1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） N 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分 .考试用时 120 分钟 . 参考公式 : 如果事件 A、 B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A、 B 相互独立，那么 )()()( BPAPABP = 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 () (1 )kk nknnPk CP P= 球的体积公式 343VR= ,球的表面积公式24SR= ，其中 R 表示球的半径 第卷 （选择题） 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分
2、，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1不等式2x x 的解集是 A(),0 B. ( )0,1 C. ()1, + D. ( ) ( ),0 1,+ 2若 O、 E、 F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 A EFOFOE=+nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullB. EFOFOE=nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullC. EFOFOE= +nullnullnullnull nullnullnullnull nullnul
3、lnullnullD. EFOFOE= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull3. 设()2:400pb ac a， ( )2:00q x ax bx c a+ += 关于 的方程 有实根， 则 p 是 q的 A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4在等比数列 ( )nanN 中，若1411,8aa= = ，则该数列的前 10 项和为 A 8122 B. 9122 C. 10122 D. 11122 5在()()1nx nN+的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则 n= A8 B
4、. 9 C. 10 D.11 6如图 1，在正四棱柱 111 1ABCD ABC D 中，E、F 分别是11AB C、B 的中点，则以下结论中不成立的是 A1EF BB与垂直 B. EF BD与垂直 C. EF与CD异面 D. EF11与A C 异面 7根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图 2） ，从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A48 米 B. 49米 C. 50米 D. 51 米 8函数244()43xfxx x= +11xx的图象和函数2() loggx x= 的图象的交点个数是 A1 B.2 C.3 D. 4 9
5、 设12FF、 分别是椭圆 ()222210xyabab+=的左、 右焦点， P是其右准线上纵坐标为 3c（ c为半焦距）的点，且12 2FFFP= ，则椭圆的离心率是 A312B. 12C. 512D. 2210. 设集合 1, 2, 3, 4, 5, 6M = ，12SS Mk、 、 、S 都是 的含两个元素的子集，且满 足：对任意的 ( ), , , 1,2,3,iiij jjSabSabijij k=null、 ，都有()min , min , min ,jjiiii j jababxyba ba 表示两个数x、y中的较小者 .则 k 的最大值图 1 是 A10 B.11 C. 12
6、D. 13 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在横线上 . 11. 圆心为()1,1 且与直线 4xy+=相切的圆的方程是 . 12. 在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 abc、 ，若 1, 3,3ac C= =，则 A= . 13. 若232340, , log9aa a= =则 . 14. 设集合 () ( ) ,| | 2|, 0, ,| ,A xy y x x B xy y x b A B=+， （1） b 的取值范围是 . （2）若(),x yAB且 2x y+ 的最大值为 9，则 b 的值是 . 15.棱长为 1 的正方形111
7、1ABCD ABC D 的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是 ；设 E、F 分别是该正方形的棱11AA、DD 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为 . 三解答题：本大题共小题，共 75 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分分） 已知函数 ()21 2sin 2sin cos888fx x x x = + + + + .求： ()函数 ()f x 的最小正周期； （）函数()f x 的单调增区间. 17.（本小题满分分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项
8、培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. ()任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； ()任选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率. 18.（本小题满分 4 分） 如图 3，已知直二面角 PQ ， PQA ， B ， C ， CBCA= ，= 45BAP ，直线 CA 和平面 所成的角为 30null. ()证明 BCPQ ； ()求二面角 B AC P 的大小. 19.（本小题满分 13 分） 已知双曲线222xy = 的右焦点为 F，过点 F 的动
9、直线与双曲线相交与 A、 B 两点，点 C 的坐标是（ 1， 0）. （）证明 CA CBnullnullnullnullnullnullnullnull为常数； （）若动点 M CM CA CB CO=+nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull满足 （其中 O为坐标原点） ， 求点 M 的轨迹方程. 20.（本小题满分 13 分） 设nS 是数列 na *)( Nn 的前 n项和， aa =1，且21223+=nnnSanS ， 0na ，null,4,3,2=n 。 （）证明数列 2(2)nna
10、an+是常数数列； （）试找出一个奇数 a，使以 18 为首项， 7 为公比的等比数列 ( )nbnN 中的所有项都是数列 na 中的项，并指出nb 是数列 na 中的第几项. 21.（本小题满分 13 分） 已知函数()321132f x x ax bx= +在区间 ) ( 1,1 , 1, 3 内各有一个极值点. （）求24ab 的最大值； （）当248ab=时，设函数 ( )yfx= 在点 ( )( )1, 1Af 处的切线为 l，若在点 A 处穿过()yfx=的图象（即动点在点 A 附近沿曲线( )yfx=运动，经过点 A 时，从l的一侧进入另一侧） ，求函数 ( )f x 的表达式.
11、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 11. 2)1()1(22=+ yx 12.613.3 14.（1） )+,2 （2）2915. 3 ， 2 三、解答题 16.解： )42sin()42cos()(+= xxxf xxx 2cos2)22sin(2)442sin(2 =+=+=() 函数()f x 的最小正周期是 =22T （）当
12、 kxk 222 ，即 kxk 2（ Zk ）时， 函数 xxf 2cos2)( = 是增函数， 故函数 ()f x 的单调增区间是 ,2 kk （ Zk ） 17. ()解法一 任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1.025.04.0)()()(1= BPAPBAPP 所以该人参加过培训的概率是 9.01.0111=P 解法二 任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 45.075.04.025.06.0)()()(2=+=+=+= BAPBAPBABAPP 该人参加过两项培训的概率是 45.075.06.0)()()(3= BPAPBAPP 所以该人参加过培训的概率
13、是 9.045.045.032=+=+PP () 解法一 任选 3 名下岗人员，这 3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 243.01.09.02234=CP 3 人都参加过培训的概率是 729.09.03335=CP 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 972.0729.0243.054=+=+PP 解法二 任选 3 名下岗人员，这 3 人中只有 1 人参加过培训的概率是 027.01.09.02136=CP 3 人都没有参加过培训的概率是 001.01.037=P 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 972.0001.0027.01176= PP 18. ()证明
14、：在平面 内过点 C 作 CO PQ 于点 O，连结 OB， 因为 ， PQ= ，所以 CO 又因为 CA=CB，所以 OA=OB， 而 = 45BAO ， 所以 = 45ABO ， = 90AOB ， 从而 BO PQ，又 CO PQ， 所以 PQ平面 OBC， 因为 BC 平面 OBC，故 BCPQ ()解： 解法一 由()知， BO PQ，又 ， PQ= ， BO ，所 以 BO 过点 O 作 OH AC 于点 H，连结 BH，由三垂线定理知： BH AC， 故 BHO 是二面角 B AC P的平面角。 由()知， CO ，所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角，即 = 30CAO 不
15、妨设 AC=2，则 3=AO ，2330sin = AOOH 在 OABRt 中， = 45BAOABO ，所以 3= AOBO 于是在 BOHRt 中， 2233tan =OHBOBHO 故二面角 B AC P的大小为 2arctan 解法二 由()知： OAOC ， OBOC ， OBOA ， 故可以 O 为原点，分别以直线 OB、 OA、 OC 为 x轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系（如图） 。 因为 CO ，所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角，即 = 30CAO ， 不妨设 AC=2，则 3=AO ， 1=CO 在 OABRt 中， = 45BAOABO ， 所以 3=
16、AOBO 则相关各点的坐标分别是 )0,0,0(O ， )0,0,3(B ， )0,3,0(A ， )1,0,0(C 所以 )0,3,3( =AB ， )1,3,0( =AC 设 ),(1zyxn = 是平面 ABC 的一个法向量，由=0011ACnABn得：=+=03033zyyx取 1=x ，得 )3,1,1(1=n 。易知 )0,0,1(2=n 是平面 的一个法向量 设二面角 B AC P的平面角为 ，由图可知，21,nn= 所以55151cos2121=nnnn 故二面角 B AC P的大小为55arccos 19. 解：由条件知 )0,2(F ，设 ),(11yxA ， ),(22y
17、xB （）当 AB 与 x轴垂直时，可设点 A、 B 的坐标分别为 )2,2( 、 )2,2( ， 此时 CA CBnullnullnullnullnullnullnullnull1)2,1()2,1( = 当 AB 不与 x轴垂直时，设直线 AB 的方程是 )2( = xky )1( k 代入222xy=，有 0)24(4)1(2222=+ kxkxk 则1x ，2x 是上述方程的两实根，所以142221=+kkxx ，1242221+=kkxx 于是 CA CBnullnullnullnullnullnullnullnull)2)(2()1)(1()1)(1(212212121+=+= x
18、xkxxyyxx 14)(12()1(2212212+= kxxkxxk 141)12(41)24)(1(2222222+= kkkkkkk114)24(22=+= kk 综上所述， CA CBnullnullnullnullnullnullnullnull为常数 1 （） 解法一 设 ),( yxM ，则 ),1( yxCM = ， ),1(11yxCA = ， ),1(22yxCB = ， )0,1(=CO ，由 COCBCACM += 得： +=+=212131yyyxxx，即=+=+yyyxxx21212于是 AB 的中点坐标为 )2,22(yx+当 AB 不与 x轴垂直时，22222
19、2121=+=xyxyxxyy，即 )(22121xxxyyy = 又因为 A、 B 两点在双曲线上，所以=2222222121yxyx，两式相减得 )()(21212121yyyyxxxx +=+ ，即 yyyxxx )()2)(2121=+ 将 )(22121xxxyyy = 代入上式，化简得 422= yx 当 AB 与 x轴垂直时， 221= xx ，求得 )0,2(M ，也满足上述方程 所以点 M 的轨迹方程是： 422= yx 解法二 同 解法一 得 =+=+yyyxxx21212 当 AB 不与 x轴垂直时，由（）有142221=+kkxx 14)414()4(2222121=+
20、=+kkkkkxxkyy 由得：14222=+kkx ， 142=kky 当 0k 时， 0y ，由、得： kyx=+ 2，将其代入有 2222)2()2(41)2(24yxxyyxyxy+=+= ，整理得： 422= yx 当 0=k 时，点 M 的坐标为 )0,2( ，满足上述方程 当 AB 与 x轴垂直时， 221= xx ，求得 )0,2(M ，也满足上述方程 故点 M 的轨迹方程是： 422= yx 20. 解： （）当 2n 时，由已知得nnnanSS22123=01=nnnSSa ，213nSSnn=+ 于是21)1(3 +=+nSSnn 由得： 361+=+naann 于是 9
21、612+=+naann 由得： 62=+ nnaa 即数列 2(2)nnaan+是常数数列。 （）由有 1212=+SS ，所以 aa 2122= 由有 1523=+aa ，所以 aa 233+= 而表明：数列 ka2和 12 +ka 分别是以2a 、3a 为首项，6 为公差的等差数列， 所以 6266)1(22+=+= akkaak， 3266)1(312+=+=+akkaak， *Nk 由题设知，1718=nnb 当 a为奇数时，12 +ka 为奇数，而nb 为偶数，所以nb 不是数列 12 +ka 中的项，nb 只可能是ka2中的项。 若 181=b 是数列 ka2中的第0k 项，由 6
22、26180+= ak 得 630= ka ， 取 30=k 得： 3=a ，此时 kak62= ，由knab2= 得 kn67181=， *731Nkn=，从而nb 是数列 na 中的第176n项。 （注：考生取满足 630= ka ， *0Nk 的任一奇数，说明nb 是数列 na 中的第232761+an项即可） 21. 解： （）因为函数()321132f x x ax bx=+ +在区间 ) ( 1,1 , 1, 3 内分别有一个极值点， 所以 baxxxf +=2)( 在区间 ) ( 1,1 , 1, 3 内分别有一个实根。 设两实根为1x ，2x （1x xg 或当 11xg ，当21 mxxh ，当21 mxxh 或当 11 xm 时， 0)( xh ，当21 mx 时， 0)( xh 由 0)1( =h 知 1=x 是 )(xh 的极值点，则 023112)1( =+=ah ， 所以 2=a ，又由248ab=得 1=b ， 故 xxxxf =2331)(
