1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3到 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBA
2、P +=+ 24 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP = 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 334RV = n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkknnPPCkP= )1()( 一选择题： (1)复数211iii+的值是 （ A） 0 (B)1 (C)-1 (D)1 (2)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是 (3)2211lim21xxxx=（ A） 0 (B)1 (C)21(D)32(4)如图， ABCD-A1B
3、1C1D1为正方体，下面结论错误的是 （ A） BD平面 CB1D1 （ B） AC1 BD （ C） AC1平面 CB1D1 （ D）异面直线 AD 与 CB1角为 60 （ 5） 如果双曲线 12422=yx上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离是 （ A）364（ B）362（ C） 62 （ D） 32 （ 6）设球 O 的半径是 1， A、 B、 C 是球面上三点，已知 A 到 B、 C两点的球面距离都是2，且三面角 B-OA-C 的大小为3，则从 A 点沿球面经 B、 C 两点再回到 A 点的最短距离是 （ A）67（ B）45（ C）34（ D）23
4、（ 7）设 A a,1 ， B 2， b ， C 4,5 ，为坐标平面上三点， O 为坐标原点，若方向在与OCOBOA 上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为 (A) 354 = ba (B) 345 = ba (C) 1454 =+ ba (D) 1445 =+ ba （ 8）已知抛物线 32+= xy 上存在关于直线 0=+ yx 对称的相异两点 A、 B，则 |AB|等于 （ A） 3 （ B） 4 （ C） 23 （ D） 24 （ 9）某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲
5、每投资 1 万元可获得 0.4万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 （ A） 36 万元 （ B） 31.2 万元 （ C） 30.4 万元 （ D） 24 万元 （ 10）用数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有 （ A） 288 个 （ B） 240 个 （ C） 144 个 （ D） 126 个 （ 11）如图， l1、 l2、 l3是同一平面内的三条平行直线， l1与 l2间的距离是1， l2与 l3间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分
6、别在 l1、 l2、 l3上，则 ABC 的边长是 （ A） 32 （ B）364（ C）4173（ D）3212（ 12）已知一组抛物线 1212+= bxaxy ，其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数， b 为 1,3,5,7 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是 （ A）121（ B）607（ C）256（ D）255 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在横线上 . （ 13）若 函 数 f(x)=e-(m-u)2(c 是自然对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x)是偶函数，则 m+u
7、= . (14)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱长为 2 ，底面三角形的边长为 1，则 BC1与侧面 ACC1A1所成的角是 . (15)已知 O 的方程是 x2+y2-2=0, O的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向 O 和 O所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题： 函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 . 终边在 y 轴上的角的集合是 a|a= Zkk,2|. 在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点 . 把函数 .2sin36)32sin(3 的图象得到的图象向右平移 xyxy
8、 =+= 函数 .0)2sin( 上是减函数，在 = xy 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17） （本小题满分 12 分）已知 0,1413)cos(,71cos 且= ， 则() ()000310,1, , , , , 0,0,22M zAM zCP z= =nullnullnullnullnullnullnullnull由直线 AM 与直线 PC 所成的解为060 ，得 0cos 60AM CP AM CP= nullnullnullnullnullnullnullnullnull null
9、nullnullnullnullnullnullnullnull，即2200032zzz= + ，解得01z =()310,0,1 , , , 022CM CA=nullnullnullnullnullnullnullnull，设平面 MAC 的一个法向量为 111,nxyz=null， 则1111031022yzyz+=，取11x = ，得 1, 3, 3n=null平面 ABC 的法向量取为 ( )0, 0,1m=nullnull设 mnullnull与 nnull所成的角为 ，则3cos7mnmn =nullnullnullnullnull null 显然，二面角 M AC B的平面角为
10、锐角， 故二面角 M AC B的平面角大小为21arccos7（）取平面 PCM 的法向量取为 ( )11, 0, 0n =nullnull，则点 A 到平面 PCM 的距离1132CA nhn=nullnullnullnullnullnullnullnull 1, 1PC PM=nullnullnullnull nullnullnullnullnull，11 1 3 31132 6 2 12PMAC APCMVV PCPMh=nullnullnullnull nullnullnullnullnull（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理
11、计算能力。 解： （）解法一：易知 2, 1, 3abc= 所以()( )123,0 , 3,0FF ，设 ( ),Pxy，则 ()()22123, ,3, 3PFPF xy xy x y= =+nullnullnullnull nullnullnullnullnull()2221133844xxx= + = 因为 2, 2x ，故当 0x = ，即点 P 为椭圆短轴端点时，12PF PFnullnullnullnull nullnullnullnullnull有最小值 2 当 2x = ，即点 P 为椭圆长轴端点时，12PF PFnullnullnullnull nullnullnullnu
12、llnull有最大值 1 解法二：易知 2, 1, 3abc=，所以( ) ( )123,0 , 3,0FF ，设 ( ),Pxy，则 22 2121212 1 2 12 1 212cos2PF PF FFPF PF PF PF FPF PF PFPF PF+= =nullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull
13、nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull () ()2221331232xyxyxy=+=+（以下同解法一） （）显然直线 0x= 不满足题设条件，可设直线 ( )( )12 22:2,ly kx Axy Bxy= ， 联立22214ykxxy=+=，消去 y ，整理得：2214304kxkx+ +=12 122243,1144kxx xxkk+= =+由 ()22144 34304kk k= + = 得：32k 又0090cos00 0AB AB OAOB nullnullnullnullnullnullnullnull12 120OA OB x x
14、 y y= + nullnullnullnullnullnullnullnull又 ()( ) ( )212 1 2 12 1 222 2 4y y kx kx k x x k x x=+ += + +22223841144kkkk= +22114kk+=+2223101144kkk+，即24k ， 214x ， 即有12x （充分性）若120x ，由122nnnxxx+=+ 用数学归纳法易得 0nx ，从而 ()12222122nnnnnxxxnxx+= + = ，即 ()22nxn 又12x ( )22nxn 于是214222nnnn nnnx xxx xx x+=+=( )( )2202
15、nnnxxx+= ， 即1nnx x+ 对一切正整数 n成立 （）由122nnnxxx+=+，知()21222nnnxxx+= ，同理，()21222nnnxxx+= 故2112222nnxx+=从而1122lg 2lgnnxx+=，即12nnaa+= 所以，数列 na 成等比数列，故11 1111222lg 2lg32nn nnxaax += =， 即12lg 2 lg 32nnnxx+=，从而21232nnnxx+=所以()212123 131nnnx+=（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。 （
16、）解：展开式中二项式系数最大的项是第 4 项，这项是335631201Cnn=（）证法一：因() ()2211221 1nfxfnn+=+221121 1nnn+1121 1nnn=+121nn+1121 ln12nn+ +()1121 ln1 2nf xnn+ +=证法二：因() ()2211221 1nfxfnn+=+221121 1nnn+1121 1nnn=+而()11221ln1nfxnn=+ +故只需对11n+和1ln 1n+进行比较。 令 () ( )ln 1gx x xx= ，有 ()111xgxx x= = 由10xx= ，得 1x = 因为当 01x ， ()gx单调递增，
17、所以在 1x= 处()gx有极小值 1 故当 1x 时，() ()11gx g=， 从而有 ln 1x x，亦即 ln 1 lnx xx+ 故有111ln1nn+ +恒成立。 所以 () () ()222f xf fx+ ，原不等式成立。 （）对 mN ，且 1m 有201 2111111mkmkmmm m m mCC C C Cmm +=+ + + + nullnull () ( ) ( ) ()211112112! ! !kmmm mm m k mmmkmmm+ =+ + + nullnullnullnull11 11 2 1 11 121 1 1 1 1 12! ! !kmmkmm m mm m =+ nullnullnullnull 11 1 122! 3! ! !km=null ，故121 3mm +121 3mm+ ，从而有1121 3knknnk=+成立， 即存在 2a = ，使得1121 3knknnk=+恒成立。
