1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学 （理工农医类） 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中 “座位号、姓名、科类 ”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上
2、书写。在试题卷上作答无效。 4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次实验中发生的概率是 p ，那么 343VR= n次独立重复实验中事件 A恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () ( ) ( )1 , 0,1, 2, ,nkkknnPk Cp p k n= =L 第卷 一选择题： 设集合 1, 2,3, 4,5 , 1,
3、2,3 , 2,3, 4UAB=，则 ( )UA B =I ( ) （） 2,3 （） 1, 4, 5 （） 4,5 （） 1, 5 复数()221ii+=( ) （） 4 （） 4 （） 4i （） 4i ()2tan cot cosx xx+=( ) （） tan x （） sin x （） cos x （） cot x 直线 3yx= 绕原点逆时针旋转090 ，再向右平移个单位，所得到的直线为 ( ) （）1133yx= + （）113yx=+ （） 33yx= （）113yx=+ 设 02,sin3cos 若 ，则 的取值范围是： ( ) （） ,32 （） ,3（）4,33 （）3,
4、32 从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法共有 ( ) （） 70 种 （） 112种 （） 140种 （） 168种 7已知等比数列 na 中21a = ，则其前 3 项的和3S 的取值范围是 ( ) （） (,1 （） ( ) ( ),0 1,+U （） )3,+ （） ( ( ),1 3, +U 设 ,M N 是球 O半径 OP 上的两点， 且 NP MN OM= = ， 分别过 ,NMO作垂直于 OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为： ( ) （） 3:5:6 （） 3:6:8 （） 5:7:9 （） 5
5、:8:9 直线 l 平面 ，经过平面 外一点 A与 ,l 都成030 角的直线有且只有： ( ) （）条 （）条 （）条 （）条 10设 () ( )sinfx x =+，其中 0 ，则 ( )f x 是偶函数的充要条件是 ( ) （） ()01f = （） ( )00f = （） ( )01f = （） ( )00f = 11设定义在 R 上的函数 ()f x 满足 ( ) ( )213fx fx +=，若 ( )12f = ，则 ()99f =( ) （） 13 （） 2 （）132（）21312已知抛物线2:8Cy x= 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在 C 上且
6、2AK AF= ，则 AFK 的面积为 ( ) （） 4 （） 8 （） 16 （） 32 第卷 二填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。 13()()3412 1x x+展开式中2x 的系数为 _。 14已知直线 :40lx y+=与圆()()22:1 12Cx y +=，则 C 上各点到 l距离的最小值为 _。 15已知正四棱柱的对角线的长为 6 ，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于 _。 16设等差数列 na 的前 n项和为nS ，若4510, 15SS，则4a 的最大值为 _。 三解答题：本大题共 6 个小题，共 74
7、 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 求函数247 4sin cos 4cos 4cosy xx x x= + 的最大值与最小值。 18 （本小题满分 12 分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （）记 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列及期望。 19
8、（本小题满分 12 分） 如图，平面 ABEF 平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD都是直角梯形， 090 ,BAD FAB BC=/=12AD， BE/=12AF （）证明： ,CDFE四点共面； （）设 AB BC BE=，求二面角 A ED B 的大小； 20 （本小题满分 12 分） 设数列 na 的前 n项和为nS ，已知 ( )21nnnba b S= （）证明：当 2b= 时， 12nnan 是等比数列； （）求 na 的同项公式 21 （本小题满分 12 分） 设椭圆()22221, 0xyabab+= 的左右焦点分别为12,FF， 离心率22e= ， 右准线为 l，
9、,M N 是 l上的两个动点，120FM FN=uuuur uuuur（）若1225FM FN=uuuur uuuur，求 ,ab的值； （）证明：当 MN 取最小值时，12FM FN+uuuur uuuur与12FFuuuur共线。 22 （本小题满分 14 分） 已知 3x= 是函数 () ( )2ln 1 10f xa xx x=+的一个极值点。 （）求 a； （）求函数 ()f x 的单调区间； （）若直线 yb= 与函数 ( )yfx= 的图象有 3 个交点，求 b的取值范围。 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学参考答案 （理工农医类） 第卷 一选择题： B A
10、 D A C C 7 D D B 10 D 11 C 12 B 第卷 二填空题： 13 6 14 2 15 2 16 4 三解答题： 17 解：247 4sin cos 4cos 4cosy xx x x= + ()2272sin2 4cos 1cosx xx= + 227 2sin 2 4cos sinx xx= + 27 2sin 2 sin 2x x= + ()21sin2 6x= + 由于函数()216zu=+在 11 ， 中的最大值为 ()2max11 6 10z = += 最小值为 ()2min11 6 6z = += 故当 sin 2 1x= 时 y 取得最大值 10，当 sin
11、 2 1x= 时 y 取得最小值 6 18 解： 记 A表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品， 记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品， 记 C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记 D表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种， （） CABAB=+ ()()PC PAB AB=+ ()()PAB PAB=+ ()() ()()PA PB PA PB=+ 0.5 0.4 0.5 0.6=+ 0.5= （） DAB= () ()PD PAB= () ()PA PB= 0.5 0.4= 0.2= ()()1 0.8PD PD=
12、 = （） ()3, 0.8B null ，故 的分布列 ()30 0.2 0.008P = = ()1231 0.8 0.2 0.096PC = = ()2232 0.8 0.2 0.384PC = = ()33 0.8 0.512P = = 所以 30.8 2.4E = = 19 解法一： （）延长 DC 交 AB 的延长线于点 G ，由 BC/=12AD得 12GB GC BCGA GD AD= 延长 FE交 AB 的延长线于G 同理可得 12GE GB BEGF GA AF= 故GB GBGA GA= ，即 G 与G 重合 因此直线 CD EF、 相交于点 G ，即 ,CDFE四点共面
13、。 （）设 1AB = ，则 1BC BE=， 2AD = 取 AE 中点 M ，则 BMAE ，又由已知得， AD 平面 ABEF 故 ADBM ， BM 与平面 ADE 内两相交直线 AD AE、 都垂直。 所以 BM 平面 ADE ，作 MNDE ，垂足为 N ，连结 BN 由三垂线定理知 BN ED BNM， 为二面角 A ED B 的平面角。 21 322AD AEBM MNDE=， 故6tan2BMBNMMN= 所以二面角 A ED B的大小6arctan2解法二： 由平面 ABEF 平面 ABCD， AFAB ，得 FA平面 ABCD，以 A为坐标原点， 射线 AB 为 x轴正半
14、轴，建立如图所示的直角坐标系 A xyz （）设 ,ABaBCbBEc=, ，则 ()( )( )( ) ( ),0,0 , ,0 , ,0, , 0,2 ,0 , 0,0,2Ba Cab Ea c D b F c, ()( )0, , , 0, 2 , 2EC b c FD b c= = uuur uuur故12ECFD=uuur uuur，从而由点 EFD ，得 /EC FD 故 ,CDFE四点共面 （）设 1AB = ，则 1BC BE=， ()()()( )1,0, 0 , 1,1, 0 , 0, 2, 0 , 1, 0,1BCD E 在 DE 上取点 M ，使 5DMME=uuuur
15、 uuur，则515,636M从而115,636MB=uuur又 ()1, 2,1 , 0,DE MB DE MB DE= = uuur uuur uuur在 DE 上取点 N ，使 2DNNE=uuur uuur，则222,333N从而222, , 0,333NA NA DE NA DE= = uuur uuur uuur故 MBuuur与 NAuuur的夹角等于二面角 A DE B 的平面角， 10cos5MB NAMB NAMB NA= =uuur uuuruuur uuuruuur uuur 所以二面角 A DE B的大小10arccos520 解： 由题意知12a = ，且 ()21
16、nnnba b S= ()11121nnnba b S+= 两式相减得 ()()21nnn nba a b a= 即12nnnaba+=+ （）当 2b= 时，由知122nnnaa+=+ 于是 () ( )112 2 2 12nn nnnan a n+= + ()122nnan= 又1112 1 0na = ，所以 12nnan 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。 （）当 2b= 时，由（）知1122nnnan = ，即 ( )112nnan=+ 当 2b 时，由由得 111222nnnnnababb+=+22nnbbab= 122nnbab=因此111122nnnnababb+= ( )
17、212nbbb=得()1211222 22nnnnabb nb=+ 21 解： 由22 2abc=与22aec= ，得222ab= 122200F aF a， ， ， l的方程为 2x a= 设()()1222M ay N ay， ， 则112232 222FMayFNay=uuuur uuuur， ， 由120FM FN=uuuur uuuur得 212302yy a= （）由1225FM FN=uuuur uuuur，得 22132252ay+= 2222252ay+= 由、三式，消去12,y y ，并求得24a = 故22, 22ab= （）()2 222 21 2 1 2 12 12
18、12 1222246MNyyyyy y y y a= =+ = = 当且仅当1262yy a= = 或2162yy a= = 时， MN 取最小值 6a 此时，()()12 1 2 12 1232 222, 22,0 222FMFN ay ay ayy a FF+= + = += =uuuur uuuur uuuur， 故12FM FN+uuuur uuuur与12FFuuuur共线。 22 解： （）因为()2101afx xx=+所以()361004af =+= 因此 16a= （）由（）知， () ( ) ( )216ln 1 10 , 1,fx x x xx=+ ()()22431xxfxx +=+当 ()( )1,1 3,x +U 时， ( )0fx 当 ()1, 3x 时， ( )0fx = () ( )21321 21 3fe f+= 所以在 ()f x 的三个单调区间 ()( ) ( )1,1 , 1, 3 , 3,+直线 yb= 有()yfx=的图象各有一个交点，当且仅当 () ()31f bf 因此， b的取值范围为 32ln 2 21,16ln 2 9。
