1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷3 至 9 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 343VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 01,2 )kk nknnPk CP P k n=L， 一、选择题 1函数 1yxx=+ 的定义域为 A | 1xx B | 0xx C | 1 0xx x或 D |0 1
3、xx 2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是 s t O As t O s t O s t O B C D3512x+的展开式中2x 的系数为 A 10 B 5 C52D 1 4曲线324yx x=+在点 (1 3)， 处的切线的倾斜角为 A 30 B 45 C 60 D 120 5在 ABC 中， AB =c， AC =b若点 D 满足 2BDDC=uuur uuur，则 ADuuur= A32b+31c B35c-32b C32b-31c D31b+32c 62(sin cos ) 1yxx= 是 A最小正
4、周期为 2的偶函数 B最小正周期为 2的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数 7已知等比数列 na 满足12 2336aa aa+= +=， ，则7a = A 64 B 81 C 128 D 243 8若函数 ()yfx= 的图象与函数 ln 1yx= + 的图象关于直线 yx= 对称，则 ()f x = A e2x-2B e2xC e2x+1D e2x+29为得到函数cos3yx=+的图象，只需将函数 y=sinx 的图像 A向左平移6个长度单位 B向右平移6个长度单位 C向左平移56个长度单位 D向右平移56个长度单位 10若直线 1xyab+=与圆 x2+y2=1
5、有公共点，则 A a2+b21 B a2+b21 C22111ab+ D2211ab+ 1 11 已知三棱柱 ABC - A1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面 ABC 内的射影为 ABC的中心，则1AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 A13B23C33D2312将 1， 2， 3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有 A 6 种 B 12 种 C 24 种 D 48 种 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 1 2 3 3 1 2 2 3 1 文科数学（必修 +选修） 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径
6、0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 3本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效） 13若 x y， 满足约束条件03003xyxyx +，则 2zxy= 的最大值为 14已知抛物线 y=ax2-1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 15在 ABC 中， 90A=o，3tan4B
7、 = 若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率 e = 16已知菱形 ABCD 中， 2AB = ， 120A=o，沿对角线 BD 将 ABD 折起，使二面角ABDC为 120o，则点 A 到 BCD 所在平面的距离等于 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效） 设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c，且 a cosB=3， b sinA=4 （）求边长 a； （）若 ABC 的面积 10S = ，求 ABC 的周长 l 18 （本小题满分 12
8、 分） （注意：在试题卷上作答无效） 四棱锥 A - BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE， BC=2， 2CD = ，AB AC= （）证明： AD CE； （）设侧面 ABC 为等边三角形，求二面角 C - AD - E 的大小 19 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 在数列 an中， a1=1, an+1=2an+2n. （）设12nnnab= 证明：数列 nb 是等差数列； （）求数列 na 的前 n 项和nS 20 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定
9、患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率 21 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知函数32() 1f xxaxx=+ +， aR （）讨论函数 ()f x 的单调区间； （）设函数 ()f x 在区间2133， 内是减函数，求 a 的取值范围 CDE
10、AB 22 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为12ll， ，经过右焦点 F 垂直于1l的直线分别交12ll， 于 AB， 两点已知 OA AB OBuuur uuur uuur、 成等差数列，且 BFuuur与 FAuuur同向 （）求双曲线的离心率； （）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B A D A A 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 C D
11、B B 9 2 212317、解： （ I）依题设得 43sincos=AbBa由正弦定理得 BAbasinsin= 所以 43sincos=BB)cos1(169sin169cos222BBB = 即 259cos2=B 依题设知 a2cos2B=9 所以 a2=25，得 a=5 （ II）因为 S= ,2sin21cAbc = 所以，由 S=10 得 c=5 应用余弦定理得 b= 52cos222=+ Bacca 故 ABC 的周长 l =a+b+c=2(5+ 5 ) 18解法一： (I)作 AO BC，垂足为 O，连接 OD，由题设知， AO底面 BCDE，且 O 为 BC 中点， 由2
12、1=DECDCDOC知， Rt OCD Rt CDE， 从而 ODC= CED，于是 CE OD， 由三垂线定理知， AD CE （ II）作 CG AD，垂足为 G，连接 GE。 由（ I）知， CE AD， 又 CE CG=C，故 AD平面 CGE， AD GE， 所以 CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角。 GE= ,6,310652)21(22=CEADDEADDEcos CGE=10103103226310342222=+=+GECGCEGECG所以二面角 C-AD-E 为 arccos(1010 ) 解法二： （ I）作 AO BC，垂足为 O，由题设知 AO底面 BCDE，且
13、 O 为 BC 的中点，以 O 为坐标原点，射线 OC 为 x 轴正向，建立如图所示的直角坐标系 O-xyz. 设 A（ 0,0,t） ，由已知条件有 C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1, 2 ,0), ),2,1(),0,2,2( tADCE = 所以 0= ADCE ，得 AD CE （ II） ABC 为等边三角形，因此 A（ 0， 0， 3 ） 作 CG AD，垂足为 G，连接 GE，在 Rt ACD 中，求得|AG|=32|AD| 故 G（33,322,32） =33,32,35,33,322,31GEGC 又)3,2,1( =AD0,0 = ADGEADGC所以
14、GEGC与 的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角。 由 cos(GEGC,)=1010|=GEGCGEGC知二面角 C-AD-E 为 arccos(1010 ) （ 19） 解： （ I）由已知 an+1=2an+2n得 bn+1= 112222211+=+=+=+nnnnnnnnbaaa又 b1=a1=1，因此 bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列 （ II）由（ I）知112,2=nnnnanan即Sn=1+221+322+ +n2n 1两边乘以 2 得 2Sn=2+222+ +n2n两式相减得 Sn= 1 21 22 2n 1+n2n= (2n 1)+n2n=(n 1)2n+1
15、（ 20）解： 记 A1、 A2分别表示依方案甲需化验 1 次、 2 次， B表示依方案乙需化验 3 次， A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知 A2与 B 独立，且BAAA21+=51C1)A(P151= ，51AA)A(P25142= ，52)(13351224=CCCCBP 。 P(A )=P(A1+A2B) =P(A1)+P(A2B) =P(A1)+P(A2)P(B) =525151+ =257所以 P(A)=1-P( A )=2518=0.72 （ 21）解： （ I） f (x)=3x2+2ax+1 判别式 =4(a2-3) (i)若 a 3 或 a0，
16、f(x)是增函数； 在（33,3322+ aaaa）内 f (x)0， f(x)是增函数 (ii)若 33 0，故此时 f(x)在 R 上是增函数 (iii)若 a= 3 ，则 f (3a )=0，且对所有的 x3a 都有 f (x)0，故当 a= 3 时， f(x)在 R 上是增函数 （ II）由（ I）知，只有当 a 3 或 a 3 时，由、解得 a 2 因此 a 的取值范围是 2,+ ) 22、解： （）设双曲线方程为 1byax2222= (a0,b0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，则 c2=a2+b2不妨设 l1： bx-ay=0， l2： bx+ay=0 则 bba|0acb|
17、FA|22=+= ， aAFOF|OA|22= 因为 | AB2+ | OA2= | OB2，且 | OB =2 | AB - | OA ， 所以 |AB|2+ |OA|2=(2 |AB| - |OA| )2， 于是得 tan AOB=34|OA|AB|=。 又 BF 与 FA 同向，故 AOF=21 AOB， 所以 34AOFtan1AOFtan22=解得 tan AOF=21，或 tan AOF=-2（舍去） 。 因此 b5bac,b2a,21ab22=+=所以双曲线的离心率 e=ac=25（）由 a=2b 知，双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2 由 l1的斜率为21， c= 5 b 知，直线 AB 的方程为 y=-2(x- 5 b) 将代入并化简，得 15x2-32 5 bx+84b2=0 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 (x1,y1)， (x2,y2)，则 x1+x2=15b532， x1x2=15b842 AB 被双曲线所截得的线段长 l= xx4)xx(5|xx|)2(121221212+=+ 将代入，并化简得 l=3b4，而由已知 l=4，故 b=3， a=6 所以双曲线的方程为 19y36x22=
