1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学(理工农医类) 一、选择题 :本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1复数31()ii 等于 A.8 B. 8 C.8i D. 8i (D) 2 “ |x 1| 2 成立”是“ x（ x 3） 0 成立”的 A充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （ B） 3.已知变量 x、 y 满足条件1,0,290,xxyxy+则 x+y 的最大值是 A.2 B.5 C.6 D.8 (C) 4.设随机变量 服从正态分布 N(2
2、,9) ,若 P ( c+1)=P( c)1 ,则 c= A.1 B.2 C.3 D.4 (B) 5.设有直线 m、 n 和平面 、 。下列四个命题中，正确的是 A.若 m ,n ,则 m n B.若 m ,n ,m ,n ,则 C.若 ， m ,则 m D.若 ， m ， m ,则 m （ D） 6.函数 f(x)=sin2x+ 3sin cosx x 在区间 ,42 上的最大值是 A.1 B.132+C. 32D.1+ 3 (C) 7.设 D、 E、 F 分别是 ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点，且 2,DC BD=uuur uuur2,CE EA=uuuruur2,AFFB=
3、uuur uuur则 AD BE CF+uuur uuur uuur与 BCuuurA.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 (A) 8.若双曲线22221xyab=（ a 0,b 0） 上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) (B) 9.长方体 ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一球面上，且 AB=2, AD= 3 , AA1=1, 则顶点 A、B 间的球面距离是 A. 2 2 B. 2 C. 22D. 24(C) 10.设 x表示不超过 x 的最大整
4、数（如 2 =2, 54 =1） ，对于给定的 nN*,定义 2(1)( 1)(1)( 1)nnn n xCxx x x+=+LL， x )1, + ,则当 x3,32 时，函数2nC 的值域是 A.16,283B.16,563 C.284,3 )28,56 D.16 284, , 2833 (D) 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 11.211lim34xxxx=+15. 12.已知椭圆22221xyab+=（ a b 0） 的右焦点为 F， 右准线为 l， 离心率 e=5.5过顶点 A(0,b)作 AMl,垂足为 M，则直线 FM
5、 的斜率等于12. 13.设函数 y=f (x)存在反函数 y= f 1（ x） ，且函数 y = x f (x)的图象过点（ 1， 2） ，则函数 y=f 1(x) x 的图象一定过点 ( 1,2) . 14.已知函数 f(x)3(1).1axaa（ 1）若 a 0,则 f(x)的定义域是3,a; (2)若 f(x)在区间 (0,1 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) (,0 1,3 . 15. 对有 n (n 4)个元素的总体 1， 2， 3， n进行抽样，先将总体分成两个子总体 1， 2， m和 m+1， m+2， n (m 是给定的正整数，且 2 m n 2)，再从每个子总体
6、中各随机抽取 2 个元素组成样本，用 Pij表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率，则P1n=4()mn m；所有 Pif(1 i j )n 的和等于 6 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响。求： （）至少有 1 人面试合格的概率 ; （）签约人数 的分布列和数学期望 . 解 用 A， B， C 分别表
7、示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知 A， B， C 相互独立，且 P（ A） P（ B） P（ C）12. （）至少有 1 人面试合格的概率是 3171 ( ) 1 ()()() 1() .28PABC PAPBPC= = （） 的可能取值为 0， 1， 2， 3. (0)( )( )( )P PABCPABCPABC= = + + ()()() ()()() ()()()PAPBPC PAPBPC PAPBPC+ 3231113() () () .2228+= (1) ( ) ( ) ( )P PABCPABCPABC= = + + = ()()() ()()() ()()()PAPBPC
8、PAPBPC PAPBPC+ =3331113() () () .2228+= 1( 2) ( ) ()()() .8PPABCPAPBPC= = = = 1( 3) ( ) ()()() .8P P ABC P A P B P C= = = = 所以， 的分布列是 0 1 2 3 P 38381818的期望33 1101231.88 88E=+= 17.（本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD 60， E 是CD 的中点， PA底面 ABCD， PA 2. （）证明：平面 PBE平面 PA B ; （）求平面 PA D 和平面
9、 PBE 所成二面角（锐角）的大小 . 解 解法一（）如图所示，连结 BD，由 ABCD 是菱形且 BCD=60知， BCD 是等边三角形。因为 E 是 CD 的中点，所以 BE CD，又 AB CD，所以 BE AB。又因为 PA平面 ABCD， BE 平面 ABCD，所以 PA BE。而 PAAB=A，因此 BE平面 PA B . 又 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PA B . （）延长 AD、 BE 相交于点 F，连结 PF。过点 A 作 AH PB 于 H，由（）知平面 PBE平面 PA B，所以 AH平面 PBE. 在 Rt ABF 中，因为 BAF 60，所以 AF=2
10、AB=2=AP. 在等腰 Rt PA F 中，取 PF 的中点 G，连接 AG. 则 AG PF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得， PF HG. 所以 AGH 是平面 PA D 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角） . 在等腰 Rt PA F 中， 22.2AG PA= 在 Rt PA B 中， 22225.55AP AB AP ABAHPBAP AB= =+所以，在 Rt AHG 中， 25105sin .52AHAGHAG= 故平面 PA D 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin .5解法二 如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别
11、是 A（ 0， 0， 0） ， B（ 1， 0， 0） ，33 13(, ,0), (, ,0),22 22CDP（ 0， 0， 2） ， E(1,23,0) （）因为3(0, ,0)2BE = ，平面 PA B 的一个法向量是0(0,1,0)n = ，所以0BEn和 共线 .从而 BE平面 PA B . 又因为 BE 平面 PBE，故平面 PBE平面 PA B . ()易知3(1, 0, 2), (0, 02PB BE= =uuuruur， ）， 13(0,0, 2), ( , ,0)22PA AD= =uuur uuur设 1111(, ,)nxyz=r是平面 PBE 的一个法向量，则由1
12、10,0nPBnBE = =uuruuruur uuur得 111111020,3000.2xyzxyz+ =+ +=所以111 10, 2 . (2, 0,1).yxz n= =ur故可取 设2222(, ,)nxyz=uur是平面 PAD 的一个法向量，则由220,0nPAnAD = =uuruuruur uuur得 22222200 0,1300.22xyzxyz+ =+=所以22 20, 3 .zx y=故可取2(3,1,0).n =uur于是，12121223 15cos , .552nnnnnn40=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE AQ=15. 过点
13、E 作 EP BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离 . 在 Rt QPE 中， PE=QE sin sin sin(45 )PQE QE AQC QE ABC= o=515 3 5 7.5= 2 时，点 P（ x,0）存在无穷多条“相关弦” .给定 x02. （）证明：点 P（ x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； （）试问：点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示） ：若不存在，请说明理由 . 解（）设 AB 为点 P（ x0,0）的任意一条“相关弦” ，且点 A、 B 的坐标分别是 （ x1,y1） 、 （ x2,
14、y2） （ x1x2） ,则 y21=4x1,y22=4x2, 两式相减得（ y1+y2） （ y1 y2） =4（ x1 x2） .因为 x1x2,所以 y1+y2 0. 设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（ xm, ym） ,则 k=1212 1242myyx xyyy=+. 从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为().2mmmyyy xx= 又点 P（ x0,0）在直线 l 上，所以 ym=0().2mmyx x 而 0,my 于是02.mxx= 故点 P（ x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0 2. ()由()知，弦 AB 所在直线的方程是 ()mmy y
15、kxx =，代入24y x= 中， 整理得22 22()2()0.mm mmk x k y kx x y kx+= （ ） 则12x x、 是方程（ ）的两个实根，且2122().mmykxxxk= 设点 P 的“相关弦” AB 的弦长为 l，则 2222212 12 12()()(1)()lxx yy kxx= + =+ 22 221 2 12 122222224222 2 22 200(1 )( ) 4 4(1 )( )2()44(1 ) 4(4 )(4 ) 4 ( 1) 164( 1) 2( 1) 4( 1) 2( 3) .mmmmmmmmmm m mm mmmm mkxx xx kx
16、xxyxyxyyyxy y yx xxyx xyx=+ + = + =+ =+ =+ +=+=因为 03,则 2(x0 3) (0, 4x0 8),所以当 t=2(x0 3),即2my =2(x0 3)时 , l 有最大值 2(x0 1). 若 23 时，点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2（ x0 1） ；当 2 在（ 1， 0）上为增函数， 当 x 0 时， () 0,()hx hx= 当 x 0 时， () (0) 0.gx g 在（ 1， 0）上为增函数 . 当 x 0 时， () 0, ()f xfx 知， 1.1ln(1 )ann+设 (11() , 0,1,ln(1 )Gx xxx=+则 22222211(1)ln(1)() .(1 ) ln (1 ) (1 ) ln (1 )x xxGxx xx x x x+= + =+ + 由（）知，22ln (1 ) 0,1xxx+ +即22(1 ) ln (1 ) 0.xxx+ + 所以 () 0, 0,1,Gx x 于是 G(x)在 (0,1 上为减函数 . 故函数 G（ x）在 (0,1 上的最小值为1(1) 1.ln 2G = 所以 a 的最大值为11.ln 2
