1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（文史类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 祝考试顺利 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置. 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号答在试题卷上无效 3将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效 4考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5
2、 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 tan 690 的值为（ ） 33 33 3 3 2 如果 |9Uxx= 是小于 的正整数 ， 1234A = ， ， ， ， 3456B = ， ， ， ， 那么UUA B =（ ） 12， 34， 56， 78， 3如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数 n的最小值为（ ） 10 6 5 3 函数21(0)21xxyx+=21log ( 1)1xyxx=+5 在棱长为 1 的正方体111 1ABCD A B C D 中， E F， 分别为棱11AABB， 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(0
3、1)AG = 则点 G 到平面1D EF 的距离为（ ） 3 2223556为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校 100 名高中男生的体重情况，根据所1D 1CCBA E 1A GF1BD 得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示根据此图，估计该校 2000 名高中男生中体重大于 70.5 公斤的人数为（ ） A 300 B 360 C 420 D 450 7将 5 本不同的书全发给 4 名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ） A1564B15128C24125D481258由直线 1y x=+上的一点向圆22(3) 1xy +=引切线，则切线长的最小值为（ ） A 1 B 22
4、C 7 D 3 9 设 (4 3)= ，a ， a在 b上的投影为522， b在 x 轴上的投影为 2， 且 |14b ， 则 b为 （ ） A (2 14)， B227， C227， D (2 8)， 10已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件， q 是 r 的充分条件， s 是 r 的必要条件， q 是 s的必要条件，现有下列命题： s 是 q 的充要条件； p 是 q 的充分条件而不是必要条件； r 是 q 的必要条件而不是充分条件； p 是 s 的必要条件而不是充分条件； r 是 s 的充分条件而不是必要条件 则正确命题的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 小题
5、，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡相应位置上 11设变量 x y， 满足约束条件30023xyxyx+，则目标函数 2x y+ 的最小值为 12过双曲线22143xy=左焦点1F 的直线交曲线的左支于 M N， 两点，2F 为其右焦点，频率组距0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 体重（ kg） 则22MFNFMN+的值为 _ 13 已知函数 ()y fx= 的图象在点 (1 (1)Mf， 处的切线方程是122yx=+，则
6、(1) (1)ff+= 14某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率为 （用数值作答） 15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t （小时）成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为116tay=（ a 为常数） ，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （ I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t （小时）之间的函数关系式为 （ II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至
7、少需要经过 小时后，学生才能回到教室 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数2() 2sin 3cos24f xxx=+，42x ， （ I）求 ()f x 的最大值和最小值； （ II）若不等式 () 2fx m ，1nnnbaa+= （ *nN ） ，且 nb 是以 q 为公比的等比数列 （ I）证明：22nnaaq+= ； （ II）若21 22nn nca a=+，证明数列 nc 是等比数列； （ III）求和：1234 2121111 1 1nnaaaa a a+ +null 21 （本小题满分
8、14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 (0 )Cp， 作直线与抛物线22x py= （ 0p ）相交于A B， 两点 （ I）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O的对称点，求 ANB 面积的最小值； （ II）是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 （此题不要求在答题卡上画图） 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本题考查基
9、础知识和基本运算每小题 5 分，满分 25 分 1132 12 8 13 3 141512815110110 0101116 10tttyt= ，； 0.6 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力 解： （）() 1cos 2 3cos2 1sin2 3cos22f xxxxx= + =+ 12sin23x=+ AB xyNCO又42x， ，22633x ，即212sin2 33x+， max min() 3 () 2fx fx=， （） () 2 () 2 () 2fx m fx m fx
10、且min() 2mfx，011322 322aaaa+，或 ，0322a 时， ()ha 单调增加， 当 0322a ， 于是 2211 12 (32 1) (4 2 1)(4 2 1) 016 16 16aa aa= = + + ，01322 322aaaa+，或0322a 故所求实数 a 的取值范围是 (0 3 2 2)， （ II）依题意可设12() ( )( )gx xxxx= ，则由1201xx ，得 12 1 2 1 1 2 2(0) (1) (0) (0) (1) (1 )(1 ) (1 ) (1 )f ff ggx xxxxxx= = = 22112 21226xxxx+ +=
11、，故1(0) (1) (0)16ff f 20本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力 解法 1： （ I）证：由1nnbqb+= ，有12 21nn nnnnaa aqaaa+ += = ， 22()nnaaqn+=N* （ II）证：22nnaqq= ， 22221 23 1nnnaaq aq =null ，22222 2nnnaaq aq=null ， 22 22 22 2221 2 1 2 1 222()5nn nnnn nca a aq aq a aq q =+= + =+ = nc 是首项为 5，以2q 为公比的等比数列
12、 （ III）由（ II）得2221 111nnqaa= ，222211nnqaa= ，于是 12 2 13 21 24 211 1 11 1 11 1nn naa a aa a aa a+ = + + +nullnull null 24 22 24 2212111 1111 1nnaqq q aqq q= + + +nullnull 21 22311 112nqq q=+null 当 1q = 时，24 2212 211 1 3 11 112nnaa a q q q+ = +nullnull 32n= 当 1q 时，24 2212 211 1 3 11 112nnaa a q q q+ =
13、+nullnull 223121nqq=222 2312(1)nnqqq = 故212 222 231211 111.(1)nnnnqqaa aqqq=+ =32null， ，解法 2： （ I）同解法 1（ I） （ II）证： 222*121 22 21 221 2 21 222()nn n n nnn n n nca a qa qaqnca a a a+ + += =N ，又11 225ca a= +=， nc 是首项为 5，以2q 为公比的等比数列 （ III）由（ II）的类似方法得22 2221 2 1 2() 3nnnnaaaaq q +=+ = ， 34 2121212 2 1
14、2 34 21211 1nnnnnaa a aaaaa a aa aa aa+ = + +nullnull， 222221 2442123322kkkkkkkaa qqaa q+= ， 12kn= null， ， 22212 211 1 3(1 )2nkqqaa a+ + = +nullnull 下同解法 1 21本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解法 1： （）依题意，点 N 的坐标为 (0 )Np， ，可设11 2 2()( )Ax y Bx y， ， ， 直线 AB 的方程为 y kx p=+，与22x py=
15、 联立得22x pyykxp = +，消去 y 得22220xpkxp= 由韦达定理得122x xpk+= ，2122x xp= 于是12122AMN BCN ACNSSS pxx=+= 212 12 12()4px x p x x xx= + 22 2 2 2482 2ppk p pk=+=+， 当 0k = ，2min()22ABNSp= （）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 ya= ， NOACB y x 设 AC 的中点为 O， l 与 AC 为直径的圆相交于点 P ， QPQ， 的中点为 H ， 则 OH PQ ， Q点的坐标为1122x yp+， 222211 111 1()
16、22 2OP AC x y p y p =+=+ ， 111222ypOH a a y p+ = = ， 22 2PH OP OH=22 211()(2 )44yp ayp=+ 1()2payapa= + ， 22(2 )PQ PH=14()2payapa=+ 令 02pa=， 得2pa = ， 此时 PQ p= 为定值， 故满足条件的直线 l 存在， 其方程为2py = ， 即抛物线的通径所在的直线 解法 2： （）前同解法 1，再由弦长公式得 22222212 12 121 1()4 148ABkxx kxxx kpkp=+ =+ + =+ + 2221 2pkk=+ + ， 又由点到直线
17、的距离公式得221pdk=+ 从而22 22211 221 2 2 2221ABNpSdABpkk pkk=+ =+ ， 当 0k = 时，2max()22ABNSp= （）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 ya= ，则以 AC 为直径的圆的方程为11( 0)( ) ( )( ) 0xxxypyy=， 将直线方程 y a= 代入得211()( )0xxxapay+ =， 则21114( )( ) 4 ( )2px apay a y apa= = + 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为33 44()()Px y Qx y， ， ， N O A C B y x Ol 则有34 1 14()2 ()22ppPQ x x a y a p a a y a p a = + = + 令 02pa=， 得2pa = ， 此时 PQ p= 为定值， 故满足条件的直线 l 存在， 其方程为2py = ， 即抛物线的通径所在的直线
