1、绝密 启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建理科） 数 学（理工农医类） 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数 (a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1或 2 D.-1 (2)设集合 A=x|1xx0 ,B=x|0 x 3,那么“ mA”是“ mB”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设 an是公比为正数的等比数列，若 a1=7,a5=16,则数列 an前
2、 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数 f(x)=x3+sinx+1(xR),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为45,那么播下 4 粒种子恰有 2粒发芽的概率是 A.16625B. 96625C. 192625D. 256625(6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2, AA1=1, 则 BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为 A.63B.552C. 155D. 105(7)某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，
3、如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数 x、 y 满足 x-y+1 0，则yx的取值范围是 x0 A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+ ) D. 1, + (9)函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量 (m,0) 平移后，得到函数 y= -f (x)的图象，则m 的值可以为 A.2B. C. D. 2(10)在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 (a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B的值为 A. 6B. 3C.6或56D. 3或23(11)双曲线 1222
4、2=byax（ a 0,b 0） 的两个焦点为 F1、 F2,若 P 为其上一点， 且 |PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B.( 1, 3 C.(3,+) D. )3,+ (12)已知函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置 . （ 13）若 (x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=_.(用数字作答 ) x=1+cos
5、(14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin （ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是 . （ 15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 . （ 16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、 b P，都有 a+b、 a-b， ab、ab P（除数 b 0） ，则称 P 是一个数域 .例如有理数集 Q 是数域；数集 2,FababQ=+ 也是数域 .有下列命题： 整数集是数域； 若有理数集 QM ，则数集 M 必为数域； 数域必为无限集； 存在无穷多个数域 . 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、
6、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17） （本小题满分 12 分） 已知向量 m=(sinA,cosA),n= (3,1) ， m n 1，且 A 为锐角 . （）求角 A 的大小； （）求函数 () cos2 4cos sin ( )f xxAxR= +的值域 . （ 18） （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 则面 PAD底面 ABCD， 侧棱 PA =PD 2 ， 底面 ABCD为直角梯形，其中 BC AD, AB AD, AD=2AB=2BC=2, O 为 AD 中点 . （）求证： PO平面 ABC
7、D； （）求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小； （） 线段 AD 上是否存在点 Q， 使得它到平面 PCD 的距离为32？若存在， 求出AQQD的值；若不存在，请说明理由 . （ 19） （本小题满分 12 分） 已知函数321() 23fx x x=+. （）设 an是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点211(, 2 )nn naa a+ (nN*)在函数 y=f (x)的图象上，求证：点（ n, Sn）也在 y=f (x)的图象上； （）求函数 f(x)在区间（ a-1, a）内的极值 . （ 20） （本小题满分 12 分） 某项考试按科目 A、科目 B 依
8、次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目 B 每次考试成绩合格的概率均为12。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 （）求他不需要补考就可获得证书的概率； （）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 E . （ 21） （本小题满分 12 分） 如图、椭圆22221xyab+=（ ab0）的一个焦点是 F（ 1， 0） ， O 为坐标原点 . （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形
9、，求椭圆的方程； （）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点。若直线 l 绕点 F 任意转动，恒有22 2OA OB AB+ p ,求 a 的取值范围 . （ 22） （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x（）求 f(x)的单调区间； （）记 f(x)在区间 0, （ n N*）上的最小值为 bx令 an=ln(1+n)-bx. （）如果对一切 n，不等式22nnncaaa+p 恒成立，求实数 c 的取值范围； （）求证： 13 13 2 11224 242211.nnnaa aa aaaaaa aaa+ +gggggg pggg数学试题（理工农医类）参考答
10、案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算 .每小题 5 分，满分 60 分 . （ 1） B （ 2） A （ 3） C （ 4） B （ 5） B （ 6） D （ 7） A （ 8） C （ 9） A （ 10） D （ 11） B （ 12） D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算 .每小题 4 分，满分 16 分 . （ 13） 31 （ 14） (,0)(10,) + （ 15） 9 （ 16） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函
11、数的最值等基本知识，考查运算能力 .满分 12 分 . 解： （）由题意得 3sin cos 1,mn A A=g 12sin( ) 1,sin( ) .662AA = 由 A 为锐角得 ,.66 3AA = = （）由（）知1cos ,2A = 所以2213( ) cos 2 2sin 1 2sin 2sin 2(sin ) .22fx xx xx x=+= +=+ 因为 x R，所以 sin 1,1x ，因此，当1sin2x = 时， f(x)有最大值32. 当 sinx= -1 时， f(x)有最小值 -3，所以所求函数 f(x)的值域是33,2 . （ 18）本小题主要考查直线与平面的
12、位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 .满分 12 分 . 解法一： （）证明：在 PA D 中 PA =PD, O 为 AD 中点，所以 PO AD, 又侧面 PA D底面 ABCD, 平面 PAD平面 ABCD=AD, PO 平面 PA D， 所以 PO平面 ABCD. （）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中、 BC AD， AD=2AB=2BC, 有 OD BC 且 OD=BC, 所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 OB DC. 由（）知， PO OB, PBO 为锐角， 所以 PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角
13、 . 因为 AD=2AB=2BC=2, 在 Rt AOB 中， AB=1,AO=1, 所以 OB 2 ， 在 Rt POA 中，因为 AP 2 ， AO 1，所以 OP 1， 在 Rt PBO 中， tan PBO12 2,arctan.222POPBOBO= = 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是2arctan2. （）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为32. 设 QD x，则12DQCSx= ，由（）得 CD=OB= 2 ， 在 Rt POC 中， 222,PC OC OP=+= 所以 PC=CD=DP, SPCD=23)2(432= , 由 Vp-DQC=VQ-PCD,
14、得23233112131= x ，解得 x= 223=CDPBCDPBCDPB 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos63， ()假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为32， 由()知 (1,0,1), (1,1,0).CP CD= =uur uuur设平面 PCD的法向量为 n=(x0,y0,z0). 则0,0,nCPnCD=uurguuurg所以00000,0,xzxy+=+=即000x yz= = ， 取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1). 设 (0, ,0)( 1 1), ( 1, ,0),Qy y CQ y =uuur由23|=nn
15、CQ,得13,23y+= 解 y=-12或 y=52(舍去)， 此时13,22AQ QD=，所以存在点 Q 满足题意，此时13AQQD= . (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分 12 分. ()证明：因为321() 2,3fx x x=+所以 f ( x)=x2+2x, 由点211(, 2 )( N)nn naa a n+在函数 y=f( x)的图象上, 得221122nnnnaaaa+=+，即11()( 2)0,nnnnaaaa+ = 又 0( N ),nan+ 所以12nnaa+=，又因为13a
16、= ， 所以2(1)32=2nnnSn nn=+ +,又因为 f ( n)=n2+2n,所以 ()nSfn= , 故点 (, )nnS 也在函数 y=f (x)的图象上. ()解:2() 2 ( 2)fx x x xx = += +, 由 () 0,fx = 得 02xx=或 . 当 x 变化时, ()f x ()f x 的变化情况如下表: 注意到 (1) 12aa=+0,所以 -m2a2b2+b2-a2b2+a2a2-a2b2+b2对 mR 恒成立 . 当 mR 时， a2b2m2最小值为 0，所以 a2- a2b2+b20,b0,所以 a0, 解得 a152+或 a152+, 综合（ i）
17、 (ii)， a 的取值范围为（152+， +） . 解法二： （）同解法一， （）解： （ i）当直线 l 垂直于 x 轴时， x=1 代入222222 21(1)1,Aybayab a+= = . 因为恒有 |OA|2+|OB|21，即21aa1, 解得 a152+或 a152+. （ ii）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（ x1，y1） , B（ x2， y2） . 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入22221,xyab+ = 得 (b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2k2-a2b2=0, 故 x1+x2=22 22 2222222 2222,.ak ak abx
18、xbak bak=+因为恒有 |OA|2+|OB|20 时，不合题意； 当 a2- a2b2+b2=0 时， a=152+; 当 a2- a2b2+b20, 解得 a2352+或 a2352（舍去） ， a152+，因此 a152+. 综合（ i） （ ii） ， a 的取值范围为（152+， +） . （ 22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分 14 分 . 解法一： （ I）因为 f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（ -1,+） ,且 f (x)=11 x+-1=1xx+. 由 f (x
19、)0 得 -10， f(x)的单调递增区间为（ 0， +） . (II)因为 f(x)在 0,n上是减函数，所以 bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则 an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i)222()2(2)22nn naa a n n nnnn+=+=+ 221.22nnn+=+ +又 lim22( 2 ) lim 12112xnn nn+= =+, 因此 c因此 c1,即实数 c 的取值范围是(-，1. () 由()知121 21.21nnn+下面用数学归纳法证明不等式135 (2 1) 1(N).246 (2 )21nnnn+gggLggggLg
20、当 n=1 时，左边12，右边13，左边右边.不等式成立. 假设当 n=k 时,不等式成立.即135 (2 1) 1.246 (2 )21kkn+gggLggggLg当 n=k+1 时， 32122321222122212121)22(2642)12(12531+=+=+kkkkkkkkkkkkk）（）（=,1)1(2132132148243824+=+kkkkkkk即 n k 1 时，不等式成立 综合、得，不等式*)N(121)2(642)12(531+nnnn成立 . 所以1212)2(642)12(531+nnnn)2(642)12(531423121nn+ .112123513 += nn 即*)N(1212421231423121+naaaaaaaaaaaaannn.
