1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供文科考生使用） 本试卷分第卷（选择题）和第卷 （非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 （选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PAPB=ii 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P ，那么 343VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 (
2、) (1 )kk nknnPk Cp p= 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 1 3A= ， ， 234B= ， ， ，则 AB= （ ） A 1 B 2 C 3 D 1 2 3 4， ， ， 2若函数 ()y fx= 的反函数图象过点 (1 5)， ，则函数 ()y fx= 的图象必过点（ ） A (5 1)， B (1 5)， C (1 1)， D (5 5)， 3双曲线22116 9xy=的焦点坐标为（ ） A (70) ， ， (70)， B (0 7)， ， (0 7)， C (50) ， ，
3、 (5 0)， D (0 5)， ， (0 5)， 4若向量 a 与 b 不共线， 0iab ，且iiaac=a bab，则向量 a 与 c的夹角为（ ） A 0 B6C3D25设等差数列 na 的前 n项和为nS ，若39S = ，636S = ，则789aaa+ +=（ ） A 63 B 45 C 36 D 27 6若 mn， 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A若 m ， ，则 m B若 m ， m ，则 C若 ， ，则 D 若 m = ， n = ， mn ， 则 7若函数 ()yfx= 的图象按向量 a 平移后，得到函数 (1)2yfx= 的图象
4、，则向量 a=（ ） A (1 2)， B (1 2)， C (1 2)， D (12) ， 8已知变量 x y， 满足约束条件20170xyxxy+，则yx的取值范围是（ ） A965， B )965+， C ( )36 +， D 3 6， 9函数212log ( 5 6)yxx=+的单调增区间为（ ） A52+， B (3 )+， C52， D (2)， 10一个坛子里有编号为 1， 2， 12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为（ ） A122B111C322D21111设 p q
5、， 是两个命题：251:| | 3 0 : 066px qx x + ， ，则 p 是 q的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 12将数字 1， 2， 3， 4， 5， 6 拼成一列，记第 i 个数为i(i 1 2 6)a = null， ， ，若11a ，33a ，55a ，135aaa ） （ I）求函数 ()f x 的值域； （ II）若函数 ()y fx= 的图象与直线 1y = 的两个相邻交点间的距离为2，求函数()yfx= 的单调增区间 20 （本小题满分 12 分） 1A1C1B CB AMD E 已知数列 na ， nb 满足
6、12a = ，11b = ，且11113114413144nn nnn naa bba b= += +（ 2n ） （ I）令nnncab=+，求数列 nc 的通项公式； （ II）求数列 na 的通项公式及前 n项和公式nS 21 （本小题满分 14 分） 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线22y x= 上，其中 O 为坐标原点，设圆 C 是OAB 的内接圆（点 C 为圆心） （ I）求圆 C 的方程； （ II）设圆 M 的方程为22(47cos)(7sin)1xy + =，过圆 M 上任意一点 P 分别作圆 C 的两条切线 PE PF， ，切点为 E F， ，求 CECFnull
7、nullnullnullnullnullnullnull， 的最大值和最小值 22 （本小题满分 12 分） 已知函数32 2( ) 9 cos 48 cos 18sinfx x x x = + + ， () ()gx f x= ，且对任意的实数 t均有 (1 cos ) 0gt+ ， (3 sin ) 0gt+ （ I）求函数 ()f x 的解析式； （ II）若对任意的 266m ， ，恒有2() 11fx x mx ，求 x 的取值范围 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供文科考生使用）试题答案与评分参考 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出
8、了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 （ 1） C（ 2） A（ 3） C（ 4） D（ 5） B（ 6） B（ 7） C（ 8） A（
9、 9） D（ 10） D（ 11） A （ 12） B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，共 16 分。 （ 13） 1（ 14） 72（ 15） 4 3 n （ 16） 2 三、解答题 （ 17）本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分 12 分 . （）解： 分组 500， 900 900， 1100 1100， 1300 1300， 1500 1500， 1700 1700， 1900 1900， + 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.2
10、08 0.223 0.193 0.165 0.042 4 分 （）解：由（）可得 0.048+0.121+0.208+0.223 0.6，所以灯管使用寿命不是 1500小时的频率为 0.6. 8 分 （）解：由（）知： 1 只灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P=0.6.根据在 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率公式可得 648.06.04.06.0)3()2(221131=+=+ CPP 。 所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648. 12 分 （ 18）本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分 1
11、2 分。 （）证明：连结 CD， 三棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱。 CC1平面 ABC， CD 为 C1D 在平面 ABC 内的射影， ABC 中， AC=BC， D 为 AB 中点。 AB CD， AB C1D， A1B1 AB， A1B1 C1D。 （）解法一：过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F，连结 MF. D、 E 分别为 AB、 BC 的中点。 DE AC。 又 AF CE， CE AC， AF DE。 MA平面 ABC， AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影。 MF DE， MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角， MFA 30。 在 Rt MAF
12、 中， AF = 30,221MFAaBC , AM= a63. 作 AC MF，垂足为 G。 MF DE,AF DE, DE平面 AMF, 平面 MDE平面 AMF. AG平面 MDE 在 Rt GAF 中， GFA 30， AF=2a, AG=4a,即 A 到平面 MDE 的距离为4a。 CA DE, CA平面 MDE, C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等，为4a。 解法二：过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F，连结 MF， D、 E 分别为 AB、 CB 的中点， DE AC, 又 AF CE,CE AC, AF DE, MA平面 ABC, A
13、F 为 MF 在平面 ABC 内的射影， MF DE, MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角， MFA 30。 在 Rt MAF 中， AF=21BC= = 30,2MFAa, AM= a63. 8 分 设 C 到平面 MDE 的距离为 h。 MOCCCDEMVV= , hSMASMDECDE=3131, aMAaDECESCDE63,8212=, 212330cos2121aAFDEMFCESMDE=, haaa=221233163831， h=4a，即 C 到平面 MDE 的距离为4a。 12 分 19.本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关
14、知识的能力。满分 12 分。 （）解：.1)6sin(cos21)cos21sin23(2)1(coscos21sin23cos21sin23)(=+=xxxxxxxxf 5 分 由 -1 )6sin(cosx 1，得 -3 1)6sin(cos2 x 1。 可知函数 )(xf 的值域为 -3,1 . 7 分 （）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知， )(xfy = 的周其为 w，又由 w 0，得 w2，即得 w=2。 于是有 1)62sin(2)( =xxf ，再由 Z)(226222 + kkk ，解得 Z)(36+ kkxk 。 所以 )(xfy = 的单调增区间为 Z)(3,6 k
15、kk （ 20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分 12分。 （）解：由题设得 )2(2)(11+=+nbabannnn，即 （）解：由题设得 )2)(2111=nbabannnn，令nnnbad = ，则 )2(211=nddnn。 易知 dn是首项 1=nnba ，公比为21的等比数列，通项公式为 dn121n 8 分 由于=+=+121,12nnnnnbanba解得 an2121+ nn。 10 分 求和得 12212+= nnSnn。 12 分 （ 21）本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力
16、。满分 14 分。 （）解法一：设 A、 B 两点坐标分别为（121,2yy） ， （222,2yy） ，由题设知 221222212222221221)()22()2()2( yyyyyyyy+=+=+ ， 解得 122221= yy ， 所以 A（ 6， 2 3 ） ， B（ 6， -2 3 ）或 A（ 6， -2 3 ） ， B（ 6， 2 3 ） 。 设圆心 C 的坐标为（ r,0） ，则 4632=r ，所以圆 C 的方程为 .16)4(22=+ yx 4 分 解法二：设 A、 B 两点坐标分别为（ x1， y1） ， （ x2， y2） ，由题设知 22222121yxyx +=+ 又因为2221212,2 xyxy = ，可得22112122 xxxx +=+ ，即 0)2)(2121=+ xxxx 。 由 0021，xx ，可知 x1 0，故 A、 B 两点关于 x 轴对称，所以圆心 C 在 x 轴上， 设 C 点的坐标为（ r,0） ，则 A 点的坐标为（ r23,23） ，于是有 rr232)23(2= ，解得r=4，所以圆 C 的方程为 16)4(22=+ yx 。 4 分 （）解：设 ECF 2a，则 16cos322cos|2= aaCFCECFCE 8 分 在 Rt PCE 中，|4|cosPCPCra = ，由圆的几何性质得
