550 11设函数3y x= 与212xy=的图象的交点为00()x y， ， 则0x 所在的区间是（ ） A (0 1)， B (1 2)， C (2 3)， D (3 4)， 12设集合 1 2 1 2 3AB=， ， ， ，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确定平面上的一个点 ()Pa b， ，记“点 ()Pa b， 落在直线 x yn+ = 上”为事件(2 5 )nCnnN， ，若事件
4、nC 的概率最大，则 n 的所有可能值为（ ） A 3 B 4 C 2 和 5 D 3 和 4 0 13 14 15 16 17 18 19 秒频率 0.020.040.060.180.340.36开始 输入 n 00ST=，2?x ， 的图象恒过定点 A ， 若点 A 在直线 10( 0)mx ny mn+ = 上，则11mn+ 的最小值为 15当 (1 2)x ， 时，不等式240xmx+ 时，函数 ()f x 没有极值点；当 0ab ， C 是锐角 1cos8C = （ 2）52CB CA =nullnullnullnullnullnullnullnulli ， 5cos2ab C =
5、， 20ab = 又 9ab+= 22281aabb += 2241ab += 2222 cos 36cab abC =+ = 6c = 18解： （ 1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa+= + +=，解得22a = 设数列 na 的公比为 q ，由22a = ，可得1322aaqq=， 又37S = ，可知222 7qq+ =， 即22520qq+=， 解得12122qq=， 由题意得 12qq=， 11a = 故数列 na 的通项为12nna= （ 2）由于31ln 1 2nnban+=null， 由（ 1）得3312nna+= 3ln 2 3 ln 2nnbn =
6、 又13ln2nn nbb+= nb 是等差数列 12nnTbb b =+null 1()2(3ln 2 3ln 2)23( 1)ln 2.2nnb bnnn+=+=+=故3( 1)ln 22nnnT+= 19 解： 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟， 总收益为 z 元，由题意得300500 200 9000000.xyxyxy+，目标函数为 3000 2000z xy=+ 二元一次不等式组等价于3005 2 90000.xyxyxy+，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域 如图： 0 100 200 300 100 200 300 400 500
7、y x l M 作直线 : 3000 2000 0lx y+=， 即 32 0xy+= 平移直线 l ，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数取得最大值 联立3005 2 900.xyxy+=+=，解得 100 200xy=， 点 M 的坐标为 (100 200)， max3000 2000 700000zxy =+= （元） 答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元 20 （ 1）证明：在直四棱柱111 1ABCD A B C D 中， 连结1CD， 1DC DD= ， 四边形11DCC D 是正方形 11DC
8、D C 又 AD DC ，11AD DD DC DD D=， ， AD 平面11DCC D ， 1DC平面11DCC D ， 1AD D C 1AD DC ， 平面1ADC ， 且 ADDCD= ， 1DC 平面1ADC ， 又1AC 平面1ADC ， 1DC AC1 （ 2）连结1AD ，连结 AE ， 设11AD A D M= ， B C D A 1A1D 1C1B B C D A 1A 1D 1C1B M E BDAEN= ，连结 MN ， 平面1AD E 平面1ABD MN= ， 要使1DE 平面1ABD， 须使1MNDE ， 又 M 是1AD 的中点 N 是 AE 的中点 又易知 A
9、BN EDN ， ABDE = 即 E 是 DC 的中点 综上所述，当 E 是 DC 的中点时，可使1DE 平面1ABD 21证明：因为2() ln 0fx ax b x ab=+ ， ，所以 ()f x 的定义域为 (0 )+， ()f x222baxbaxxx+=+= 当 0ab 时，如果 00()0()abfx fx ， ， 在 (0 )+， 上单调递增； 如果 00()0()abfx fx ，函数 ()f x 没有极值点 当 0ab ， 时， () ()f xfx ， 随 x 的变化情况如下表： x 02ba， 2ba 2ba +，()f x 0 + ()f x null 极大值 nu
10、ll 从上表可看出， 函数 ()f x 有且只有一个极大值点，极大值为 1ln22 2bb bfaa = 综上所述， 当 0ab 时，函数 ()f x 没有极值点； 当 0ab ， 时，函数 ()f x 有且只有一个极大值点，极大值为 1ln22bba 22解： （ 1）由题意设椭圆的标准方程为22221( 0)xyabab+ =， 由已知得： 31ac ac+= =， ， 222213acbac= =，椭圆的标准方程为22143xy+= （ 2）设11 2 2()( )Ax y Bx y， ， 联立221.43y kx mxy=+=，得 22 2(3 4 ) 8 4( 3) 0kx mkx
11、m+=，则 22 2 2 2 212 2212 264 16(3 4 )( 3) 0 3 4 08344( 3).34mk k m k mmkxxkmxxk= + + +=+=+，即 ， 又222212 1 2 12 1 2 23( 4 )()() ()34mkyy kx m kx m kxx mkx x mk=+ += + +=+ 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2 0)D ， ， 1AD BDkk = ，即1212122yyxx=i 12 12 1 22( ) 4 0yy xx x x += 22 22223( 4 ) 4( 3) 154034 34 34mk m mkkk +=+ 22716 40mmkk += 解得：12227kmkm= =， ，且均满足2234 0km+ 当12mk= 时， l 的方程 (2)ykx=，直线过点 (2 0)， ，与已知矛盾； 当227km = 时， l 的方程为27ykx=，直线过定点207， 所以，直线 l 过定点，定点坐标为207，
