1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。 1 若 cos sinzi =+（ i为虚数单位） ，则21z = 的 值可能是 （ A）6（ B） 4（ C）3（ D） 22 已知集合 1,1M = ，1124,2xNx xZ+= （ D）对任意的 x R ，3210xx + 8 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒
2、且小于 15 秒； 第六组，成绩大于等于 18 秒且小于 19 秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方图中可分析出 x和 y 分别为 （ A） 0.9,35 （ B） 0.9, 45 （ C） 0.1,35 （ D） 0.1, 45 9 下列各小题中， p 是 q的充要条件的是 （ 1） :2pm ；2:3qy x mxm= +有两个不同的零点。 （ 2）():1;()fxpfx= :()qy fx= 是函数。 （ 3） :cos cos ;p = :ta
3、n tanq = 。 （ 4） :;p ABA= :UUqCB CA 。 （ A） (1), (2) （ B） (2),(3) （ C） (3),(4) （ D） (1), (4) 10 阅读右边的程序框图，若输入的 n是 100，则输出的变量 S 和 T 的值依次是 （ A） 2500, 2500 （ B） 2550, 2550 （ C） 2500,2550 （ D） 2550, 2500 O 13 14 15 16 17 18 19 0.36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 11 在直角 ABC 中， CD是斜边 AB上的高，则下列等式不成立的是 （ A）2ACACAB=
4、nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull（ B） 2BCBABC= nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull（ C）2AB AC CD=nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull（ D） 22()()AC AB BA BCCDAB=nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnu
5、ll12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3) 的概率为 （ A）51()2（ B） 2551()2C （ C）3351()2C （ D） 23 5551()2CC 否是开始 输入 n SSn= +结束2?n输出,ST0, 0ST=1nn= TTn= +1nn= 第卷 （共 90 分） 注意事项 ： 1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分，答案须
6、填在题中横线上. (13)设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2=2px(p0)的焦点， A 是抛物线上的一点， FA与 x 轴正向的夹角为 60,则 OA 为 . (14)设 D 是不等式组+1,40,32102yxyxyx ，表示的平面区域，则 D 中的点 P（ x,y）到直线 x+y=10 距离的最大值是 . (15)与直线 x+y-2=0 和曲线 x2+y2-12x-12y+64=0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 . (16)函数 y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中mn0,则nm21+ 的最小值为 . 三、解
7、答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人 17（本小题满分 12 分） 设数列 na 满足21 *12 33 3 .3 , .3nnnaa a a nN+ + = (I)求数列 na 的通项 ; (II)设 ,nnnba= 求数列 nb 的前 n项和nS . 18（本小题满分 12 分）设 bc和 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 ,用随机变量 表示方程20xbxc+=实根的个数 (重根按一个计 ). (I)求方程20xbxc+= 有实根的概率 ; (II) 求 的分布列和数学期望 ; (III)求在先后两次出现的点数中有 6 的条件下 ,
8、方程方程20xbxc+ += 有实根的概率 . 19（本小题满分 12 分）如图 ,在直四棱柱111 1ABCD ABC D 中 ,已知 122DC DD AD AB=, AD DC , ABDCnull . (I)设 E是 DC 的中点 ,求证 : 11DE ABDnull平面 ; (II)求二面角11ABDC的余弦值 . ED1 C1B1A1DCBA得 分 评卷人 (20)(本小题满分12 分) 如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1处，此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分
9、钟到达 A1处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B1处，此时两船相距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 得 分 评卷人 （21） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最小值为 1； （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 l1y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点（ A， B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C的右顶点.求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标. 得 分 评卷人 (22)(本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=x2+b ln(x+1),其中 b0. (
10、)当 b21时，判断函数 f(x)在定义域上的单调性； （）求函数 f(x)的极值点； （）证明对任意的正整数 n,不等式ln(3211)11(nnn+ )都成立. 参考答案 1-12 【答案】 : DBDAAB， CADDCB 13 【答案】 : 212p 14 【答案】 : 42. 15 【答案】 :. 22(2)(2)2xy+= 16 【答案】 : 8。 17【答案】 : (I)2112 33 3 .3 ,3nnnaa a a+ + = 2212 3 113 3 .3 ( 2),3nnnaa a a n+ + = 1113(2).333nnnnan= = 1(2).3n nan= 验证
11、1n= 时也满足上式，*1().3n nanN= (II) 3nnbn= ， 231 3 2 3 3 3 . 3nnSn=+ + + 23 123333 3nnnSn+=+ 11332313nnnSn+= ， 111333244nnnnS+= + 18【答案】 :（ I）基本事件总数为 66 36 = ， 若使方程有实根，则240bc= ，即 2bc 。 当 1c= 时， 2,3, 4,5, 6b= ； 当 2c = 时， 3, 4, 5, 6b= ； 当 3c= 时， 4,5, 6b= ； 当 4c = 时， 4,5, 6b= ； 234 13 1 3 2 3 3 3 . 3nn+= + +
12、 + 当 5c = 时， 5, 6b= ； 当 6c = 时， 5, 6b= , 目标事件个数为 54332219,+= 因此方程20xbxc+= 有实根的概率为19.36(II)由题意知， 0,1, 2 = ，则 17(0)36P =，21(1) ,36 18P = =17(2)36P =， 故 的分布列为 0 1 2 P 17361181736 的数学期望17 1 170121.36 18 36E = + + = (III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M， “方程20ax bx c+ += 有实根” 为事件N，则11()36PM = ，7()36PMN = ， ()7()()
13、1PMNPNMPM=. 19【答案】 :(I)连结 BE，则四边形 DABE为正方形， 11BEADAD =，且11BEADADnullnull ， 11ADEB四边形 为平行四边形， 11DE AB null . 1111DE ABD AB ABD 平面 ， 平面 ， 11.DE ABD null平面 (II) 以 D 为原点，1,DA DC DD 所在直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设 1DA= ，则11(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0, 2, 2), (1,0, 2).DABC A 1(1,0,2), (1,1,0).DA DB =
14、nullnullnullnullnullnullnullnull设 (, ,)nxyz=null为平面1ABD的一个法向量， 由1,nDAnDBnull nullnullnullnullnull null nullnullnullnull得200xyxy+=+=， 取 1z = ，则 (2,2,1)n= null. 设111(, ,)mxyz=nullnull为平面1CBD的一个法向量， 由 ,mDCmDBnullnull nullnullnullnull nullnull nullnullnullnull得11112200yzxy+=+=， 取11z = ,则 (1, 1,1)m=nulln
15、ull. 33cos , .393mnmnmn 3, 1ac ac+= =，22, 1, 3acb= 221.43xy += (II)设11 2 2(, ),(, )Ax y Bx y ，由22143y kx mxy= + =得 22 2(3 4 ) 8 4( 3) 0kx mkx m+=， 22 2 264 16(3 4 )( 3) 0mk k m= + ，2234 0km+ . 212 122284(3),.34 34mk mxx xxkk+= =+222212 1 2 12 1 2 23( 4 )()() () .34mky y kx m kx m kxx mkx x mk= + +=
16、+ +=+以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2,0),D 1AD BDkk = ， 1212122yyxx =，12 12 1 22( ) 4 0yy xx x x+=， 22 22223( 4 ) 4( 3) 164034 34 34mk m mkkk+=+， 22716 40mmkk+=，解得 1222,7kmkm= = ，且满足2234 0km+. 当 2mk= 时， :(2)ly kx=，直线过定点 (2,0),与已知矛盾； 当27km= 时，2:()7ly kx=，直线过定点2(,0).7综上可知，直线 l过定点，定点坐标为2(,0).722【答案】 (I) 函数2() ln(
17、1)fx x b x=+ +的定义域为 ( )1, + . 222( ) 211bxxbfx xxx+=+ =+， 令2() 2 2gx x x b=+，则 ()gx在1,2 +上递增，在11,2上递减， min11() ( )22gx g b=+. 当12b 时，min1() 02gx b= + ， 2() 2 2 0gx x x b=+在 ()1,+上恒成立 . () 0,fx 即当12b 时 ,函数 ()f x 在定义域 ()1, + 上单调递增。 （ II）分以下几种情形讨论： （ 1）由（ I）知当12b 时函数 ()f x 无极值点 . （ 2）当12b= 时，212( )2( )1xfxx+=+， 11,2x 时，() 0,fx 1,2x +时，() 0,fx 12b = 时，函数 ()f x 在 ()1,+上无极值点。 （ 3）当12b ， ()()121, , 1, ,xx + + 此时 ()f x 在 ()1,+上有唯一的极小值点21122bx+ = . 当102b=. 即当 ()0,x+时，有32ln( 1) 0,xx x+ +23ln( 1)x xx+ ， 对任意正整数 n，取1xn= 得23111ln( 1)nnn+
