1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 （选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知全集 U =R ，集合 |2
2、3Ax x= ， |14Bxx x= 或 ，那么集合()UA BI 等于（ ） A |2 4xx B bac C cab D bca 3 “函数 ()( )fxxR 存在反函数”是“函数 ()f x 在 R上为增函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4若点 P 到直线 1x = 的距离比它到点 (2 0)， 的距离小 1，则点 P 的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 5若实数 x y， 满足1000xyxyx +，则23x yz+= 的最小值是（ ） A 0 B 1 C 3 D 9 6 已知数列 na 对任意的*pqN，
3、满足pq p qaaa+= + ， 且26a = ， 那么10a 等于 （ ） A 165 B 33 C 30 D 21 7过直线 y x= 上的一点作圆22(5)(1)2xy+=的两条切线12ll， ，当直线12ll， 关于yx= 对称时，它们之间的夹角为（ ） A 30oB 45oC 60oD 90o8如图，动点 P 在正方体111 1ABCD ABC D 的对角线1BD 上过点 P 作垂直于平面11BBDD的直线，与正方体表面相交于 M N， 设 BPx= ， MNy= ，则函数 ()yfx= 的图象大致是（ ） 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷）
4、第卷 （共 110 分） 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 9已知2()2ai i=，其中 i是虚数单位，那么实数 a = 10已知向量 a 与 b 的夹角为 120o，且 4= =ab ，那么 (2 )+nullbab的值为 11若231nxx+展开式的各项系数之和为 32，则 n= ，其展开式中的常数项为 （用数字作答） 12 如图， 函数 ()f x 的图象是折线段 ABC ， 其中 ABC， 的坐标分别为 (0 4) (2 0) (6 4)， ，则 (0)
5、ff = ； 0(1 ) (1)limxfxfx+ = （用数字作答） A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 13已知函数2() cosf xx x= ，对于22 ， 上的任意12x x， ，有如下条件： 12x x ； 2212x x ； 12x x 其中能使12() ()f xfx 恒成立的条件序号是 14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在点 ()kk kPx y， 处，其中11x = ，11y = ，当
6、 2k 时， 111215551255kkkkkkxx T Tkkyy T T =+ =+ ，()Ta表示非负实数 a的整数部分，例如 (2.6) 2T = ， (0.2) 0T = 按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共 13 分） 已知函数2() sin 3sin sin2fx x x x=+ +（ 0 ）的最小正周期为 （）求 的值； （）求函数 ()f x 在区间203， 上的取值范围 16 （本小题共 14 分） 如图， 在三棱锥 P ABC 中
7、， 2AC BC=， 90ACB=o， AP BP AB= = ， PC AC （）求证： PC AB ； （）求二面角 B AP C 的大小； （）求点 C 到平面 APB的距离 A C B P 17 （本小题共 13 分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A BCD， 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者 （）求甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率； （）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （）设随机变量 为这五名志愿者中参加 A岗位服务的人数，求 的分布列 18 （本小题共 13 分） 已知函数22()(1)x bfxx=，求导函数 ()f x ，并确定 ()f x 的单
8、调区间 19 （本小题共 14 分） 已知菱形 ABCD的顶点 A C， 在椭圆2234xy+ = 上，对角线 BD所在直线的斜率为 1 （）当直线 BD过点 (0 1)， 时，求直线 AC 的方程； （）当 60ABC=o时，求菱形 ABCD面积的最大值 20 （本小题共 13 分） 对于每项均是正整数的数列12 nAa a aL：， ，定义变换1T ，1T 将数列 A变换成数列 1()TA：1211 1nna a a L， 对于每项均是非负整数的数列12 mB bb bL：， ，定义变换2T ，2T 将数列 B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()TB； 又定义22 21
9、2 12() 2( 2 )mmSB b b mb b b b= + + +LL 设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121( ( )( 0 1 2 )kkATTAk+= = L， ， ， （）如果数列0A 为 5， 3， 2，写出数列12AA， ； （）对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明1() ()ST A SA= ； （） 证明： 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ， 存在正整数 K ， 当 kK 时，1()()kkSA SA+= 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
10、1 D 2 A 3 B 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9 1 10 0 11 5 10 12 2 2 13 14 (1 2)， (3 402)， 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15 （共 13 分） 解： （）1cos2 3() sin222xf xx=+311sin 2 cos 2222xx= + 1sin 262x=+ 因为函数 ()f x 的最小正周期为 ，且 0 ， 所以22= ，解得 1 = （）由（）得 1() sin262fx x=+ 因为203x ， 所以72666x ， 所以1 sin
11、 2 126x， 因此 130sin2622x+，即 ()f x 的取值范围为302 ， 16 （共 14 分） 解法一： （）取 AB 中点 D，连结 PD CD， APBP=Q ， PD AB ACBC=Q ， CD AB A C B D P PD CD D=QI ， AB 平面 PCD PC Q 平面 PCD， PC AB （） ACBC=Q ， APBP= ， APC BPC 又 PC AC ， PC BC 又 90ACB=o，即 AC BC ，且 AC PC C=I ， BC 平面 PAC 取 AP 中点 E 连结 BECE， ABBP=Q ， BEAP ECQ 是 BE在平面 PA
12、C 内的射影， CE AP BEC 是二面角 B AP C的平面角 在 BCE 中， 90BCE=o， 2BC = ，362BE AB=， 6sin3BCBECBE = 二面角 B AP C的大小为6arcsin3 （）由（）知 AB 平面 PCD， 平面 APB 平面 PCD 过 C 作 CH PD ，垂足为 H Q平面 APBI平面 PCD PD= ， CH 平面 APB CH 的长即为点 C 到平面 APB的距离 由（）知 PC AB ，又 PC AC ，且 AB AC A=I ， PC 平面 ABC CDQ 平面 ABC ， PC CD 在 Rt PCD 中，122CD AB=，362
13、PD PB=， 222PC PD CD = 233PC CDCHPD =null A C B E P A C B D P H 点 C 到平面 APB的距离为233 解法二： （） ACBC=Q ， APBP= ， APC BPC 又 PC AC ， PC BC AC BC C=QI ， PC 平面 ABC ABQ 平面 ABC ， PC AB （）如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz 则 (000) (020) (200)CAB， ， ， ， ， ， 设 (0 0 )Pt， ， 22PB AB=Q ， 2t = ， (0 0 2)P ， ， 取 AP 中点 E ，连结 BECE，
14、ACPC=Q ， ABBP= ， CE AP ， BEAP BEC 是二面角 B AP C的平面角 (0 11)EQ ， ， ， (0 1 1)EC =uuur， ， (2 1 1)EB = uuur， ， 23cos326EC EBBECEC EB = = =uuur uuurnulluuur uuurnullnull 二面角 B AP C的大小为3arccos3 （） ACBCPC=Q ， C 在平面 APB内的射影为正 APB 的中心 H ， 且 CH 的长为点 C 到平面 APB的距离 如（）建立空间直角坐标系 Cxyz 2BHHE=uuur uuurQ ， 点 H 的坐标为22233
15、3， A C B P z x y H E 233CH =uuur 点 C 到平面 APB的距离为233 17 （共 13 分） 解： （）记甲、乙两人同时参加 A岗位服务为事件AE ，那么3324541()40AAPECA=， 即甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率是140 （）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ，那么4424541()10APECA= = ， 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9() 1 ()10PE PE= = （）随机变量 可能取的值为 1， 2事件“ 2 = ”是指有两人同时参加 A岗位服务， 则235334541(2)4CAPCA = = 所以3(1)
16、1(2)4PP= =， 的分布列是 1 3 P 341418 （共 13 分） 解：242( 1) (2 ) 2( 1)()(1)xxbxfxx =null3222(1)xbx+=32 ( 1)(1)xbx= 令 () 0fx = ，得 1x b= 当 11b，即 2b 时， ()f x 的变化情况如下表： x (1)， (1 1)b， 1b (1 )b +， ()f x + 0 所以，当 2b 时，函数 ()f x 在 (1)， 上单调递减，在 (1 1)b， 上单调递增，在 (1 )b+， 上单调递减 当 11b=，即 2b= 时，2()1fxx=，所以函数 ()f x 在 (1)， 上单
17、调递减，在 (1 )+，上单调递减 19 （共 14 分） 解： （）由题意得直线 BD的方程为 1yx= + 因为四边形 ABCD为菱形，所以 ACBD 于是可设直线 AC 的方程为 yxn= + 由2234xyyxn += +，得2246340xnxn+= 因为 A C， 在椭圆上， 所以212 64 0n= + ，解得43 4333n 设 AC， 两点坐标分别为11 2 2()( )x yxy， ， 则1232nxx+= ，212344nxx= ，11y xn=+，22y xn=+ 所以122nyy+= 所以 AC 的中点坐标为344nn， 由四边形 ABCD为菱形可知，点344nn，
18、在直线 1yx= + 上， 所以3144nn=+，解得 2n= 所以直线 AC 的方程为 2yx= ，即 20xy+ += （）因为四边形 ABCD为菱形，且 60ABC=o， 所以 ABBCCA= 所以菱形 ABCD的面积232SAC= 由（）可得222212 12316()( )2nAC x x y y += + = ， 所以234343( 3 16)43Sn n=+ 所以当 0n= 时，菱形 ABCD的面积取得最大值 43 20 （共 13 分） （）解：0532A： ， ， ， 10()3421TA： ， ， ， ， 1210( ( )4321ATTA= ： ， ， ， ； 11( )
19、43210TA： ， ， ， ， ， 2211( )4321ATTA= ： ， ， ， （）证明：设每项均是正整数的有穷数列 A为12 naa aL， ， 则1()TA为 n，11a ，21a ， L ， 1na ， 从而 112( ( ) 2 2( 1) 3( 1) ( 1)( 1)nST A n a a n a= + + + L22 2 212(1)(1) (1)nna a a+L 又22 212 12() 2( 2 )nnSA a a na a a a= + + +LL， 所以1() ()ST A SA 122 2 3 ( 1) 2( )nnnaa=+ +LL2122( )nnaa an
20、+ +L 2(1) 0nn n n= + + + = ， 故1() ()ST A SA= （）证明：设 A是每项均为非负整数的数列12 naa aL， 当存在 1 ij n ，使得ijaa 时，交换数列 A的第 i项与第 j 项得到数列 B ， 则 () () 2( )jiijS B S A ia ja ia ja=+ 2( )( ) 0jiijaa= 当存在 1 mn ，使得120mm naa a+=L 时，若记数列12 maa aL， 为 C ， 则 () ()SC SA= 所以2() ()ST A SA 从而对于任意给定的数列0A ，由121( ( )( 0 1 2 )kkATTAk+= = L， ， ， 可知11() ()kkSA STA+ 又由（）可知1( ) ( )kkST A SA= ，所以1() ()kkSA SA+ 即对于 kN，要么有1()()kkSA SA+= ，要么有1() ()1kkSA SA+ 因为 ()kSA 是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有12()()()kk kSA SA SA+= =L 即存在正整数 K ，当 kK 时，1()()kkSA SA+=
