1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷3 至 4 页，共 150 分 第 I 卷 考生注意： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效 3考试结束，监考员将试题卷、答题卡一
2、并收回 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PAPB=ii 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发的概率是 P ，那么 343VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 () (1 )kk nknnPk CP P= 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 01M = ， 012345I = ， ， ，则IM 为（ ）
3、01， 2345， ， 02345， ， 12345， ，2函数 5tan(2 1)yx=+的最小正周期为（ ） 42 2 3函数1() lg4xfxx=的定义域为（ ） (1 4)， 1 4)， (1)(4 )+， (1(4 ) +， 4若 tan 3 = ，4tan3 = ，则 tan( ) 等于（ ） 3 13 3 135设29 2 101 2 1( 1)(2 1) ( 2) ( 2) ( 2)xxaaxax ax+=+null ， 则012 1aaa a+null 的值为（ ） 2 1 1 2 6 一袋中装有大小相同， 编号分别为 12345678， ， ， ， 的八个球， 从中有放回
4、地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于15 的概率为（ ） 1321643323647连接抛物线24x y= 的焦点 F 与点 (1 0)M ， 所得的线段与抛物线交于点 A，设点 O为坐标原点，则三角形 OAM 的面积为（ ） 12+ 322 12+ 322+ 8若02x 3sinx x 9 四面体 ABCD的外接球球心在 CD上， 且 2CD= ， 3AD= ， 在外接球面上两点 AB，间的球面距离是（ ） 63235610设32:() 2 1p fx x x mx=+ +在 ()+， 内单调递增，4:3qm ，则 p 是 q 的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充
5、分必要条件 既不充分也不必要条件 11四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ） 214hhh 123hhh 324hhh 241hhh 12 设椭圆22221( 0)xyabab+=的离心率为1e2= ，右焦点为 (0)Fc， ，方程20ax bx c+=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()Px x， （ ） 必在圆222xy+=上 必在圆222xy+ = 外 必在圆222xy+=内 以上三种情
6、形都有可能 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 第 II 卷 注意事项： 第 II 卷 2 页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上 13在平面直角坐标系中，正方形 OABC的对角线 OB 的两端点分别为 (0 0)O ， ， (1 1)B ， ，则 ABAC=nullnullnullnull nullnullnullnulli 14已知等差数列 na 的前 n项和为nS ，若1221S = ，则2581aaaa+ + = 15已知函数 ()y fx= 存在反
7、函数1()y fx= ，若函数 (1 )y fx= + 的图象经过点 (31)， ，则函数1()y fx= 的图象必经过点 16如图，正方体1AC 的棱长为 1，过点作平面1ABD的垂线，垂足为点 H 有下列四个命题 点 H 是1ABD 的垂心 AH 垂直平面11CB D 二面角11 1CBDC的正切值为 2 点 H 到平面111 1ABCD的距离为34其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） A D 1D 1C 1A1BBHC 已知函数21(0)()21( 1)xccx x
8、 cfxcx+ 18 （本小题满分 12 分） 如图，函数2cos( )( 0 0 )2yxx =+R， 的图象与 y 轴相交于点 (0 3)， ，且该函数的最小正周期为 （ 1）求 和 的值； （ 2） 已知点02A， ， 点 P 是该函数图象上一点， 点00()Qx y，是 PA的中点，当032y = ，02x ， 时，求0x 的值 19 （本小题满分 12 分） 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为 0.6 ， 0.5，移栽后成活的概率分别为 0.7 ， 0.9 （ 1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； （ 2）求恰好有一种果树能培
9、育成苗且移栽成活的概率 20 （本小题满分 12 分） 右图是一个直三棱柱（以111ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC 已知11 111AB BC=，11190ABC=null，14AA = ，12BB = ，13CC = （ 1）设点 O是 AB 的中点，证明： OC 平面111ABC； （ 2）求 AB 与平面11AACC 所成的角的大小； （ 3）求此几何体的体积 21 （本小题满分 12 分） 设 na 为等比数列，11a = ，23a = （ 1）求最小的自然数 n，使 2007na ； （ 2）求和：2123 2123 2nnnTaaa a=+null y x3
10、 O A PA B CO 1A1B 1C22 （本小题满分 14 分） 设动点 P 到点1(10)F ， 和2(1 0)F ， 的距离分别为1d 和2d ，122FPF = ，且存在常数(0 1) +得， 当102x+的解集为2548xx，得2 22T = （ 2）因为点02A， ，00()Qx y， 是 PA的中点，032y = 所以点 P 的坐标为0232x， 又因为点 P 在2cos 26yx=+的图象上，且02x ，所以05 3cos 462x=， 07 5 194666x ，从而得05 11466x = 或05 13466x = ， 即023x = 或034x = 19解：分别记甲、
11、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6PA = ，2()0.5PA = ，1()0.7PB = ，2()0.9PB = （ 1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 12 12( ) 1 ( ) 1 0.4 0.5 0.8PA A PAA+= =i ； （ 2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A B， ， 则11( ) ( ) 0.42PA PAB=，22( ) ( ) 0.45PB PAB= = 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 ( ) 0.42 0.55 0.58 0.45 0.492PAB AB+=+=
12、 解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为 11 2 112 2 122 1212( ) 0.492PABA ABAB AAB AABB+ = 20 解法一： （ 1）证明：作1OD AA 交11AB于 D，连1CD 则11OD BB CC ， 因为 O是 AB 的中点， 1B1CD1AB2C C HO2AA所以11 11()32OD AA BB CC=+= 则1ODCC 是平行四边形，因此有1OC C D ， 1CD平面111CBA，且 OC 平面111CBA 则 OC 面111ABC （ 2）解：如图，过 B 作截面22BA C 面111ABC，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作
13、22BHAC 于 H ， 因为平面22ABC 平面11AACC ，则 BH 面11AACC 连结 AH ，则 BAH 就是 AB 与面11AACC 所成的角 因为22BH = ， 5AB = ，所以10sin10BHBAHAB= AB 与面11AACC 所成的角为10arcsin10BAH = （ 3）因为22BH = ，所以22 2213B AACC AACCVSBH= i 11 2 1(1 2) 232 2 2=+ =ii 111 2 2 11111212ABC ABC ABCVSB=ii 所求几何体的体积为22 111 2 232BAACC ABC ABCVV V=+ = 解法二： （
14、1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则 (0 1 4)A ， ， ， (0 0 2)B ， ， ， (1 0 3)C ， ， ，因为 O是 AB 的中点，所以1032O， ， 1102OC=nullnullnullnull， ， 易知， (0 0 1)n=null， ， 是平面111ABC的一个法向量 由 0OC n=nullnullnullnull nulli 且 OC 平面111ABC知 OC 平面111ABC 1A1B 1CxB z C OAy（ 2）设 AB 与面11AACC 所成的角为 求得1(0 0 4)AA=nullnullnullnull， ， ，11(1 1 0
15、)AC =nullnullnullnullnull， 设 ()mxyz=nullnull， 是平面11AACC 的一个法向量，则由11100AAmAC m=nullnullnullnull nullnullinullnullnullnullnull nullnulli得00zxy=， 取 1x y=得： (1 1 0)m=nullnull， ， 又因为 (0 1 2)AB =nullnullnullnull， 所以， cos m= =nullnull nullnullnullnullnullnullnullnullinullnull nullnullnullnulli则10sin10 = 所以
16、 AB 与面11AACC 所成的角为10arcsin10 （ 3）同解法一 21解： （ 1）由已知条件得112113nnnaaa=i ， 因为673 2007 3，所以，使 2007na 成立的最小自然数 8n= （ 2）因为223 2112 3 4 2133 3 3nnnT=+ + null ， 2234 21 2112333333 3 3nnnT= + + null ， + 得：223 21241111333333nnnnT=+ + null 2211231313nnn=+2233 3 843nnn=ii所以2222392416 3nnnnT+=i 22解： （ 1）在12PFF 中，1
17、22FF = 22 2 21 2 12 1 2 1242cos2()4sind d dd d d dd =+ = + 212()44dd = 1221dd = （小于 2 的常数） 故动点 P 的轨迹 C 是以1F ，2F 为焦点，实轴长 221a = 的双曲线 方程为2211xy= （ 2）方法一：在1AFB 中，设11AFd= ，22AFd= ，13BFd= ，24BFd= 假设1AFB 为等腰直角三角形，则 123434213234222sin4dd add addddddd =+=nullnullnullnullnull由与得22da= ， 则134342222(21)dadadd a
18、 a= 由得342dd = ， 242(2 1) 2a = (8 4 2)(1 ) 2 =， 12 2 2(0 1)17=， 故存在12 2 217= 满足题设条件 方法二： （ 1）设1AFB 为等腰直角三角形，依题设可得 2121221212222sin8 211cos4sin24AF AFAF AFBF BFBF BF = =iiiiii，所以12121 sin ( 2 1)24AF FSAFAF =+i，121212BF FSBFBF= =i 则1(2 2)AF BS =+ 由12122221AF FBF FS AFSBF=+，可设2BFd= ， 则2(2 1)AF d=+，1(2 2)BFAB d=+ 则122211(2 2)22AF BSAB d=+ 由得2(2 2) 2d += 根据双曲线定义12221BF BF a =可得， (2 1) 21d + = 平方得：22(2 1) 4(1 )d += 由消去 d 可解得，12 2 2(0 1)17=， 故存在12 2 217= 满足题设条件
