1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 祝考试顺利 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置. 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效 3将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效 4考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本大题共 10 小题，每小
2、题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为（ ） 3 5 6 10 2将2cos36xy=+的图象按向量24= ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） 2cos 234xy=+2cos 234xy= +2cos 2312xy=2cos 2312xy= +3设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 |P QxxP xQ= ，且 ，如果 2|log 1Px x= ， 的左准线为 l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为 l ， 焦点为21FC； 与2C 的一个交点为 M
3、， 则12 112FF MFMFMF 等于 （ ） A 1 B 1 C12 D128 已知两个等差数列 na 和 nb 的前 n 项和分别为 An和nB ， 且7453nnA nBn+=+， 则使得nnab为整数的正整数 n 的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 9连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ，记向量 ()mn，a= 与向量 (1 1)=，b 的夹角为 ，则 02， 的概率是（ ） A512B12C712D5610已知直线 1xyab+=（ ab， 是非零常数）与圆22100xy+= 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A 60 条 B
4、 66 条 C 72 条 D 78 条 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡相应位置上 11已知函数 2yxa=的反函数是 3ybx= + ，则 a = ； b = 12复数 izab ab=+ R， ，且 0b ，若24zbz 是实数，则有序实数对 ()ab， 可以是 （写出一个有序实数对即可） 13设变量 x y， 满足约束条件023.xyx+，则目标函数 2x y+ 的最小值为 14某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 （用数值作答） 15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，
5、室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t （小时）成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为116tay=（ a 为常数） ，如图所示据图中提供的信息，回答下列问题： （ I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t （小时）之间的函数关系式为 ； （ II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知 ABC 的面积为 3，且满足 06AB
6、ACnullnullnullnull nullnullnullnulli，设 ABnullnullnullnull和 ACnullnullnullnull的夹角为 （ I）求 的取值范围； （ II）求函数2() 2sin 3cos24f =+的最大值与最小值 17 （本小题满分 12 分） 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有 100 个数据，将数据分组如右表： （ I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图； （ II）估计纤度落在 1.381.50)， 中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？ （ III）统计方法中，同一组数据常用该组区间
7、的中点值分组 频数 1.30 1.34)， 4 1.34 1.38)， 25 1.381.42)， 30 1.42 1.46)， 29 1.46 1.50)， 10 1.50 1.54)， 2 合计 100 O 0.1 1y （毫克） t （小时）（例如区间 1.30 1.34)， 的中点值是 1.32）作为代表据此，估计纤度的期望 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 V ABC 中， VC 底面 ABC ， ACBC ， D 是 AB 的中点，且AC BC a=， VDC =02）相交于A B， 两点 （ I）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求 ANB 面积的最小
8、值； （ II）是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使 得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 （此题不要求在答题卡上画图） 20 （本小题满分 13 分） 已知定义在正实数集上的函数21() 22f xxax=+，2() 3 lngx a x b= + ，其中 0a 设两曲线 ()yfx= ， ()ygx= 有公共点，且在该点处的切线相同 （ I）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值； BVAD CAB xyNCO（ II）求证： () ()f xgx （ 0x ） 21 （本小题满分 14 分） 已知 mn， 为正整数， （ I）用
9、数学归纳法证明：当 1x 时， (1 ) 1mx mx+ ； （ II）对于 6n ，已知11132mn ，； 0.6 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力 解： （）设 ABC 中角 ABC， 的对边分别为 abc， ， 则由1sin 32bc = ， 0cos6bc ，可得 0cot 1 ，42 ， （）2() 2sin 3cos24f =+1cos 2 3cos22 = + (1 sin 2 ) 3 cos 2 =+ sin 2 3 cos 2 1 2sin 2 13 = +
10、= + 42， ，22363， ，22sin2 133+ 即当512 = 时，max() 3f = ；当4 = 时，min() 2f = 17本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力 解： （） 分组 频数 频率 )1.30 1.34，4 0.04 )1.34 1.38，25 0.25 )1.38 1.42，30 0.30 )1.42 1.46，29 0.29 )1.46 1.50，10 0.10 )1.50 1.54，2 0.02合计 100 1.00（）纤度落在 )1.38 1.50， 中的概率约为 0.30
11、0.29 0.10 0.69+ +=，纤度小于 1.40 的概率约为10.04 0.25 0.30 0.442+= （）总体数据的期望约为 1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088+= 样本数据 频率 /组距1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.5418本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力 解法 1： （） ACBCa= ， ACB 是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点， CD AB ，又 VC
12、底面 ABC VC AB 于是 AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD （） 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H ，则由（）知 CD 平面 VAB 连接 BH ，于是 CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角 在 CHDRt 中，2sin2CH a = ； 设 CBH =，在 BHCRt 中， sinCH a = ，2sin sin2 = 02， ， （） (0 0 ) 0 ( 0)22aaCV t CD AB a a= =nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull， ， ，
13、， ， ( 0)(00 )0000AB CV a a t= = + =nullnullnullnullnullnullnullnull， ， ， ， 即 ABCV 22(0) 0 0022 2 2aa a aAB CD a a= = + + =nullnullnullnull nullnullnullnull， ， ， 即 ABCD 又 CV CD C= ， AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD （）设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ， 设 ()x yz= ，n 是平面 VAB 的一个非零法向量， 则()(0) 0()(0) 0AB x y z a
14、 a ax ayAV x y z a t ax tz=+=nullnullnullnullnullnullnullnull， ， ， ， ，nn取 za= ，得 x yt= = 可取 ()tta= ，n ，又 (0 0)CB a=nullnullnullnull， ， A D BCV x y A D B CVx y z 于是22 2 2 21sin22taCB tCB atta taat = = =+ +nullnullnullnullnullnullnullnull nn， (0 )t+， sin 关于 t 递增 10sin2在公共点00()x y， 处的切线相同 () 2f xxa =+
15、，23()agxx = ，由题意00() ()f xgx= ，00() ()f xgx = 即2200 0200123ln232x ax a x baxax+= +=，由20032axax+= 得：0x a= ，或03x a= （舍去） 即有222 221523ln 3lnbaaaaaaa=+ = 令225() 3 ln ( 0)2ht t t tt= ，则 () 2(1 3ln )ht t t = 于是 当 (1 3 ln ) 0tt，即130 te ； 当 (1 3 ln ) 0tt 时， () 0ht ， 则 ()Fx23()(3)2(0axaxaxa xxx+=+ = 故 ()Fx在
16、(0 )a， 为减函数，在 ()a +， 为增函数， 于是函数 ()Fx在 (0 )+， 上的最小值是000() () () ()0Fa Fx f x gx= = 故当 0x 时，有 () () 0fx gx ，即当 0x 时， () ()f xgx 21本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力 解法 1： （）证：用数学归纳法证明： （）当 1m = 时，原不等式成立；当 2m = 时，左边212x x= +，右边 12x=+ ， 因为20x ，所以左边 右边，原不等式成立； （）假设当 mk= 时，不等式成立，即 (1 ) 1kx k
17、x+ + ，则当 1mk= + 时， 1x ， 10x+ ，于是在不等式 (1 ) 1kx kx+ + 两边同乘以 1 x+ 得 2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x kxkx kx+ +=+ + ， 所以1(1 ) 1 ( 1)kx kx+ 即当 1mk= + 时，不等式也成立 综合（） （）知，对一切正整数 m ，不等式都成立 （）证：当 6nmn， 时，由（）得111033mmnn+ + ， 于是11133nnmmnn=+11132mnmn ，且 0x 时， 2m ， (1 ) 1mx mx+ （）当 2m = 时，左边212x x=+ +
18、 ，右边 12x= + ，因为 0x ，所以20x ，即左边 右边，不等式成立； （）假设当 (2)mkk= 时，不等式成立，即 (1 ) 1kx kx+ + ，则当 1mk=+时， 因为 1x ，所以 10x+ 又因为 02xk ， ，所以20kx 于是在不等式 (1 ) 1kx kx+两边同乘以 1 x+ 得 2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x kxkx kx+ + +=+ + + ， 所以1(1 ) 1 ( 1)kx kx+即当 1mk= + 时，不等式也成立 综上所述，所证不等式成立 （）证：当 6n ， mn 时，11132nn + ， 1111332nnmmmnn+ （）解：假设存在正整数06n 使等式00 0 00034 ( 2) ( 3)nn n nnn+ =+null 成立， 即有00 0000234133 3nn nnnn += + null 又由（）可得00 000023433 3nn nnnn + + null 00001 111 133 3nnnn= + + +null 000111 111122 22nnn + += null ，与式矛盾 故当 6n 时，不存在满足该等式的正整数 n 下同解法 1
