1、2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷(理工农医类) 考生注意： 1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 2本试卷共有21道试题，满分150分考试时间120分钟请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 一填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1函数3)4lg(=xxy 的定义域是 2若直线1210lxmy+=： 与直线231ly x= ： 平行，则 =m 3函数1)(=xxxf 的反函数 =)(1xf 4方程 96370xx =的解是 5若 xy+R， ，且 14 =+ yx ，则
2、 x y 的最大值是 6函数+=2sin3sin xxy 的最小正周期 =T 7在五个数字 12345， 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 8以双曲线 15422=yx的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 9对于非零实数 ab， ，以下四个命题都成立： 01+aa ； 2222)( bababa +=+ ； 若 | ba = ，则 ba = ； 若 aba =2，则 ba = 那么，对于非零复数 ab， ，仍然成立的命题的所有序号是 10在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知 ， 是两个 相交平面，空间两条直线12l
3、l， 在 上的射影是直线12s s， ，12ll， 在 上的射影是 直线12tt， 用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： 11已 知 P 为圆 1)1(22=+ yx 上任意 一点（原点 O 除外） ，直线 OP 的倾斜角为 弧度，记 | OPd = 在右侧的坐标系中，画出以 ()d， 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A， B， C， D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一
4、个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零分 12已知 abR， ，且 i,i2 + ba （ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 02=+ qpxx 的两个根，那么 pq， 的值分别是（ ） 45pq= =， 43pq=， 45pq=， 43pq= =， 13设 ab， 是非零实数，若 ba k )的“对称数列” ，其中121kk kcc c+null， 是首项为 50，公差为 4 的等差数列记 nc 各项的和为12 kS 当 k 为何值时，12 kS 取得最大值？并求出12 kS 的最大值； （ 3）对于确定的正整数 1m ，写出所有项数不超过 m2 的“对称数列” ，使得21122 2m
5、null， ， ， 依次是该数列中连续的项； 当 m 1500 时， 求其中一个 “对称数列” 前 2008项的和2008S 21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分 我们把由半椭圆 12222=+byax(0)x 与半椭圆 12222=+cxby(0)x 合成的曲线称作“果圆” ，其中222cba += ， 0a ， 0 cb 如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与 x ， y轴的交点 （ 1）若012FFF 是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆”的方
6、程； （ 2）当21AA 21BB 时，求ab的取值范围； （ 3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦试研究：是否存在实数 k ，使斜率为 k 的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 k 值；若不存在，说明理由 y 1BO 1A2B2A . .1F0F2Fx . 2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷(理工农医类)答案要点 一、填空题（第 1 题至第 11 题） 1 34 ， ，即 )(2121xxxxa + xx ， 16)(2121+ xxxx a 的取值范围是 (16， 解法二：当 0=a 时，2)( xxf = ，显然在
7、 2 )+， 为增函数 当 0a 时，同解法一 20解： （ 1）设 nb 的公差为 d ，则 1132314=+=+= ddbb ，解得 3=d ， 数列 nb 为 25811852， ， （ 2）12112112 +=kkkkkccccccS nullnull kkkkcccc +=+)(2121null ， 50134)13(42212+=kSk， 当 13=k 时，12 kS 取得最大值 12 kS 的最大值为 626 （ 3）所有可能的“对称数列”是： 22122122 2 2 2 2 21mmmnullnull， ， ， ， ； 221122122 2222 21m mmmnull
8、null， ； 12 2 2 2122 212 2mm mm nullnull， ； 12 2 2 2122 2112 22mm m m nullnull， ， ， ， 对于，当 2008m 时， 1222212008200722008=+= nullS 当 1500 2007m+ ，即 abba 222 2222)2( acbb =+ ，222)2( abba ，得54=abbacb 2425ba， （ 3）设“果圆” C 的方程为22221( 0)xyxab+= ，22221( 0)yxxbc+= 记平行弦的斜率为 k 当 0=k 时，直线 ()yt b t b= 与半椭圆22221( 0)xyxab+= 的交点是 P221tatb， ，与半椭圆22221( 0)yxxbc+= 的交点是 Q221tctb， P Q， 的中点 M ()x y， 满足 221,2ac txbyt =i，得 122222=+bycax ba 2k 时，以 k 为斜率过1B 的直线 l 与半椭圆22221( 0)xyxab+= 的交点是222322 2 22 22ka b k a b bka b ka b+， 由此，在直线 l 右侧，以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 xkaby22= 上，即不在某一椭圆上 当 0k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上
