1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项 ： 1.答卷前， 考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、 试室号、座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型 （B） 填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上
2、，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 锥体的体积公式 shV31= ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。 如果事件 A 、 B 互斥，那么 )()()( BPAPBAP +=+ . 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 ()()()PAB PA PB =. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式null1221,niiiniixy
3、 nxybaybxxnx= =nullnull. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求的. 1.已知函数xxf=11)( 的定义域为 M ， )1ln()( xxg += 的定义域为 N ，则 = NM A. 1xx B. 1xx的焦点，则该抛物线的准线方程是 . 12.如果一个凸多面体 n 棱锥， 那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有 )(nf 对异面直线，则 )4(f 图 4 ; )(nf .（答案用数字或 n 的解析式表示） 13.（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系 xOy 中，
4、直线 l 的参数方程为33x ty t=+=，(参数 tR ),圆 C 的参数方程为2cos2sin 2xy= +(参数 02 ， )， 则圆 C 的圆心坐标为 ，圆心到直线 l 的距离为 . 14.（不等式选讲选做题） 设函数 )2(,312)( += fxxxf 则 ;若 2)( xf ，则 x 的取值范围是 . 15.（几何证明选讲选做题）如图 5 所示，圆 O 的直径 6=AB ， C为圆周上一点， 3=BC ，过 C 作圆的切线 l ，过 A 作 l 的垂线AD ， AD 分别与直线 l 、圆交于点 D 、 E ，则 DAC ，线段 AE 的长为 . 图 5 三、解答题：本大题共有
5、6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 已知 ABC 顶点的直角坐标分别为 )0,()0,0()4,3( cCBA 、 . （1）若 5=c ，求 sin A 的值; （2）若 A 是钝角，求 c 的取值范围. 17.(本题满分 12 分 ) 下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组对应数据 . x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （ 1）请画出上表数据的散点图； （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= ax
6、bnullnull+ ; （ 3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据（ 2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值： 3 2.5+4 3+5 4+6 4.5 66.5） 18.（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 2 2 的圆 C 与直线 y x= 相切于坐标原点 O.椭圆9222yax+ 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为 10. （ 1）求圆 C 的方程 . （ 2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于
7、线段 OF 的长 .若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 19.（本小题满分 14 分） 如图 6所示， 等腰 ABC的底边 AB=6 6 ,高 CD=3，点 E 是线段 BD 上异于点 B、 D 的动点 .点 F 在 BC 边上，且 EF AB.现沿 EF 将 BEF 折起到 PEF 的位置，使PE AE.记 BEx= V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积 . （ 1）求 V(x)的表达式； （ 2）当 x 为何值时， V(x)取得最大值？ (3）当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分 14 分） 已知 a 是实数，函数
8、2() 2 2 3 .f xaxx a=+如果函数 ()y fx= 在区间 1,1 上有零点，求 a 的取值范围 . 21.（本小题满分 14 分） 已知函数2() 1, fx x x =+ 、 是方程 () 0fx= 的两个根 () , ()f x 是 ()f x的导数 .设11()1, ( 1, 2, )()nnnnfaaaa nfa+= =null , (1)求 、 的值； (2)证明：对任意的正整数 n，都有na ; (3)记 ln ( 1, 2, )nnnabna=null ,求数列 nb 的前 n 项和nS . 参考答案 一 . CADBB CBA 二 . 9. 1910. 121
9、1. 54x = 12. 22nn+,12 , (1)(2)2nn n 13. (0,2), 2 2 14. 6, 1, 1 15. 30 , 3null三.解答题 16.(1)解 : 25AC = ,设 AC 中点为 M,则525cos sin55AMAAAB=; (2)解 : ( 3,4), (3,4)AC c AB= =nullnullnullnull nullnullnullnull,若 A 是钝角 ,则 253( 3) 16 03AC AB c c=+nullnullnullnull nullnullnullnull. 17. 解: (1) 散点图略 (2) 4166.5iiiXY=
10、4222221345686iiX= +=4.5X = 3.5Y = 266.5 4 4.5 3.5 66.5 630.786 4 4.5 86 81b = ; 3.5 0.7 4.5 0.35aYbX= 所求的回归方程为 0.7 0.35yx=+ (3) 100x = , 100 0.7 0.35 70.35y =+ = 吨, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 70.35 19.65 = (吨) 18. 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (,)mn 则 ,0, 0222mnmnmn=解得22mn=所求的圆的方程为 22(2)(2)8xy+= (2) 由已知可得 210a =
11、 5a = 椭圆的方程为 22125 9xy+= , 右焦点为 (4,0)F . 设存在点 (, )Qxy C 满足条件 ,则2222(2)(2)8(4) 16xyxy + + =+=解得412(, )55Q 故存在符合要求的点412(, )55Q . 19.解 : (1)11(9 6 ) (0 3 6)326xVxxx= (6,3 6)x 时 , 0;V, 当1221, ),( , )22x x 时 , 0a , a 在两个区间上分别递增 ; 当122(, ),( ,122xx 时 , 0a= + + 命题成立; 假设当*(1, )nkk kN=时命题成立,即51,2ka 21511 151
12、822121 2 2 1622kkkkkaaaaa+ =+=+,又等号成立时51,2ka= 512ka 时,1ka + 1nk =+时命题成立;由知对任意*nN 均有na . (3) () 2 1f xx =+ 221112121nn nnnaa aaa+ + = =+ +1na + =222 21()( 1)()21 21 21nn naa a + + = =+同理 1na + =2()21nnaa+211()ln 2lnnnaa a a + = = 12nnbb+= 又 11135 15ln ln 4ln235aba+ +=数列 nb 是一个首项为 154ln2+,公比为 2 的等比数列; ()()154ln 1 215242 1ln12 2nnnS+=.
