1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理工科） 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） “ 1x ”是“2x x ”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 2）若函数 () 2sin( ),f xxxR = +， （其中 0,| |2|2a+b| （ B） |2a|a+2b| （ D） |2b|的左、右焦点分别为12,FF， P 是准线上一点，且121 2,| | | | 4PF PF PF PF ab=，则双曲线的离
2、心率是 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 3 （ 10）设2,| | 1(),| | 1xxfxxx =时， () ()tf xgx 对任意正实数 t成立； （）有且仅有一个正实数0x ，使得80 0() ()tgx gx 对于任意正实数 t 成立。 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理工类）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 （ 1） A （ 2） D （ 3） D （ 4） B （ 5） A （ 6） B （ 7） C （ 8） D （ 9） B （ 10） C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题
3、4 分，满分 28 分 （ 11） 1 （ 12）725 （ 13） 02xx ， 故直线 AB 的方程是 2622yx=+或2622yx=或2622yx= + ，或2622yx= 21本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力满分 15 分 （ I）解：方程2(3 2 ) 3 2 0kkxkxk+ + =i 的两个根为13x k= ，22kx = ， 当 1k = 时，1232xx=， ， 所以12a = ； 当 2k = 时，16x = ，24x = ， 所以34a = ； 当 3k = 时，19x = ，28x = ， 所以58a = 时； 当 4k = 时，112x =
4、，216x = ， 所以712a = （ II）解：212 2nnSaa a=+null 2(3 6 3 ) (2 2 2 )nn=+ +nullnull 2133222nnn+=+ （ III）证明：(1)12 34 56 2 12111 (1)fnnnnTaa aa aa a a+=+null ， 所以112116Taa=， 212 3411524Taa aa=+= 当 3n 时， (1)34 56 2 1211 1 (1)6fnnnnTaa aa a a+=+ +null ， 34 56 2 1211 1 16nnaa aa a a+ +null 231111 1662 62 2n+ +
5、nulli 111662 6n=+ i， 同时，(1)56 78 2 1251 1 (1)24fnnnnTaa aa a a+=+null 56 12 2 1251 1 124nnaa aa a a+ +null 315111 124 9 2 9 2 2n+ +nulli 51524 9 2 24n= 0， 当 (22)x， 时， 0y ， 故所求函数的单调递增区间是 (2) ， ， (2 )+， ， 单调递减区间是 (22) ， （ II）证明： （ i）方法一： 令2332() () () ( 0)33txhx f x g x tx tx=+，则 223()hx x t =， 当 0t 时
6、，由 () 0hx = ，得13x t= ， 当13()xx+， 时， () 0hx ， 所以 ()hx在 (0 )+， 内的最小值是13() 0ht = 故当 0x 时， () ()tf xgx 对任意正实数 t成立 方法二： 对任意固定的 0x ，令232() ( ) ( 0)3tht g x t x tt=，则 11332() ( )3ht t x t =， 由 () 0ht = ，得3tx= 当30 tx 当3tx 时， () 0ht 时， () ()f xgx 对任意正实数 t成立 （ ii）方法一： 8(2) (2)3tfg= 由（ i）得， (2) (2)ttgg 对任意正实数
7、t成立 即存在正实数02x = ，使得 (2) (2)xtgg 对任意正实数 t成立 下面证明0x 的唯一性： 当02x ，00x ， 8t = 时， 300()3xfx = ，0016()43xgx x=， 由（ i）得，30016433xx， 再取30tx= ，得30300()3xxgx= ， 所以303000 016()4 ()33xxxgx x g x= 都成立 故有且仅有一个正实数02x = ， 使得00()0 ()xtgx gx 对任意正实数 t成立 方法二：对任意00x ，0016()43xgx x=， 因为0()tgx关于 t的最大值是3013x ，所以要使00() ()xtgx gx 对任意正实数成立的充分必要条件是： 30016 1433x x ， 即200(2)(4)0xx+ ， 又因为00x ，不等式成立的充分必要条件是02x = ， 所以有且仅有一个正实数02x = ， 使得00() ()xtgx gx 对任意正实数 t成立
