1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（文科）试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第2 页，第卷第 3 至第 4 页全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 考生注意事项： 1 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致 2 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3 答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写在试题卷上作答无效 4 考试
2、结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么 球的表面积公式 24SR= ()()()PA B PA PB+= + 其中 R 表示球的半径 如果事件 AB， 相互独立，那么 球的体积公式 343VR= ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 其中 R 表示球的半径 第I卷 （选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） 若 A为全体实数的集合， 2, 1,1, 2B = 则下列结论中正确的是（ ） A 2, 1AB=IB () (,0)RCA B
3、= U C (0, )AB=+U D () 2,1RCA B= I （ 2） 若 (2,4)AB =uuur， (1, 3)AC =uuur, 则 BC =uuur（ ） A （ 1， 1） B （ 1， 1） C （ 3， 7） D （ -3,-7） （ 3） 已知 ,mn是两条不同直线， , 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A , 若则 B ,mn mn 若则 C ,mn mn 若则 D ,mm 若则 （ 4） 0a +对任意 (0, )a + 都成立， 求实数 x 的取值范围。 （ 21） （本小题满分 12 分） 设数列 na 满足*11,1,nnaaa ca ccN+=+其
4、中 a , c 为实数，且 0c （）求数列 na 的通项公式 （）设11,22ac=，*(1 ),nnbn anN= ,求数列 nb 的前 n 项和nS ； （）若 01na其相应于焦点 (2,0)F 的准线方程为 4x = . （）求椭圆 C 的方程； （）已知过点1(2,0)F 倾斜角为 的直线交椭圆 C 于 ,A B两点，求证： 2422ABCOS =; （）过点1(2,0)F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于点 A , B 和 D , E ,求ABDE+ 的最小值 数学（文科）试题参考答案 一 . 选择题 1D 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8D 9A 10D 11C 1
5、2C 二 . 13: 3, )+ 14: 4 15: 1 16: 43三 . 解答题 17 解： （ 1） ( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )344fx x x x =+ +Q 13cos 2 sin 2 (sin cos )(sin cos )22x xxxxx=+ + + 2213cos 2 sin 2 sin cos22x xx x=+ + 13cos 2 sin 2 cos 222x xx=+ sin(2 )6x= 2T2=周期 （ 2）5,2 ,12 2 6 3 6xx Q 因为 () sin(2 )6fx x=在区间 ,12 3 上单调递增，在区间 ,32 上单调递
6、减， 所以 当3x= 时， ()f x 取得最大值 1 又 31() ()12 2 2 2ff=+对任意 (0, )a + 都成立 即22(2) 20ax x x+对任意 (0, )a + 都成立 设 22() ( 2) 2( )ga ax x xa R=+, 则对任意 x R ， ()ga为单调递增函数()aR 所以对任意 (0, )a+， () 0ga 恒成立的充分必要条件是 (0) 0g 即 220xx， 20x 于是 x 的取值范围是 |2 0xx方法二 由题设知：223(1) 1ax x a x x a+对任意 (0, )a + 都成立 即22(2) 20ax x x+对任意 (0,
7、 )a + 都成立 于是2222x xax+对任意 (0, )a + 都成立，即22202xxx+20x 于是 x 的取值范围是 |2 0xx 21 本题主要考查数列的概念，数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力，综合运用知识解决问题的能力。本小题满分 12 分。 解 (1) 方法一 ： 11( 1)nnaca+= 当 1a 时， 1na 是首项为 1a ，公比为 c 的等比数列。 11( 1)nnaac= ，即 1(1) 1nnaac= +。当 1a = 时， 1na = 仍满足上式。 数列 na 的通项公式为 1(1) 1nnaac= +*()nN 。 方法二 由题设得：当 2
8、n 时，21112 11 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)nnnn naca ca ca ac = = = =L 1(1) 1nnaac= + 1n = 时，1aa= 也满足上式。 数列 na 的通项公式为 1(1) 1nnaac= +*()nN 。 (2) 由（ 1）得11(1 ) ( )2nnnbn ac n= = 21211 12( ) ( )22 2nnnSbb b n=+=+ +LL 23 1111 11() 2() ( 1)() ()22 22nnnSn+=+ + +L 21111 1 1() () ()222 2 2nnn+=+ + L 2111 1 1 1 11() ()
9、()2(1()()22 2 2 2 2nn nnnSn=+ + + + = L 12(2 )()2nnSn= + (3) 证明：由（ 1）知1(1) 1nnaac= + 若10( 1) 11nac对任意*nN 成立，知 0c 。 下证 1c ，用反证法 方法一 ：假设 1c ，由函数 ()xf xc= 的函数图象知，当 n 趋于无穷大时，1nc趋于无穷大 111na，111nca ，11log log1nccca 即 *11log ( )1cnnNa 恒成立 （） ,ac 为常数， （）式对*nN 不能恒成立，导致矛盾， 1c 01c 22 本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆
10、的位置关系等知识，考试数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力。本小题满分 14 分。 解 ： （ 1） 由题意得： 2222222844caacbabc= =+ 椭圆 C 的方程为22184xy+ = (2)方法一： 由（ 1）知1(2,0)F 是椭圆 C 的左焦点，离心率22e = 设 l 为椭圆的左准线。则 :4lx= 作1111,AA l A BB l B于于， l 与 x 轴交于点 H(如图 ) 点 A 在椭圆上 1122AF AA= 112(cos)2FH AF =+ 122cos2AF =+ 122cosAF= 同理 122cosBF=+ 1122242cos2 cos 2
11、cosAB AF BF=+= + =+ 。 方法二： 当2 时，记 tank = ，则 :(2)AB y k x= + 将其代入方程 2228xy+= 得 22 2 2(1 2 ) 8 8( 1) 0kx kx k+= 设 11 2 2(, ),(, )Ax y Bx y ，则12,x x 是此二次方程的两个根 . 2212 1288(1),.12 12kkxx xx+= =+ 22222212 12 12 12 12( ) ( ) (1 )( ) (1 )( ) 4 ABxx yy kxx kxx x=+=+ =+ + 22 2228 32( 1) 4 2(1 )(1 )( ) 12 12 12kk kk+=+ =+.(1) 22tan ,k = 代入（ 1）式得 2422cosAB=.(2) 当2 = 时， 22AB = 仍满足（ 2）式。 2422cosAB= （ 3） 设直线 AB 的倾斜角为 ，由于 ,DE AB 由（ 2）可得 2422cosAB=，2422sinDE=22 22242 42 122 12212cos 2sin 2sin cos2sin4AB DE+= + = =+当344 =或 时， AB DE+ 取得最小值16 23
